Modélisation plaque de chladni: limites ?

[invitef8010086]

Bonjour,

Je souhaite tracer à l'aide d'un logiciel de calcul formel les lignes nodales d'une plaque carrée, fixée en son centre et libre aux bords, excitée sinusoïdalement en son centre.

Je cherche une solution de l'équation de d'Alembert sous la forme d'une onde stationnaire, je me retrouve avec un produit de 3 cosinus, et là, j'ai un problème.

Quelles conditions aux limites utiliser pour trouver l'équation régissant les lignes nodales (l'ensemble des points où il y a des noeuds) ?

Sur plusieurs sites, je trouve l'équation :

cos(n*pi*x/L)*cos(m*pi*y/L) - cos(m*pi*x/L)*cos(n*pi*y/L)=0

Mais je n'ai aucune idée de comment arriver à là (et forcément sur les sites il n'y a pas de nom à contacter). J'ai essayé d'imposer des conditions aux bords du genre vibration uniquement horizontale, mais évidemment ce sont des approximations trop grossières et ça n'aboutit pas.

Je vous serai reconnaissant si vous aviez quelques idées que je pourrai tester.

Attention le problème n'est pas facile.

Bonne soirée !
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[LPFR]

Bonjour.
Les conditions limites d'une plaque oscillante aux bords libres, font que la distribution de les amplitudes d'oscillation sur la plaque (ou sur une baguette) ne sont pas des sinusoïdes mais des fonctions de Bessel. Ce qui rend la recherche des solutions beaucoup plus compliquée que pour une peau de tambour, dans laquelle les solutions sont des sinusoïdes.
La raison est que la forme qui prend une plaque ou une baguette pendant l'oscillation n'est pas sinusoïdale (comme une corde de guitare) mais parabolique.
À titre d'illustration, les différents modes d'une baguette aux extrémités libres ne sont pas donnés par des fréquences multiples de la fondamentale. À la différence des modes d'une corde de guitare.
Donc, il faut que vous écriviez les équations de départ en tenant compte des couples de torsion sur la plaque et du module de Young du matériau. Mais là, je suis à la frontière de mon expérience.
Au revoir.

[invitef8010086]

Admettons que je fasse comme tu dis (j'utilise une équation toute trouvée, à savoir l'équation aux dérviées partielles de Sophie Germain, qui prend en compte l'épaisseur, la masse volumique, le module d'Young, et le coefficient de Poisson).

Ensuite, on résout l'équation de manière générale, mais comment faire pour déterminer toutes les constantes qui apparaissent ? Car au fond, c'est bien là mon problème...

Merci et bonne soirée,

'Jey.

[LPFR]

Bonjour.
Si vous utilisez les équations de Sophie Germain, vous n'avez pas à vous occuper de la partie physique. Elle l'a déjà fait.
Certaines constantes qui apparaissent permettent de choisir les solutions qui satisfont les "conditions de bord", amplitude zéro au milieu (là ou la plaque est tenue). Les autres constantes correspondent aux différentes solutions possibles: les modes d'oscillation. Suivant les valeurs choisies vous sélectionnez un de modes.
Regardez la page 7 de ce document.
Je pense que la première chose à faire est de choisir des solutions dans lesquelles les oscillations verticales soient sinusoïdales avec le temps. Cela force le terme de dérivée temporaire à avoir une forme sinusoïdale.
Ceci dit je ne connais pas la démarche pour résoudre analytiquement ce type d'équation.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]