Synchronisation de deux pendules

[invite55ab91ae]

Bonjour à tous, avez vous déjà vu cette video ?
http://www.koreus.com/video/synchron...etronomes.html

J'essaie de réaliser l'étude théorique de la synchronisation des pendules ( ici métronomes ), étant en première année de prépa, j'ai d'abord étudié le couplage de deux pendules par un ressort, mais je n'arrive pas a réaliser pour autant cette étude, je ne sais aps par ou commencer.
J'ai voulu essayer, comme pour le couplage par le ressort, de remplacer les actions réalisées par le ressort, par une force d'oscillation du support ( de la planche ), de la forme F0.cos(wt)

Quelqu'un aurait des idées à me proposer ?
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[LPFR]

Bonjour et bienvenu au forum.
C'est bien ça qu'il faut faire. Mais il faut décider "comment". Le couplage peut se faire par une force (ou un mouvement) horizontale, verticale, ou les deux.
Et il faut voir ce que l'on accepte de simplifier. Par exemple, dans le cas des métronomes, la masse du pendule et très faible comparée à celle du métronome. On peut donc commencer par calculer le mouvement du métronome et puis, calculer comment ce mouvement modifie l'oscillation du pendule.
Au revoir.

[invite55ab91ae]

Merci pour la réponse,
Le couplage se fait par un mouvement horizontal, je ne pense pas pouvoir négliger la masse du pendule, étant donné que c'est le mouvement des pendules qui créent le mouvement horizontal de couplage.

[Jeanpaul]

Le plus simple est la formulation lagrangienne, en introduisant comme variables X la position du plateau et les 2 angles A1 et A2
Le couplage se fait via le terme d'énergie cinétique car la composante selon OX sera du genre dX/dt + a dA1/dt où a est le balourd (distance de G à l'axe)
On cherche ensuite les modes de vibration, soit des solutions purement sinusoïdales et on trouve que le mode le plus bas est celui où les 2 pendules oscillent en même temps avec le plateau en sens opposé.
C'est différent de ce qui se passe avec 2 pendules accrochées au mur (Huygens) car le petit choc de libération de l'échappement déclenche l'autre ; c'est non-linéaire et c'est le plus rapide qui impose la fréquence.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite55ab91ae]

Merci beaucoup Jeanpaul, il faut que j'éssaie tout ca, le plus important serait de trouver les équations différentielles des angles propres aux pendules, la résolution peut se faire par ordinateur.
En revanche merci pour l'info de la résolution avec l'énergie cinétique, le mode le plus bas.
Je fais justement cette étude pour mon TIPE et je parle aussi les pendules de Huygens, plus complexes, mais cette étude serait importante pour mon explication de manip.
Merci encore et n'hésitez pas si vous voulez me donner plus d'infos pour des subtilités.

[Jeanpaul]

C'est d'autant plus simple que, s'il y a 3 inconnues au départ, elles se réduisent à 2 parce que l'abscisse du centre de masse est fixe (pas de force extérieure selon Ox).
Donc seulement 2 équa diff couplées. Par symétrie, on voit assez bien que l'un des 2 modes est les 2 pendules en phase, l'autre en opposition de phase. En général, c'est le mode le plus bas qui s'amortit le moins.

[invite55ab91ae]

Quand tu parles de trois inconnus, veux tu parler des deux angles propres aux pendules et de x, la position de la planche ?
Et "'abscisse du centre de masse est fixe", celui de la planche ?
Et faut t'il travailler simplement en référentiel terrestre ou faut t'il faire un changement de référentiel, avec un nouveau référentiel lié à la planche ?

[Jeanpaul]

C'est bien ça les 3 inconnues mais le centre de masse ne se confond pas avec la planche : c'est celui de l'ensemble planche + 2 blocs de métronome + les 2 balanciers des métronomes. C'est donc une combinaison (linéaire si on simplifie) de x et des 2 angles de balancement.
Il vaut mieux rester en référentiel du laboratoire car c'est là que le centre de masse est immobile (toujours privilégier les invariants).

[invite55ab91ae]

Ah oui d'accord j'ai compris !
Hum sinon j'ai encore du mal à débuter, ca ne fait pas encore parti de mon programme.
Je ne connais pas la formulation lagrangienne, je sais juste que L= Ec-Ep, soit ici pour la planche L= (m/2)*dX/dt, mais ensuite . . .
Comment fait tu arrive tu à un résultat de la forme dX/dt + a dA1/dt ?
Et clairement comment réaliserais tu l'étude, en repérant uniquement les absisses des masses accrochées aux pendules ? ou encore uniquement la position du support ?
Je t'avoue que j'ai du mal, je ne connais que les notions de PFD, moments cinétiques, et etudes énergétique.
Le plus dur étant de trouver le couplage des deux équation diffs.
Et encore une question, la synchronisation se réalise pour le mode le plus bas, qu'est ce que cela veux vraiment dire ? POur l'énergie mécanique la plus basse ?
Merci encore de prendre le temps de me répondre, cela m'aide beaucoup !

[Jeanpaul]

Je ne suis pas surpris que tu ne connaisses pas la formulation lagrangienne. Dommage car c'est un outil très puissant.
Mais tu peux contourner la difficulté.
Déjà remplace les pendules oscillants par des masses au bout d'un ressort horizontal. Tu appelles k la raideur et x1 la position de la masse m par rapport au chariot, chariot qui a une masse M incluant les supports de métronome. X la position du chariot dans le référentiel absolu.
Le déplacement absolu d'une masse sera donc x1 + X et on aura que
m d²(x1+X)/dt² = - k x1 dans le référentiel absolu.
Pareil pour x2
Ensuite tu dis que le centre de masse de l'ensemble chariot + 2 masses est en translation uniforme (pas de force extérieure selon Ox). Au plus simple :
M X + m (x1+X) + m (x2+X) = 0
C'est alors que tu introduis les modes en cherchant des solutions harmoniques (=sinusoïdales) alors d²x1/dt² = - w² x1 et pareil pour x2
Tu te retrouves avec un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues (x1 et x2 car X s'est éliminé). Il faut que le déterminant soit nul, sinon la seule solution sera x1 = x2 = 0
Ce déterminant nul est une équation dont l'inconnue est w². Il y a forcément 2 racines réelles (c'est général pour 2 inconnues et ça se démontre).
La plus petite, c'est le mode fondamental (par définition) et c'est aussi le moins amorti en général (ça c'est expérimental).
Regarde pour ces 2 valeurs quelles sont les solutions x1 exp(j wt) et x2 exp(j wt) et tu comprendras ce qui se passe dans le film.

[invite55ab91ae]

Super, un grand merci ! J'éssaie ca dès ce soir, je dirais si je rencontre des problèmes, ou même si j'ai réussi !

[invite55ab91ae]

Me revoilà, donc après un essai, j'ai quelques point que j'aimerai éclaircir:
Au début j'ai donc un système de deux équations diffs, couplées par X'' ,
J'arrive ensuite au point pour suprimer l'inconnue X, grâce à :
M X + m (x1+X) + m (x2+X) = 0
Je n'ai pas parfaitement compris comment arrive t'on à ce résultat. ( je suis sur que c'est tout con, mais je vois pas pourquoi les masses interviennent )
Je dois donc exprimer X en fonction de x1 et x2 :
X = -A * (x1+x2) avec A une constante, qui serait m/(M+2m) en suivant ta relation.
Je remplace tout ca et j'élimine l'inconnue X, ok.
Ensuite, je dois remplacer d²x1/dt² par - w² x1 et pareil pour x2,( c'est bien ca ?)
Mais cela me donne un système d'équations linéaires, et mon problème est que mes deux équations linéaires n'en sont en réalité qu'une seule, deux fois la même, ce qui me donnerais comme solution x1= -x2.
Je bloque donc à ce point, en considérant ce qui précède juste, et je ne vois pas comment faire intervenir un déterminant ayant deux fois la même équation . Je te donne l'équation unique que j'obtient, w²A(x1+x2) =0
Je te donne aussi ce que j'obtient comme système d'équation juste après l'élimination de la variable X et avant de concidérer d²x1/dt² = - w² x1 :
(1-A)*x1'' -A*x2'' =-w²x1
(1-A)*x2'' -A*x1'' =-w²x2
Pourrais tu m'expliquer ( encore une fois et désolé ), et me dire si j'ai une erreur ou une incohérence.
Merci.

[Jeanpaul]

L'expression de la position du centre de masse n'est rien de plus que la définition du centre de masse : le barycentre des points, à savoir la planche + les éléments fixes des métronomes avec la masse M et les 2 masses mobiles avec une masse m chacun.
Ensuite, il ne doit plus y avoir de x1" ni de x2" puisqu'on a pris que d²x1/dt² = - w² x1
Où sont passées les relations avec les raideurs :
m d²(X+x1)/dt² = - k x1 et la même pour x2
Ca fait un truc du genre x1 [(1-A) m w² - k] = m w² A x2
et sa soeur : x2 [(1-A) m w² - k] = m w² A x1
Les produits en croix sont égaux donc
[(1-A) m w² -k]² = (m w²)²
Avec le plus ou moins qui en résulte, tu auras 2 valeurs de w² différentes et tu verras aisément que pour l'une x1 = x2 et pour l'autre x1 = - x2

[invite55ab91ae]

BOn super j'ai réussi, ce n'était pas très dur mais il y avait des petites subtilités.
En tout cas merci à toi !!
Sinon, tu parlais des pendules de Huygens, qui constituent une grande partie de mon TIPE, cette étude représentant une petit application.
Un mode non linéaire ? Je sais que lorsque les pendules se déplacent dans le même sens, il se crée des forces de frictions dans le support, qui vont donner une réistance au mouvement.
Et que la masse du support ( ou faisceau ) influe sur la rapidité de la synchronisation et qu'avec une distance séparant les deux pendules trop grande, la synchronisation ne se fait pas.
Aurais tu des infos plus précises, serais tu ou je peux en trouver ?

[Jeanpaul]

Tu as dit l'essentiel. L'idée est de regarder de très près comment fonctionne une pendule à balancier, notamment le système d'échappement. On voit bien comment une petite pichenette peut libérer le rochet plus tôt.
Il existe une différence fondamentale entre le calcul que tu as fait et ces pendules à balancier. Dans les 2 cas, on a des oscillateurs couplés mais ...
Dans ton calcul tu couples 2 oscillateurs (les 2 pendules) et il en résulte un système dont une fréquence est inférieure et l'autre supérieure à celle des pendules séparés (vérifie). C'est un théorème général : le couplage écarte les fréquences propres (ça se retrouve en mécanique quantique avec les croisements de niveaux) donc si on regarde bien, on voit que les métronomes se synchronisent et qu'ils battent plus lentement. Essaie de regarder sur le film si c'est vrai.
Avec les pendules de Huygens, rien de tel : c'est la plus rapide qui impose sa cadence et ce ne sont pas du tout les mêmes équations.

[invite55ab91ae]

Salut, me revoilà, je répond un peu tard.
Il faut que je vérifie cette histoire de fréquence expérimentalement dès que je serais en posséssion d'un deuxième métronome.
Je savais aussi que "Avec les pendules de Huygens, rien de tel : c'est la plus rapide qui impose sa cadence", mais saurais tu si je pourrais retrouver une étude théorique avec les équations quelque part ?
Je craint ne pas pouvoir faire cela par moi même.
Merci de ton attention.

[Jeanpaul]

Je ne pense pas qu'il soit besoin d'équations, c'est du bon sens mais il faut regarder finement comment marche l'échappement d'une horloge à balancier, comment il entretient le mouvement et comment il se libère.
Pas commode de mettre un choc en équation.

[invite55ab91ae]

Ah oui je me permet aussi de poser des question auquelles je vais aussi essayer de répondre :
- La synchronisation ne se réalise pas si les deux métronomes sont différents, masse du pendules, fréquences propres différentes ?
- La synchronisation a t-elle lieu dans le cas des horloges à balanciers de Huygens en mettant trois ou 4 horloges ?

[Jeanpaul]

L'idée c'est que le métronome le plus rapide se déclenche un chouïa avant l'autre. Le choc ressenti suffit pour faire sauter l'autre de quelques microns, ce qui le déclenche.
Cela ne peut fonctionner que si les 2 pendules sont presque synchrones, sinon le petit choc, arrivant en milieu de course, n'aura aucun effet.
Ca doit pouvoir marcher avec plusieurs horloges qui battent la même chose, même mieux, parce que 2 horloges font un plus gros choc qu'une seule.