Mécanique quantique : commutation

[invitea61c15e2]

Bonjour,

J'ai deux opérateur H et B :






J'aimerais montrer qu'ils commutent. Comment faire?

Mon problème c'est que c'est des matrices. Est-ce qu'il faut faire HxB-BxH et vérifier que c'est égale à 0? En gros je fait juste deux produits de matrices puis une addition ou alors c'est plus compliqué?
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[Deedee81]

Salut,

J'aimerais montrer qu'ils commutent. Comment faire?
Mon problème c'est que c'est des matrices. Est-ce qu'il faut faire HxB-BxH et vérifier que c'est égale à 0? En gros je fait juste deux produits de matrices puis une addition ou alors c'est plus compliqué?

Justement, sous forme matricielle c'est simple (au fait, w0 et b sont bien des scalaires je suppose ?), enfin, simple tant que tu as des petites matrices. Et oui, il suffit de vérifier si HxB est égal à BxH.

[DarK MaLaK]

Salut, oui, il faut vérifier que la différence HB-BH est nulle. Justement, ça me paraît simple avec des matrices bien définies plutôt que des opérateurs abstraits !

[invite60be3959]

La définition de la commutation de 2 opérateurs A et B, c'est dire que AB=BA, donc en effet il faut calculer les 2 produits (matriciels), et vérifier si le résultat est le même.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite21dfc132]

Bonjour,

J'aurais tendance à dire que ça saute aux yeux, mais en fait ce serait assez désagréable comme réponse. En très court, B est diagonale par blocs, le bloc de qui correspond au sous-bloc 2x2 de B est proportionnel à l'identité, donc ils commutent...

Plus de détails : soit tu fais le calcul des deux produits matriciels, soit tu diagonalises B (ce qui est facile en fait) et tu montres que le Hamiltonien reste diagonal dans la base qui diagonalise B.

Soient , et les états propres de . Ton Hamiltonien (qui ressemble méchamment à un Hamiltonien de RQN pour un spin 1 sans asymétrie de gradient de champ électrique soit dit en passant) est proportionnel à l'identité sur le bloc , ce qui fait que n'importe quelle combinaison linéaire de ces deux EP est encore un EP de .

Or, la base diagonalise B. Il existe donc une base dans laquelle B et sont diagonaux, CQFD.

Bon courage, cordialement,

Hibou

[invitea61c15e2]

je ne connait pas l'Hamiltonnien de RQN . En fait j'étudie juste les bases de la mécanique quantique donc j'entre pas dans tous les détails. La vraie mécanique quantique se sera pour l'an prochain...

En tout cas c'est clair pour moi donc merci.

Une autre petite question :
Mon prof écrit les commutateurs avec des crochets, par [A,B]. Dans les bouquins j'ai vu la même notation. Cependant là je vois noter (H,B) ou (H²,B) et ce n'est pas marquer si c'est des commutateurs... J'aurais tendance à dire oui mais la phrase parle je cite "d'ensembles d'opérateurs (H), (B), (H,B) ou (H²,B). Donc ça me perturbe un peu d'avoir des parenthèses.

On parle bien encore de commutateur pour (H,B)?