Problème d'analyse vectorielle (opérateurs)

[invite1ad78da3]

Bonjour,

Dans le cadre d'un projet sur les cyclones (faisant donc intervenir de la mécanique des fluides), je suis confronté a une formule d'Analyse vectorielle que je ne parviens pas à comprendre.

La voila :

dv/dt + grad(v).v = dv/dt + rot(v) Vectoriel v + grad(v²/2)

Faut-il considérer v comme un champ scalaire ou comme un champ vectoriel. Car si je ne me trompe pas, ça n'a aucun sens de calculer le gradient d'un champ vectoriel. De même, on ne peut pas calculer le rotationnel d'un champ sclaire ... ?

C'est surement très simple, mais je débute avec tous ces opérateurs vectoriels.

Merci d'avance.
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[coussin]

C'est normal que les dv/dt se simplifient ? T'es sûr de cette formule ?

[invite1ad78da3]

Théoriquement oui. Voilà la formule que j'aimerais comprendre (redémontrer). Elle correspond à l'équation d'Euler en deux dimensions en mécanique des fluides :

[coussin]

OK
Je la connais avec un .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea8211544]

voila ci dessous :

[obi76]

Bonjour,

ton dU/dt se simplifie toujours. Tu es absolument sur de ta formule ?

[invite60be3959]

Bonjour,

ton dU/dt se simplifie toujours. Tu es absolument sur de ta formule ?

Le membre du milieu n'est q'une réécriture du membre de gauche, l'équation à considérée est :

[coussin]

C'est l'équation que je connaissais mais ça n'explique toujours pas ce terme grad(u).u dans le message #1 Si u est vectoriel, quel est la signification de son gradient ? Et le terme total grad(u).u est scalaire, pas vectoriel

[invite1ad78da3]

Le membre du milieu n'est q'une réécriture du membre de gauche, l'équation à considérée est :

Voilà cette équation est l'équation d'Euler, et je voudrais montrer l'égalité entre la partie de gauche et la partie du milieu dans la formule que j'ai posté.

Question : L'opérateur nabla correspond bien à l'opérateur gradient ? C'est ce que j'ai cru comprendre sur wikipedia.

Si oui j'aimerais être sur du sens de : ( U . nabla) . U ?

[invite60be3959]

C'est l'équation que je connaissais mais ça n'explique toujours pas ce terme grad(u).u dans le message #1 Si u est vectoriel, quel est la signification de son gradient ? Et le terme total grad(u).u est scalaire, pas vectoriel

Il y a une inversion en effet. Ce qui est sûr c'est que le terme que tu as écrit est le bon.

[obi76]

ha oui effectivement, j'ai rien dis

[invite1ad78da3]

Voici un lien si certains s'y conaissent particulièrement en mécanique des fluides.
Même si perso, j'ai l'impression que mon problème tient plus de la simple incompréhension des opérateurs vectoriels...

http://xavier.chassagneux.free.fr/ps.../exercice.html
Je voudrais comprendre et démontrer la toute première relation.
(J'ai remarqué que grad était parfois souligné en gras, je ne sais pas a quoi ceci correspond dans leurs notations. Si vous avez une explication, n'hésitez pas.)

Merci pour votre aide.

[kalish]

Bonjour, je ne comprend pas votre problème U est un vecteur, mais U² est un scalaire, on peut donc prendre son gradient, ça nous donne un vecteur, ensuite quand on écrit il faut d'abord appliquer ça donne un opérateur qui ressemble à la divergence. Et prendre la divergence d'un vecteur il me semble que ça n'est pas impossible.

[doul11]

Bonsoir,

généralement écrit en gras correspond a un vecteur.

Je voudrais comprendre et démontrer la toute première relation.

je ne sais pas ce que tu appelle "relation" ? pour moi c'est un développement on transforme le terme de droite -> ça donne le terme du milieu -> on transforme le terme du milieu -> ça donne le terme de gauche. Cette équation n'est pas une égalité a résoudre on fait passer les termes de gauche a droite ou le contraire.

[invite1ad78da3]

Merci beaucoup.
Vous avez raison mon problème réside surement dans le fait que je n'ai pas bien compris le sens de (u.nabla).u

Je dois donc d'abord appliquer (u.nabla) qui donnerait un opérateur semblable à la divergence. Cette dernière s'appliquant à un vecteur, ça irait.

Si vous pouviez me guider sur ce que donne (u.nabla) (opérateur) car j'avoue ne pas vraiment comprendre comment calculer cet opérateur.

Merci.

[invite1ad78da3]

Bonsoir,

généralement écrit en gras correspond a un vecteur.



je ne sais pas ce que tu appelle "relation" ? pour moi c'est un développement on transforme le terme de droite -> ça donne le terme du milieu -> on transforme le terme du milieu -> ça donne le terme de gauche. Cette équation n'est pas une égalité a résoudre on fait passer les termes de gauche a droite ou le contraire.

En fait je voudrais démontrer cette relation (la double égalité).
L'égalité entre terme de gauche et terme de droite est l'équation d'Euler. Mon problème réside dans la manipulation des outils d'analyse vectoriels pour montrer que terme de gauche = terme central.
(J'ai bien compris que l'égalité n'est pas une équation a résoudre ou autre, juste je voudrais la démontrer en utilisant les opérateurs vectoriels).

Mon problème est sans doute plus mathématique que physique en réalité.

[coussin]

Bonjour, je ne comprend pas votre problème

Le problème est dans la formule du message #3 et dans le terme grad(u).u qui ne fait apparemment pas de sens (qui est en tout cas différent de (u.nabla)u, le terme apparaissant traditionnellement dans l'eq. d'Euler)

[doul11]

Si tu as des soucis avec les opérateurs écrit le détail de chaque dimension avec le détail du produit scalaire ou vectoriel.

[kalish]

Bonsoir, effectivement c'est perturbant au début. Bon alors déjà ça n'est pas une divergence. Si tu veux un sens (très) profond il faut peut être aller voir du coté du transport parallèle, mais c'est pour dans quelques temps .
en fait c'est simplement comme on peut exprimer comme un "vecteur" quand on fait un produit scalaire entre

Pour ce qui est de l'interprétation, c'est peut être un peut dur et inutile, mais si tu peux trouver un sens direct (ça n'est pas toujours le cas, même en physique) je dirais que tu mesures la façon dont ton vecteur vitesse varie par rapport à lui même en un point légèrement "avant" sur la ligne des vitesses instantanées. Peut-être que je me goure.

[kalish]

ton prof réédite l'erreur puisque il réapplique l'opérateur gradient à un vecteur, qu'il appelle w ensuite. Ca peut se faire mais il faut l'écrire comme un produit scalaire, et là tu as une divergence.

[coussin]

Le problème est dans la formule du message #3 et dans le terme grad(u).u qui ne fait apparemment pas de sens (qui est en tout cas différent de (u.nabla)u, le terme apparaissant traditionnellement dans l'eq. d'Euler)

Je me corrige. Le gradient d'un vecteur existe : c'est un tenseur d'ordre 2. On a alors effectivement grad(u).u=(u.nabla)u
Marrant, j'avais jamais vu ça comme ça

[invite60be3959]

Le gradient d'un vecteur existe : c'est un tenseur d'ordre 2. On a alors effectivement grad(u).u=(u.nabla)u
Marrant, j'avais jamais vu ça comme ça

Non, après calculs, je ne trouve pas une égalité. Si est un tenseur d'ordre 2 alors il sera forcément de la forme(en appliquant le produit matriciel et je note ) :



Donc



alors que :



ce qui à l'évidence n'est pas la même chose. Pour qu'il y ai égalité il faudrait définir comme :



et dans ce cas la notation est très mal adaptée je trouve.

[kalish]

Bonjour, désolé mais vous appliquez mal le produit matriciel vaincent (par contre vous savez taper du lateX!!), une ligne fois une collonne, ça fait un nombre, pas un vecteur.

[doul11]

Bonjour,

une ligne fois une collonne, ça fait un nombre, pas un vecteur.

C'est pas une ligne, c'est un scalaire que multiplie une colonne.

[kalish]

ah oué c'est vrai, c'est la même chose que ce que j'ai écrit, j'ai lu trop vite, mais l'opérateur ET C'EST UNE NOTATION s'écrit comme du coup si on l'applique à un vecteur, ça nous fait un scalaire, si on l'applique à un scalaire, ça nous fait un vecteur. Et c'est une notation très courante. Donc reste à savoir si c'est bien ce "gradient de vecteur".

[doul11]

je trouve la même chose que vaincent

[kalish]

il y a peut-être une relation entre les deux quand même en faisant

[doul11]

mais l'opérateur ET C'EST UNE NOTATION s'écrit comme du coup si on l'applique à un vecteur, ça nous fait un scalaire, si on l'applique à un scalaire, ça nous fait un vecteur. Et c'est une notation très courante. Donc reste à savoir si c'est bien ce "gradient de vecteur".

C'est pas une notation, c'est un opérateur qui différencie ce qui ce trouve a sa droite, le produit n'est pas commutatif , le gradient d'un tenseur d'ordre n donne un tenseur d'ordre n+1, le gradient d'un scalaire est un vecteur, la gradient d'un vecteur est une matrice. pour la divergence c'est le contraire.

[invite8915d466]

une autre solution est d'écrire ça en "convention d'Einstein" (beaucoup utilisée aussi en relativité) avec la convention qu'un indice repété est sommé sur toutes les composantes (le produit scalaire se note alors

avec cette convention , le "gradient " d'un vecteur est effectivement un tenseur

on peut le "contracter " avec la vitesse de deux manières différentes
qui correspond bien à l'application de l'opérateur à (c'est donc qui est bien ce qui apparait dans l'équation d'Euler ou Navier Stokes)

ou le "produit scalaire du vecteur par le tenseur" qui est autre chose (c'est le gradient de )

[kalish]

ben donc c'est une notation...

je n'ai pas dit que les vecteur devaient être "différenciés", moi aussi je suis allé à l'école. C'est une notation dans le sens où c'est un opérateur et pas un vecteur qui a une "existence" propre. Contrairement au vecteur vitesse.

Après vous pouvez toujours croire que le monde est remplie de gens qui comprennent moins bien que vous si ça vous arrange.

Et franchement je ne sais pas à quelle école vous êtes allé, mais dans la mienne , ça s'appelle une divergence.

Mais c'est très probable que soit définit également. Après tout il existe aussi un laplacien vectoriel. Il faut juste savoir ce qui est dit dans CE cas là.