Notation covariante

[Skippy le Grand Gourou]

Bonjour,

J'ai quelques difficultés à me faire au système de notation covariante/contravariante, d'où ces quelques questions :

1) Est-ce que l'on peut dire que dans le produit scalaire , le premier terme représente une matrice ligne et le second une matrice colonne ?

2) A-t-on le droit d'écrire ?

3) J'ai dans un livre la définition suivante : "Nous dirons que la transformation A est une transformation de Lorentz homogène si elle conserve le produit scalaire de deux vecteurs X et Y de cet espace, en d'autres termes si [où est la matrice (ligne) adjointe de X]. Plus explicitement, la formule précédente s'écrit ." Il n'y a pas une contradiction entre les deux écritures ?

Merci de votre aide.
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[Rincevent]

bonjour,

1) Est-ce que l'on peut dire que dans le produit scalaire , le premier terme représente une matrice ligne et le second une matrice colonne ?

c'est une façon utile (pas nécessaire) de visualiser ça... pour illustrer ça tu peux regarder ce post (et le reste du fil te sera têt utile d'ailleurs)

2) A-t-on le droit d'écrire ?

Tout dépend si tu suis la convention de sommation d'Einstein ou non et si les indices varient ou non. S'il y a sommation sur tout indice répété, alors tu n'as pas le droit de faire ça car l'indice répété apparaît deux fois "à la même hauteur". Ou plutôt : si tu le fais tu n'obtiens pas un tenseur. Si a une valeur fixe, tu as le droit d'écrire ça, mais ça désigne absolument pas un (co)vecteur obtenu par "prdouit matriciel" de la métrique avec le (co)vecteur. Après, pour ce qui est d'inverser l'ordre, tu en as parfaitement le droit : chaque machin qui intervient (pour mu et nu fixés) est un nombre usuel qui commute...

3) J'ai dans un livre la définition suivante : "Nous dirons que la transformation A est une transformation de Lorentz homogène si elle conserve le produit scalaire de deux vecteurs X et Y de cet espace, en d'autres termes si [où est la matrice (ligne) adjointe de X]. Plus explicitement, la formule précédente s'écrit ." Il n'y a pas une contradiction entre les deux écritures ?

le seul problème est dans le fait de répéter un indice muet deux fois "en bas"... pour voir que tout ça est compatible, écris avec des sommations "visibles" le produit scalaire des deux vecteurs puis passe à la convention d'Einstein et tu verras que tu obtiens bien des trucs compatibles.

[Skippy le Grand Gourou]

C'est toujours pareil : on passe des heures à cogiter pour rien, et quand on se décide à poser la question, la réponse apparaît comme par magie avant que quelqu'un ait le temps d'ouvrir la bouche... Bon, donc je dirais :

1) Evidemment mais ça n'a rien à voir avec la notation covariante, qui donne juste : et (en vecteurs colonne). En fait dans cette notation les dimensions des matrices sont cachées et dépendent de ce que l'on calcule. Oui mais alors : il n'y a aucune différence de notation entre un produit matrice_ligne*matrice_colonne, qui donne un scalaire, et un produit matrice_colonne*matrice_ligne, qui donne une matrice ?

2) Oui car c'est un cas particulier : .

3) Non, simplement comme pour 1), la transosée ne se voit pas en notation covariante.

Alors, j'ai bon ? J'ai bon ?

[Rincevent]

Oui mais alors : il n'y a aucune différence de notation entre un produit matrice_ligne*matrice_colonne, qui donne un scalaire, et un produit matrice_colonne*matrice_ligne, qui donne une matrice ?

pour obtenir un scalaire, tu dois sommer sur un indice répété (cf le produit scalaire où tu sommes sur les composantes). Pour l'inverse, tu ne sommes pas et obtiens un tenseur d'ordre 2 qui peut être vu comme une matrice... mais tu as raison, pas forcément besoin de voir ça comme des lignes et colonnes... ça aide ou ça embrouille, tout dépend de la personne

pour aller plus loin je te conseillerais de regarder les bases de l'algèbre extérieure (calcul avec les "formes", etc), car c'est ça qui est réellement caché derrière les indices 'en haut et en bas' et est réellement très utile pour mieux cerner les objets mathématiques mis en jeu...

3) Non, simplement comme pour 1), la transosée ne se voit pas en notation covariante.

Alors, j'ai bon ? J'ai bon ?

ouaip

[A voir en vidéo sur Futura]

[Skippy le Grand Gourou]

Ok, merci beaucoup.

[Skippy le Grand Gourou]

Une dernière question : en fait un produit scalaire ne devrait pas s'écrire mais ? Ce qui revient au même dans le contexte classique mais prend tout son sens en RG. Me trompe-je ?

[Rincevent]

Une dernière question : en fait un produit scalaire ne devrait pas s'écrire mais ? Ce qui revient au même dans le contexte classique mais prend tout son sens en RG. Me trompe-je ?

oui et non : ton point au milieu de X et Y peut très bien être un g, non?

plus sérieusement, y'a pas de notation parfaite, faut juste comprendre le "sens physico-mathématique" et la "moins pire notation" me semblerait être un truc du genre

ou qui disent tout simplement que le produit scalaire est une 2-forme (une application de ExE dans R) bilinéaire (etc etc) qui est "définie" par g... de cette manière, tu peux définir plusieurs produits scalaires sur le même espace, ce qui est parfois utile...

[invité576543]

Une dernière question : en fait un produit scalaire ne devrait pas s'écrire mais ? Ce qui revient au même dans le contexte classique mais prend tout son sens en RG. Me trompe-je ?

Bonjour,

Non (= tu ne te trompes pas!), mais avec les indices c'est beaucoup mieux parce que l'on sait de quel type de tenseur on cause, et la nature de la multiplication (avec ou sans contraction, quels indices contracter, ...). Comme tu le note g serait vu comme un scalaire...

Dans le contexte classique cela peut être utile dans certains cas. En classique, g est la matrice unité uniquement dans le cas d'un repère orthonormé! Noter en tensoriel permet de ne pas l'oublier... La notation tensorielle est plus générale, par son indépendance par rapport au repère...

Cordialement,

EDIT : croisement encore, mais je laisse...

[invité576543]

Bonjour,

Juste un apparté sur le poste de Rincevent. J'avais cru comprendre que le terme 2-forme était plutôt réservé aux anti-symétriques?

Cordialement,

[Rincevent]

Juste un apparté sur le poste de Rincevent. J'avais cru comprendre que le terme 2-forme était plutôt réservé aux anti-symétriques?

tu as entièrement raison, c'est un lapsus/abus de langage malvenu de ma part. Il s'agit évidemment ici d'une forme bilinéaire symétrique etc...