Exemple de processus aléatoire

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

je viens vers vous car je suis à la recherche d'un exemple de processus évoluant de la manière suivante :


Pendant un temps aléatoire (dont la loi dépend de ), on a

On pose .

Au bout de ce temps aléatoire, il y a une transition markovienne :
est une variable aléatoire dont la loi ne dépend que de

A partir de , pendant un temps aléatoire (dont la loi dépend de ),

On pose .

Et ainsi de suite...

La particularité du processus est la suivante : le temps aléatoire s'écrit où est une fonction déterministe de .

Attention la loi de ne dépend que de .
Et la loi de ne dépend que de (et pas de ).

Je vous donne un faux exemple :
Le processus compte le nombre de tâches à effectuer par une machine à l'instant . Pour effectuer un nombre de tâches , il faut un temps déterministe . De temps en temps, de manière aléatoire, on demande à la machine d'effectuer une tâche supplémentaire "mise en attente".

Pourquoi ça ne marche pas ?
Lors des instants de saut intervenus de manière aléatoire : le nombre tâches augmente de 1, alors que lors des sauts "déterministes" (au bout du temps ), le nombre de tâche passe à .
La loi de la transition markovienne vers dépend donc du temps .

Auriez-vous des idées de problèmes physiques "sérieux" (on peut bien sûr imaginer plein de trucs farfelus) qui se modéliseraient par ce genre de processus ?

Pourquoi tout ça : j'étudie ce genre de processus d'un point de vue mathématique, et je cherche une application physique.


Romain, qui vous remercie (au moins) d'avoir lu jusqu'ici
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[invite60be3959]

Bonjour,

ce que je sais c'est que la vitesse d'une particule brownienne suis un processus markovien, donc tu pourrais peut-être chercher de ce côté...

[invite93279690]

Salut,

Ca me fait penser à un processus de sauts pour un réactif qui se déplacerait le long d'un polymère pour faire un peu général. Ta variable aléatoire de temps dépendrait de la hauteur de la barrière à franchir pour chacun des sauts, qui elle même dépendrait de la chimie local du polymère.

[inviteaeeb6d8b]

Merci à tous les deux de vos réponses

ce que je sais c'est que la vitesse d'une particule brownienne suis un processus markovien, donc tu pourrais peut-être chercher de ce côté...

Les processus que je considère sont de type non-diffusion, du coup, le brownien, c'est pas top.

Ca me fait penser à un processus de sauts pour un réactif qui se déplacerait le long d'un polymère pour faire un peu général. Ta variable aléatoire de temps dépendrait de la hauteur de la barrière à franchir pour chacun des sauts, qui elle même dépendrait de la chimie local du polymère.

Ca me plait bien ça.
Tu pourrais préciser un peu ta pensée ou me donner des références ?
Merci


Romain

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93279690]

Ca me plait bien ça.
Tu pourrais préciser un peu ta pensée ou me donner des références ?

Pour parler un peu de ce que je connais, ça pourrait modéliser le déplacement d'une protéine qui se déplacerait le long d'un segment d'ADN. La probabilité d'un saut (ou bien le temps de vie sur un site) dépend énormément de la séquence.
Le fait que la variable aléatoire soit une fonction de semble dire qu'on a affaire à des "petits" sauts dans le sens où l'objet ne se relocalise pas n'importe où après avoir sauté. En biophysique ce comportement est qualifié de "hopping". Le fait que le temps de vie dépende de est tout à fait en accord avec un temps de vie qui dépend de la barrière à passer et donc de la séquence.

rmque : ça ressemble un peu au modèle de "ratchet" pour modéliser le transport actif dans les cellules mais dans ton cas il faudrait imaginer un potentiel aléatoire qui ne colle pas vraiment avec ce type de système...d'où ma préférence pour l'ADN.

[inviteaeeb6d8b]

Salut,

à Gatsu :

D'accord, je comprends ce que tu veux dire. Y a-t-il la présence d'un temps déterministe au bout duquel le saut est "forcé" ?
C'est une contrainte qui me semble forte dans mon problème.


A tous les autres :

J'ai vu qu'on pouvait ponctuer l'équation de Schrödinger de sauts aléatoires.
Dans la référence que j'ai trouvée, on ajoute aussi une partie diffusion (l'équation devient stochastique). Savez-vous si ce genre de modèle existe sans diffusion ?

Il doit bien exister des modèles physiques régis par des équa diffs ponctuées de sauts aléatoires, non ?

[invite93279690]

Salut,

à Gatsu :

D'accord, je comprends ce que tu veux dire. Y a-t-il la présence d'un temps déterministe au bout duquel le saut est "forcé" ?
C'est une contrainte qui me semble forte dans mon problème.

Je n'avais pas compris que dans ton processus le saut pouvait être forcé au bout d'un certain temps...en fait je ne suis pas sûr de voir ce que tu veux dire avec cette remarque. Tu peux explicter svp ?

[inviteaeeb6d8b]

Mathématiquement, pour le premier temps de saut :

Supposons : .
Le premier temps s'écrit : ,
où la loi de dépend de et .

Romain

[invite93279690]

Mathématiquement, pour le premier temps de saut :

Supposons : .
Le premier temps s'écrit : ,
où la loi de dépend de et .

Romain

Désolé je pense être plus bloqué par les notations qu'autre chose...
Ca veut dire quoi exactement ?
Et t(x) serait une fonction déterministe de x c'est ça ?

[inviteaeeb6d8b]

Désolé je pense être plus bloqué par les notations qu'autre chose...
Ca veut dire quoi exactement ?
Et t(x) serait une fonction déterministe de x c'est ça ?

Désolé, je n'ai pas été assez clair.

Oui, est une fonction déterministe à valeurs dans .
est le temps maximal qu'on peut passer dans la position .
Dans mon cas, j'aimerais avoir ...


Enfin .

Merci de t'être penché sur mon problème.

Romain

[invite93279690]

Désolé, je n'ai pas été assez clair.

Oui, est une fonction déterministe à valeurs dans .
est le temps maximal qu'on peut passer dans la position .
Dans mon cas, j'aimerais avoir ...


Enfin .

Merci de t'être penché sur mon problème.

Romain

Ok...j'y ai réfléchi et je ne pense pas connaitre de processus physique naturel qui satisfasse ce type de dynamique.
Il me semble évident qu'il faut coupler un phénomène de physique avec une contrainte extérieure (humaine sans doute) pour jouer le role de t(x).
Par exemple le t(x) pourrait être un biais observationnel généré par la résolution temporelle d'une caméra lorsque tu observes une dynamique : tu ne peux observer un évenément que s'il s'est produit en un temps inférieur à 20ms par exemple.
Si tu veux faire un modèle qui comprenne la physique tout en collant à la manip il faut introduire ce biais d'une façon ou d'une autre et le t(x) me semble une façon de faire.
Le seul problème c'est que dans cet exemple t(x) est different de l'infini mais est le même pour tout x.

[inviteaeeb6d8b]

Je te remercie (un peu tard, certes) d'avoir autant réfléchi à mon problème

[invitef17c7c8d]

Il doit bien exister des modèles physiques régis par des équa diffs ponctuées de sauts aléatoires, non ?

Il y a une contradiction dans ce que tu dis. Un équation différentielle traite du continue. Les sauts sont de l'ordre du discontinue.

Tu peux voir l'équation de Langevin. Une équation de ce type très célèbre est la relation d'Einstein qui relit la dissipation déterministe d'un système à ces fluctuations aléatoires.

Si j'ai bien compris tes propos, tu souhaites retrouver une équation différentielle stochastique par un modèle de type chaîne de Markov.

[invitef17c7c8d]

Pour élargir un peu le débat, j'ai le sentiment que la nature alterne les comportements continus et discontinus à chaque changement d'échelle.

Effectivement, au niveau quantique, le discret est foison, mais en augmentant le niveau d'énergie, on aboutit à un continuum d'état.
De même un gaz (milieu continu) n'est constitué que d'éléments discrets (les molécules).

Or au niveau macroscopique, on retrouve des comportements discrets issus d'un continuum: Les modes. Et la encore en augmentant le nombres de modes, on aboutit de nouveau à un continuum de modes (l'attracteur étrange par exemple)

Nous pouvons surement extrapoler cette alternance discret/continue à des échelles plus grandes.

On a là affaire à une loi de la nature profonde à mon sens.

[invitef17c7c8d]

Un des "sauts" les plus spectaculaires, ce sont les mathématiques qui nous le fournissent avec l'hypothèse de Riemann concernant la fonction zêta. Il s'agit encore d'un problème ouvert: elle affirme que si et, alors