Démonstration de l'équation de Maxwell-Gauss ?

[DarK MaLaK]

Bonjour, je voudrais démontrer l'équation de Maxwell-Gauss d'une manière que je trouve rapide et que j'ai vue dans des notes de cours (cours auquel je n'ai pas pu participer). Je vous fais partager cette démonstration car il y a des points qui me paraissent obscurs :

Pour une particule ponctuelle :



Pour une distribution de charges (volumique) :



Or :



On en déduit que :



Maintenant, calculons la divergence du champ électrique :



Là, j'ai juste fait le produit scalaire de par lui-même et je pense que c'est correct. C'est maintenant que j'ai des problèmes pour deux raisons : il faut inverser le signe de dérivation et le signe intégral, et je ne sais pas si c'est autorisé dans ce cas. Ensuite, la dérivation ne doit pas s'appliquer à la distribution de charges d'après la suite de la démonstration que je vois dans le cours... ou bien peut-on prouver que la moitié de l'intégrale est nulle ??

Désormais, j'admets que tout est magique et que j'en arrive à :



Pour obtenir le résultat final, on fait une dernière petite démonstration utilisant les fonctionnelles :

Pour toute fonction g(r) indéfiniment différentiable et de limite nulle à l'infini :



On applique donc ça à notre équation et on obtient :



C'est le résultat que je trouve, mais dans mon cours, il est dit que ce n'est pas rho de 0 mais de (x,y,z) qu'il reste (ce qui me paraît plus en accord avec les équations de Maxwell mais pas trop avec la démonstration)... Pouvez-vous m'aider à comprendre pourquoi j'en arrive à cette conclusion ? La dépendance en r de la distribution de charges semble être mon problème depuis le début, notamment lors de l'inversion du signe de dérivation et la dérivée nulle "par magie".

Merci d'avance.
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[gatsu]

Salut,

Il faut que tu fasses attention. Lorsque tu écris la loi de Coulomb comme étant l'integration d'une densité sur un volume, il faut le faire par rapport à une variable muette souvent notée et faire intervenir la distance entre ce vecteur qui parcours la densité de charge et le vecteur pointant vers le point M où tu veux calculer le champ. C'est de là que viennent la plupart de tes problèmes techniques.

[LPFR]

Bonjour.
Votre problème de maths est peut-être intéressant, mais ce n'est pas un problème de physique.
On ne "démontre" pas les équations de Maxwell. D'un point de vue formel, ce sont des postulats.
Donc, en physique on démontre que le champ d'une charge est celui que vous avez écrit, à partir de div E = rhô/epsz et non l'inverse.
Il est vrai que, historiquement, c'est dans l'autre ordre que cela fut connu. Mais il n'est pas utile de faire le développement de l'électromagnétisme en suivant l'ordre historique des découvertes. Pas plus qu'on ne commence l'électricité par les cuises de grenouille. Ni que l'on "démontre" la loi d'attraction universelle à partir des orbites de Kepler.

Et vous avez raison, c'est le calcul de dq qui est faux. Pour une distribution quelconque de charges, vous ne pouvez que dire que dq = rhô dv. Mais vous ne pouvez pas le calculer uniquement en fonction de 'r' que si la distribution à une symétrie sphérique.
Au revoir.

[DarK MaLaK]

Salut,

Il faut que tu fasses attention. Lorsque tu écris la loi de Coulomb comme étant l'integration d'une densité sur un volume, il faut le faire par rapport à une variable muette souvent notée et faire intervenir la distance entre ce vecteur qui parcours la densité de charge et le vecteur pointant vers le point M où tu veux calculer le champ. C'est de là que viennent la plupart de tes problèmes techniques.

Si je comprends bien, je dois considérer deux points M et P par exemple. Au point P fixe, j'aurai une distribution de charges ne faisant plus intervenir la variable muette r et je pourrai sortir rho de mon équation. Donc plus de problèmes avec la dérivée ni la fonction de Dirac. En gros, je dois calculer le champ créé en M par une distribution de charges au point P.

Bonjour.
Votre problème de maths est peut-être intéressant, mais ce n'est pas un problème de physique.
On ne "démontre" pas les équations de Maxwell. D'un point de vue formel, ce sont des postulats.
Donc, en physique on démontre que le champ d'une charge est celui que vous avez écrit, à partir de div E = rhô/epsz et non l'inverse.
Il est vrai que, historiquement, c'est dans l'autre ordre que cela fut connu. Mais il n'est pas utile de faire le développement de l'électromagnétisme en suivant l'ordre historique des découvertes. Pas plus qu'on ne commence l'électricité par les cuises de grenouille. Ni que l'on "démontre" la loi d'attraction universelle à partir des orbites de Kepler.

Et vous avez raison, c'est le calcul de dq qui est faux. Pour une distribution quelconque de charges, vous ne pouvez que dire que dq = rhô dv. Mais vous ne pouvez pas le calculer uniquement en fonction de 'r' que si la distribution à une symétrie sphérique.
Au revoir.

Mais si on peut faire la démonstration dans les deux sens, cela ne signifie-t-il pas que les deux équations sont équivalentes, et donc aussi valables en tant que postulats l'une que l'autre ? Désolé si ma question vous choque, mais j'ai un peu oublié d'où venait l'équation du champ qui a été découverte, si je ne m'abuse, avant les équations de Maxwell (même si maintenant on doit considérer qu'elle en découle, d'après ce que vous dites). En fait, les découvertes en physique semblent avancer à l'envers, mais c'est peut-être parce que les postulats et les lois les plus générales sont les plus difficiles à découvrir. C'est ce qui rend l'approche historique inutile d'après vous ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

... C'est ce qui rend l'approche historique inutile d'après vous ?

Re.
L'approche historique a un intérêt historique et doit être présenté dans ce sens.
Je trouve même qu'on ne parle pas assez de l'histoire. Mais ça ne veut pas dire qu'il faut développer la physique en suivant le chemin souvent hésitant de son histoire.
A+

[gatsu]

Re.
L'approche historique a un intérêt historique et doit être présenté dans ce sens.
Je trouve même qu'on ne parle pas assez de l'histoire. Mais ça ne veut pas dire qu'il faut développer la physique en suivant le chemin souvent hésitant de son histoire.
A+

Oui enfin ça reste une histoire de goût avant tout.

[invite251213]

Votre problème de maths est peut-être intéressant, mais ce n'est pas un problème de physique. On ne "démontre" pas les équations de Maxwell. D'un point de vue formel, ce sont des postulats.

Donc, en physique on démontre que le champ d'une charge est celui que vous avez écrit, à partir de div E = rhô/epsz et non l'inverse.

Pas plus qu'on ne commence l'électricité par les cuisses de grenouille. Ni que l'on "démontre" la loi d'attraction universelle à partir des orbites de Kepler.

Je ne suis pas d'accord avec ce genre de "valeurs", "d'idéologie".

Je préfère vraiment démontrer la loi d'attraction universelle à partir des orbites de Kepler. Idem pour démontrer les équations de maxwell à partir de la loi de coulomb.

Et j'ai une bonne justification : les loi de Coulomb et de Kepler sont des observations expérimentales.

Que préférez-vous ?
- Partir de lois établies expérimentalement, puis en déduire toutes les autres équations plus "fondamentales" .
- Ou parachuter sans justifications des postulats "from the outter space" sans savoir d'où ca peut sortir ?

La premiére méthode est celle du physicien, qui part de l'expérience. La seconde est celle du mathématicien qui s'en fout.

La premiére a aussi un autre avantage : tant que les observations sont correctes, le modèle marche. Avec la seconde, va savoir ce qui cloche et quand appliquer les formules !

Et attention : partir des observations ne signifie pas forcément utiliser l'approche historique !

Voilà, c'était juste pour polémiquer, mais je maintiens le bien-fondé de la dérivation de la loi rho/e0 à partir de la loi de coulomb.

[DarK MaLaK]

Re, je pense avoir bien compris pourquoi je m'étais trompé dans le calcul avec la distribution de charges, mais j'ai un autre problème, beaucoup plus mathématique... Quel théorème me permet d'inverser l'opérateur Nabla avec les intégrales pour créer le laplacien ? J'ai essayé de détailler en faisant vecteur par vecteur tant en coordonnées sphériques qu'en cartésiennes mais j'aboutis à une impasse car il faut de nouveau inverser et utiliser la règle de Leibniz que je ne trouve pas claire sur Wikipédia. De plus, même en inversant, je trouve que la divergence du champ électrique est nulle en coordonnées cartésiennes...

Là, je pars de cette formule qui doit être correcte :



Vous avez une idée de là où je me trompe en coordonnées cartésiennes et une explication claire de la règle de Leibniz ?

[wael1992]

on a vu dans le cours que la démontration du (div E(M)=rho(M)/epsz) , avec la distribution du dirac :
j ai pas compris c quoi la distribution du dirac , j attend vos reponses

[albanxiii]

Bonjour (ça fait toujours bien de dire bonjour quand on entre quelque part !),

Il s'agit de la distribution de Dirac (Paul A.M. Dirac), et quand vous ne savez pas quelque chose, c'est une bonne idée de commencer par interroger un moteur de recherche. On trouve ceci : http://fr.wikipedia.org/wiki/Distribution_de_Dirac par exemple.

Bonne journée.

ps : pas de bonjour et langage SMS, vous cumulez les infractions à la charte que vous avez acceptée en vous inscrivant... faites un effort !

[chaton75006]

Je ne suis pas d'accord avec ce genre de "valeurs", "d'idéologie".

Je préfère vraiment démontrer la loi d'attraction universelle à partir des orbites de Kepler. Idem pour démontrer les équations de maxwell à partir de la loi de coulomb.

Et j'ai une bonne justification : les loi de Coulomb et de Kepler sont des observations expérimentales.

Que préférez-vous ?
- Partir de lois établies expérimentalement, puis en déduire toutes les autres équations plus "fondamentales" .
- Ou parachuter sans justifications des postulats "from the outter space" sans savoir d'où ca peut sortir ?

La premiére méthode est celle du physicien, qui part de l'expérience. La seconde est celle du mathématicien qui s'en fout.

J'approuve !
J'ai été heurté par la réponse de LPFR...