dipole rl

[invite81b3833e]

bonjour, voici l'énoncé d'un exercice, je vous explique ensuite mon pb


Un dispositif à détecter des particules ionisantes se comporte, sous l'effet de l'une de ces particules, comme un générateur de courant dont le courant électromoteur est io(t)=Io* exp(-t/tau), ( les o sont en fait en indice)
Ce dispositif est connecté à un circuit RC dont constante de temps RC=k*tau, où k est une constante positive réelle.Le condensteur est initialement déchargé.

a) Ecrire l'équation différentielle à laquellle obéit la tension us aux bornes du condensateur.
b) Calculer la tension us(t).
c) Calculer us(t) dans le cas particulier où k est environ égal à 1. On posera pour cela k=(1 +epsilon) et on effectuera les développements limités qui s'imposent.
indication : soit (1+epsilon)^( -1) environ égal à (1-epsilon)
pour epsilon<< 1
puis exp(x) environ égal à (1+x) pour x <<1
d) Pour k environ égal à 1, la tension us(t) passe par un extrémum Us à l'instant to.calculer Us et to, tracer Us(t).



alors j'ai réussi à t'établir l'équa diff, je trouve :
dus/dt +us/(k*tau)=i(o)/c
j'ai résolu l'équation ss second membre, mais mon pb, c'est que je n'arrive pas à truver la solution particulière, car le seonc membe n'est pas constant et je ne sais pas comment on fait dans ce cas.

merci de m'indiquer comment faire
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[Coincoin]

Salut
Dans le cas d'un second membre non-constant, la meilleure méthode est...le feeling!!! Tu regardes la tête du second membre et tu cherches une solution qui a la même tête... Par exemple, le second membre est en exp(-t/tau), donc on va chercher une solution de la forme us=lambda*exp(-t/tau), où lambda est une constante. Si tu remplaces dans l'équa diff, tu trouves que pour lambda=Io*k*tau/(C*(1-k)), on a bien une solution (on a k différent de 1).

[invite81b3833e]

est-ce que vous pouriez détailler un peu plus svp, car j'ai remplacé dans l'équation et j'obtiens:
-lamdba/tau*exp(-t/tau)+lamba*e(-t/ta)*/(ktau) et là je ne sais plus quoi faire !


admettons que la solutio soit celle que vous avez trouvée : vous marquez k diférent de 1. mais le pb, si on regarde dans la question c, c'est qu'il y a écrit calculer us dans le cs particulier ou k envrion=1. et utiliser les développements lmités.
que faire ? puisque si k=1, ça marche pas ?

[Coincoin]

Effectivement lorsqu'on remplace dans le 1er membre, on obtient ce que tu as écrit... Ensuite on dit qu'on veut que ça soit solution, donc on l'égalise à Io/C*exp(-t/tau), on peut alors simplifier par exp(-t/tau) et mettre lambda en facteur dans le 1er membre: lambda*(-1/tau+1/(k*tau))=Io/C, soit: lambda*[(-k+1)/tau]=Io/C, d'où le résultat que j'ai dit...
Ensuite, on nous dit k environ égal à 1, et non pas égal k=1. Il faut dire que epsilon n'est pas nul (très petit à la rigueur mais d'un point de vue physique il ne peut pas être strictement nul, à cause notamment des imprécisions de R et C). L'intérêt des DL est justement d'étudier une fonction au voisinage d'un point pathologique (epsilon=0 dans notre cas).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite81b3833e]

merci bcp, j'ai réussi à toruver lamba. c normal que ce soit aussi compliqué comme expression ? quant au développement limité, je ne sais pas ce que c'est. alors je vais regarder si je comprends avec les indications, sinon je pourrai vous demander qqes renseignements ?

[Coincoin]

C'est vrai que lambda n'est pas particulièrement simple, mais bon ça va encore...
Pour ce qui est développements limités (tu ne devrais pas tarder à les voir en maths), il s'agit en fait d'approximer ta fonction sous forme de polynôme. Il s'agit ici de développements au 1er ordre (c'est-à-dire que les polynômes sont de degré 1), ce qui revient en fait à remplacer la fonction par sa tangente...

sinon je pourrai vous demander qqes renseignements ?

Pas de problème, je suis toujours là pour aider!!!