Systèmes chaotiques ?

[invite489fa85d]

Bonjour, je suis en faculté de mathématique et on me propose un projet visant a étudier des systèmes par analyse numérique.
Seulement parmis tout les projets, il y en a un qui fait référence aux système chaotiques, et je ne comprend pas vraiment comment ça se caractérise.
D'après wiki, ce sont des système présentant une forte récurrence et une forte sensibilité aux conditions initiales, très bien, seulement voila comment se déroule le truc :
Je dois en un premier temps étudier un pendule simple, et faire son portrait de phase avec scilab (je l'ai fait, j'obtiens soit des sortes d'ellipses, soit une sinusoïde).
Puis expliquer ce que c'est qu'un système chaotique (euh'^^ j'essaye tant bien que mal) puis conclure : en est ce un ?
J'ai envie de dire non puisque cela est parfaitement périodique mais bon je ne suis pas sur.
Ensuite on me demande d'ajouter une force de frottement et une force de couplage, ce que je fais, et là d'en déduire si oui ou non c'est un système chaotique, et franchement là je vois pas du tout comment je pourrais le remarquer =/
Merci de m'aider à mieux comprendre cette notion
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[invitea3eb043e]

Ton pendule, je suppose qu'il est accroché en un point ?
Change un peu cela et fais une boucle au bout de la ficelle en haut et fais passer cette boucle dans une tige horizontale que tu fais tourner régulièrement à l'aide d'un moteur.
Estime le couple de frottement et injecte-le dans tes équations.
Tu peux ajouter un petit élément aléatoire dans le coefficient de frottement.

[invite489fa85d]

Bonjour !
Déjà merci de venir m'aider, mais mon problème vient dans un premier temps du fait que je ne comprend pas vraiment la notions de "système chaotique", et oui mon pendule est initialement attaché a un point.
L'équation est résolut par scilab, l'objectif de mon projet étant une étude numérique, je peux donc afficher les portraits de phases, et il semblerait que ça soit là que je devrais remarquer quelque chose, j'ai donc deux modèles :
1) Un pendule simple, qui me donne pour équation
2) Un pendule avec une force de frottement (=) et une force de couplage ()

Et dans un cas (le premier) j'obtiens des sortes d'ellipses, dans le second des espèces de "ressorts", je ne vois pas en quoi je peux en déduire que ça donne un système chaotique ou non =/

[invitea3eb043e]

Le couple de frottement sec n'est pas égal à - b v. Il est non-linéaire justement et c'est ça qui induit le chaos.
Si le couplage était linéaire, tu atteindrais tôt ou tard un régime sinusoïdal tandis que là, ça ne se produira jamais, ton pendule va divaguer et la trajectoire dans l'espace des phases va dépendre beaucoup du coefficient de frottement et des conditions initiales.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite489fa85d]

Justement, sur mon énoncé on me demande dans un premier lieu de m'en charger avec les deux forces dont j'ai parlé tout à l'heure, avec la force de frottement et la force de couplage (qui est selon theta ), pouvez vous m'expliquer comment interpréter ce "chaos" et en quoi je peux le voir graphiquement ? Mon problème à l'heure actuel c'est de ne pas vraiment comprendre la notion =/

[invitea3eb043e]

Pas sûr que ce que ton prof a en tête soit exactement ce à quoi je pense, moi.
Si on appelle w la vitesse de rotation de la tige, le couple de frottement sera égal à
G = - K signe(w - da/dt) ce qui est non-linéaire mais peut s'intégrer numériquement.

[invite489fa85d]

En fait c'est un projet libre, pour nous apprendre le calcul numérique, ici je n'ai besoin d'aucun calcul de ma part (a part le PFD en gros) et le tout se fait sur scilab, un logiciel qui permet dans mon cas de résoudre numériquement les équations (certainement par la méthode de Runge Kutta), et avec une analyse des graphiques obtenus avec les deux cas présent (ce sont des cas imposés, je n'ai pas de liberté sur ces deux forces ajoutées sauf les valeurs de a, b et omega) en déduire si oui ou non les systemes sont chaotiques, mais comme dit précédement, je ne comprend pas comment je peux faire pour le voir graphiquement

[invitea3eb043e]

Ca va crever les yeux dans l'espace des phases.

[invitea07f6506]

Pour faire simple, un système est chaotique si, en changeant ne serait-ce qu'un peu les conditions initiales (ici, la position et la vitesse du pendule, par exemple), les trajectoires sont totalement différentes. Comme les exemples parlent mieux que les définitions :
* Des billards ;
* Le problème des trois corps (ici, une version simplifiée) ;
* Et pour finir, une page bien faite sur le sujet, avec plusieurs exemples (quatrième animation pour quelque chose de concret).

Edit : je dis peut-être une bêtise, mais si on rajoute le couplage, l'espace des phases n'a plus beaucoup d'intérêt (donc la notion de "crever les yeux" est un peu bizarre)... Ca n'a pas de sens de rester en deux dimensions, vu que la dynamique dépend de trois paramètres (position, vitesse, temps), et l'espace des phases en trois dimensions va être un peu coton à se représenter. Surtout si la dynamique est chaotique.

[invitea3eb043e]

Très joli, merci !
Par "crever les yeux", j'entendais que ça ne ressemblera pas à l'ellipse du régime permanent.

[invited9d78a37]

bonjour

Deux caractéristiques permettent d'identifier les systèmes chaotiques: la présence d'une portion continue du spectre temporel et la dépendance aux conditions initiales.
Pratiquement, pour la première caractéristique, il suffit de faire la FFT temporel et d'observer une composante quasi-continue.
Pour la deuxième, il suffit de faire la simulation pour deux conditions initiales très proche. C'est à dire par exemple on étudie deux trajectoire dans l'espace et , différentes initialement d'un tel que . Puis on étudie l'évolution de la norme . Si elle croit rapidement, c'est à dire exponentielle (voir les exposants de Lyapounov), alors on a une sensibilité aux conditions initiales.

[invite93279690]

Bonjour !
Déjà merci de venir m'aider, mais mon problème vient dans un premier temps du fait que je ne comprend pas vraiment la notions de "système chaotique", et oui mon pendule est initialement attaché a un point.
L'équation est résolut par scilab, l'objectif de mon projet étant une étude numérique, je peux donc afficher les portraits de phases, et il semblerait que ça soit là que je devrais remarquer quelque chose, j'ai donc deux modèles :
1) Un pendule simple, qui me donne pour équation
2) Un pendule avec une force de frottement (=) et une force de couplage ()

Et dans un cas (le premier) j'obtiens des sortes d'ellipses, dans le second des espèces de "ressorts", je ne vois pas en quoi je peux en déduire que ça donne un système chaotique ou non =/

Salut,

L'équation du pendule simple que tu montres plus haut admet une intégrale première qui est proportionnelle à l'énergie mécanique du système :

tu vois que est une fonction périodique en (d'ailleurs un développement limité au premier ordre de la fonction cos te fera apparaitre une simple élipse dans le portrait de phase pour des valeurs de la constante suffisament grandes).
Un certain changement de variable adapté (que je n'ai pas en tête) permet de passer en variables (angle,action) qui fait que la trajectoire du système est à la surface d'un tore. Comme ici, tu n'as que deux variables i.e. qu'une seule fréquence, la trajectoire sera toujours périodique. Si un paramètre ajouté à l'équation de trajectoire romp la conservation de l'énergie tout en empechant le système de s'arreter alors la trajectoire du système va s'étendre à l'intérieur de ce fameux tore dont j'ai parlé plus haut, c'est une signature très caractéristique. En particulier, si tu essaies differentes conditions initiales ça va effectivement "crever les yeux" comme le dit JeanPaul.

[invite489fa85d]

Ah je vois, merci pour vos explications déjà !
Maintenant j'ai donc essayer d'étudier la variation des angles pour deux valeurs initiales d'angle différentes :
******* pas d'image sur serveur externe *******CF post #20
Mon intuition est qu'au final, a cause de la force de frottement, le pendule ne bougera que grace a sa force de couplage et que donc au final quelques soient les conditions initiales il n'y aura pas de différence.
Mais j'ai pensé a un truc, en enlevant cette force de frottement voila ce que je trouve
******* pas d'image sur serveur externe *******CF post #20
Globalement l'amplitude grandit au court du temps, donc si j'ai bien compris j'ai bien affaire a un système chaotique ?
Merci d'aider un néophyte comme moi^^

[invitea3eb043e]

Probable que l'aspect chaotique se manifestera plus ou moins en fonction des paramètres (vitesse de rotation et coefficient de frottement). On voit assez bien que si la tige tourne vite, le signe de la différence ne changera jamais et c'est bien moins drôle.

[invite489fa85d]

En fait voila mon programme scilab pour ceux qui connaissent :

function [f] = pendule(t,u,a,b,w)
f(1) = u(2);
f(2) = a*cos(w*t)-0.1*sin(u(1))-b*u(2);
endfunction


t0=0;
t=0:0.001:500;
a=2;
w=3;
b=1;
t0=0;
u0=[1;2];
[u] = ode(u0,t0,t,pendule);
x1=u(1,:);
u0=[0.5;2];
[u] = ode(u0,t0,t,pendule);
x2=u(1,:);
plot2d(t,abs(x1-x2), style=[1]);



Je ne sais pas en fait si je regarde au bon endroit, ou de la bonne manière =/

[invitea3eb043e]

Je ne connais pas ce langage, mais où est la fonction "signe de" ? C'est elle qui introduit la non-linéarité.

[invite489fa85d]

Ah pardon dans ce cas je n'ai pas très bien compris ce qu'il fallait faire,
sur les graphiques j'ai juste tracé |x1(t)-x2(t)| donc en valeur absolue, que dois je faire en fait ?
Et dois je vraiment trouver un système chaotique ? Je commence à me demander si finallement le problème viendrait du fait qu'au final le système devient périodique après une phase initiale étrange ?

[invitea3eb043e]

Il faut ajuster les paramètres, notamment l'accord entre les vitesses propres du pendule libre et la vitesse de rotation de la tige.

[invite489fa85d]

Vous voulez dire modifier le facteur a (de la force de couplage, donc de la tige avec fc=a*cos(w*t) ) et le initial ?

[obi76]

Voilà l'image du post #13

Pour la modération,

[invitea3eb043e]

Vous voulez dire modifier le facteur a (de la force de couplage, donc de la tige avec fc=a*cos(w*t) ) et le initial ?

Si on ne met que des couplages linéaires, on ne trouvera jamais de chaos. C'est quoi cette force ?

[invite489fa85d]

En fait cette force est une force qui vient s'appliquer au pendule selon theta, je pense donc que dans l'énoncé on veut modéliser la une oscillation de la tige.
Je ne suis vraiment pas familier à ce genre de problème, étant donné qu'on a aucun cours avec ça je trouve ça assez difficile de répondre au problème sachant que je ne sais même pas ce que je cherche ni ce que je suis censé trouver =/

[invitea3eb043e]

Si on prend une excitation sinusoïdale, on trouvera un régime permanent sinusoïdal, il faut compliquer cette force en la rendant non-linéaire. Par exemple on peut prendre un frottement sec f= K signe(a cos(wt) - théta').
Ca revient à dire que la tige oscille et que la corde frotte dessus. Si w est voisin de la fréquence propre du pendule, par moments ça va accompagner le mouvement et parfois ça va décrocher.