Transformé de Fourier et de Laplace

[narakphysics]

bonjour;
s'il vous plait quelq'un peut m'expliquer l'intêret de la Transformé de Fourier et de Laplace dans le traitement de signal?
merci d'avance
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[Fred des montagnes]

Salut,

Euh je suis pas un spécialiste, mais ça permet de transformer des équations intégro-différentielles en équations algébriques...

[stefjm]

Bonjour,
Ça transforme de méchants produits de convolution entre l'entrée et la réponse impulsionnelle (réponse des systèmes linéaires) en gentils produits tout simples entre l'entrée et la fonction de transfert.

La transformée de Fourier donne le régime permanent seul (spectre fréquentiel), alors que la transformée de Laplace donne le régime permanent et le régime transitoire. (automatique, commande de procédé)

Cordialement.

[ordage]

bonjour;
s'il vous plait quelq'un peut m'expliquer l'intêret de la Transformé de Fourier et de Laplace dans le traitement de signal?
merci d'avance

Salut
On s'en sert souvent pour transposer un problème décrit dans le domaine temporel (ou spatial) dans le domaine fréquentiel.
C'est un outil d'analyse très puissant et très utilisé.
Par exemple en audio codée en MP3, on transforme le signal sonore temporel en signal fréquentiel ce qui permet une représentation beaucoup plus efficace de l'information portée par ce signal, ce qui permet des traitements algorithmiques très efficaces pour réduire le débit sans trop altérer la qualité. Itou pour la TV et cinéma numérique, MPEG2 et encore plus MPEG 4 utilisent des algorithmes très sophistiqués pour ramener le débit brut énorme à des débits compatibles avec une transmission de qualité sur ADSL par exemple.

Juste à noter que Fourier avait établi ce formalisme pour traiter un problème de propagation de la chaleur dans un barreau métallique qu'on chauffe en un point. Ceci lui a permis de transformer un problème difficile à résoudre en un problème beaucoup plus simple.

En fait les transformées de Fourier sont utilisées dans beaucoup de domaines différents. C'est le couteau suisse du scientifique!
Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[narakphysics]

Bonjour,
Ça transforme de méchants produits de convolution entre l'entrée et la réponse impulsionnelle (réponse des systèmes linéaires) en gentils produits tout simples entre l'entrée et la fonction de transfert.

merci pour vos réponses;
s'il vous plait j'ai pa bien assimiller cette paragraphe.
cordialement

[narakphysics]

merci beaucoup ordage

[phuphus]

Bonjour,

de manière basique, la transformée de Fourier permet deux choses :

- obtenir une représentation fréquentielle de ton signal (donc afficher des spectres, afficher les niveaux par bande de fréquence dans un égaliseur graphique (tu dois avoir ça dans tous les lecteurs multimédia informatiques...), etc.)
- filtrer des signaux

Pour la deuxième option, on a tendance à très souvent utiliser non pas la transformée de Fourier pour faire le filtrage, mais au contraire un traitement direct du signal temporel. Cela a ses avantages (traitement très simple, latence nulle donc pas de décalage introduit par le calcul entre l'entrée et la sortie de ton filtre, etc.) et ses inconvénients (puissance de calcul très grande pour des filtres précis, ou si la puissance de calcul est limitée obligation soit de réduire la précision en fréquence du filtre ou bien d'accepter des compromis entre amplitude et phase sur la fonction de transfert, etc.).

Dans un cadre où le temps réel n'est pas une obligation ou bien si tu peux accepter une certaine latence (donc juste un délai, fixe, entre le signal d'entrée et le signal de sortie), alors passer par la transformée de Fourier te permet de faire des filtres beaucoup plus complexes à puissance de calcul égale. C'est cela que dit stefjm pour le produit de convolution, puisque :

- le traitement temporel dont j'ai parlé plus haut, mathématiquement simple mais nécessitant une grande puissance de calcul = produit de convolution
- le même traitement par transformée de Fourier = "multiplication entre le signal d'entrée et la fonction de transfert" selon Stefjm

Par contre, je ne suis pas du tout d'accord avec Stefjm : certes l'effet d'un produit de convolution sur un signal est plus difficile à appréhender pour le commun des mortels qu'une multiplication en fréquentiel, mais sur le terrain implémenter un produit de convolution est extrêmement basique, alors que du filtrage par transformée de Fourier demande un peu plus d'efforts.

Si tu veux approfondir la question :
- dans le logiciel Audacity (gratuit), la représentation fréquentielle de ton signal est obtenue grâce à une transformée de Fourier. Tu pourras donc voir directement un résultat exploitant la transformée de Fourier
- pour le filtrage, fais une recherche sur les algorithmes de type "overlap-add" ou "convolution par bloc" (ce dernier nécessite déjà une très bonne compréhension de la transformée de Fourier...)

[stefjm]

Ça transforme de méchants produits de convolution entre l'entrée et la réponse impulsionnelle (réponse des systèmes linéaires) en gentils produits tout simples entre l'entrée et la fonction de transfert.

Je précise :
Méchant : dans le sens où on le calcule à la main. (sans informatique)

C'est vrai qu'un produit de convolution, c'est tout simple à implémenter numériquement.

[phuphus]

Oups ! Oui, quand on se le paluche, là je te rejoins complètement

Mais comme la question concernait le traitement du signal... (serais-je un intégriste du numérique ???)

[stefjm]

merci pour vos réponses;
s'il vous plait j'ai pa bien assimiller cette paragraphe.
cordialement

Je parlais de ceci :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Transfo...de_convolution

C'est une propriété très pratique car cela simplifie le problème d'un point de vu théorique.

[stefjm]

Oups ! Oui, quand on se le paluche, là je te rejoins complètement

C'est pas le pied!

Mais comme la question concernait le traitement du signal... (serais-je un intégriste du numérique ???)

Je dois être un intégriste de la théorie.

Il faudrait que achrafkaran précise un peu le cadre pour obtenir des réponses plus précises.

[narakphysics]

Bonjour,

Excusez-moi, je sais qu'il y a plusieurs domaine d'application de la transformé de Fourier et de Laplace mais il me semble que ma question était limité que dans le domaine du traitement de signal.

merci pour vos réponses

[stefjm]

Excusez-moi, je sais qu'il y a plusieurs domaine d'application de la transformé de Fourier et de Laplace mais il me semble que ma question était limité que dans le domaine du traitement de signal.

En théorie ou en pratique?
Analytiquement ou numériquement?

[narakphysics]

En théorie ou en pratique?
Analytiquement ou numériquement?

concernant le traitement de signal analogique (analyse de spectre,filtrage...)
cordialemnt

[narakphysics]

mais quel est le sens physique du produit de convolution??

[stefjm]

Bonjour,
Il y avait eu un fil sur l'intérêt du produit de convolution et de son sens physique.

http://forums.futura-sciences.com/ph...nvolution.html

Cordialement.

[phuphus]

Bonjour,

pas facile de répondre à une telle question sans être l'un en face de l'autre avec un papier et un crayon... Bon on va essayer, alors accroche-toi au pinceau, j'enlève l'échelle

Tu as un filtre, supposé causal et linéaire. Lorsque tu envoies une impulsion de Dirac à ce filtre, tu récupères en sortie sa réponse impulsionnelle. Si ce filtre n'est pas un passe-tout sans déphasage, alors cette réponse est loin d'être une impulsion ; on peut même y voir des oscillations, et cette réponse impulsionnelle dure un certain temps (long devant la durée de l'impulsion).

Maintenant, ce n'est plus une impulsion que tu envoies dans ton filtre mais un signal arbitraire continu. Tu peux très bien voir ton signal arbitraire non pas comme une suite continue de valeur mais comme une suite, toujours continue (pas la peine de passer en discret pour la démonstration), d'impulsions. Dit autrement, cela revient à découper ton signal d'entrée en petites tranches élémentaires, chaque tranche pouvant être vue comme une impulsion de Dirac pondérée pour égaler le signal à l'instant considéré.

Donc, la première tranche va donner en sortie de ton filtre une réponse impulsionnelle pondérée. La deuxième tranche va elle aussi donner en sortie de ton filtre une réponse impulsionnelle pondérée. Certes, mais comme au moment de l'arrivée de la deuxième tranche la contribution de la première n'est pas épuisée (ton filtre en encore en train de répondre sur la réponse impulsionnelle de la première tranche), tu auras en sortie de filtre l'addition de tes deux réponses impulsionnelles, légèrement décalées dans le temps (le décalage correspondant à celui des tranches de ton signal d'entrée) et chacune avec leur pondération respective (fonction, donc, de l'amplitude du signal d'entrée au moment de la tranche considérée).

Et ainsi de suite pour toutes les tranches suivantes de ton signal...

Lorsque tu regardes la formule mathématique de ton produit de convolution, tu vois que c'est exactement ce qu'il fait (c'est juste que ça le fait "à l'envers" par rapport à ce que je viens de t'expliquer) : faire glisser la réponse impulsionnelle le long du signal d'entrée, en calculant à chaque glissement la contribution globale. Cela revient exactement au même que de sommer en sortie une suite décalée de réponses impulsionnelles dues à chaque tranche élémentaire de ton signal.

[phuphus]

Petit ajout : un lien sympa pour "jouer" avec la convolution et bien se rendre compte de son effet :

http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html

[narakphysics]

bonjour phuphus et stefjm;

Je vous remercie pour vos aides et les informations que vous m'aviez fournies.