Inductance d'une boucle à section transversale rectangulaire

[invitea42aaac7]

Bonjour à toutes et tous,
Je cherche une formule qui donne l'inductance d'une boucle conductrice à section transversale rectangulaire, comme indiqué sur l'image, en fonction des dimensions et de la perméabilité (c'est pour du cuivre donc ). Il n'y a pas de noyau, la boucle devant être laissé dans l'air (plus précisément dans le vide). Aussi, ça serait certainement dans le cas donc même une approximation dans cette limite m'intéresse.



On trouve facilement dans la littérature la formule pour une boucle à section transversale circulaire, comme celle donnée dans Classical Electrodynamics de Jackson: pour un tore de rayon et rayon de section transversale avec . Cependant pour une section rectangulaire, je ne trouve rien du tout.

J'apprécierai beaucoup un peu d'aide parce que je ne me sens pas de jouer longtemps avec Maxwell, donc si quelqu'un connait la solution (avec une référence!), ça serait génial.

Merci beaucoup par avance,
Matt
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Le calcul n'est pas très difficile.
Utilisez Biot-et-Savart pour calculer le champ magnétique crée par un des côtés dans n'importe quel point. Intégrez ce champ entre r_wire et les autres côtés, pour obtenir le flux.
Si la spire est carrée multipliez ce flux par 4 (si elle est rectangulaire il faut faire deux calculs).
Utilisez la définition d'inductance et la loi de Faraday pour calculer la self:

Au revoir.

[invite6dffde4c]

Re.
Plus rapide:
ici.
A+

[invitea42aaac7]

Bonjour et merci pour la réponse. Néanmoins, c'est l'inverse de ce que je cherche, votre lien parle d'une spire rectangulaire à section circulaire alors que je cherche la formule pour une spire circulaire à section rectangulaire!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6dffde4c]

Re.
Par curiosité: dans quelle application ça peut faire une différence?
Car des que la fréquence monte, l'effet de peau fait que le volume même du conducteur n'est pas traversé par le champ variable. Alors que le conducteur soit circulaire ou carré ne change pas grand chose.
A+

[invitea42aaac7]

En fait c'est un peu particulier. C'est pour une expérience de physique atomique dans les laquelle les atomes (froids) sont piégés dans un potentiel magnetique annulaire. Le piège est créé par la combinaison d'un champ AC homogene (qui induit un courant dans la spire) et par le champ ré-émis par l'anneau de cuivre. En moyenne dans le temps, il se forme un minimum de potentiel magnétique annulaire situé à une certaine distance du bord interne de la spire où les atomes peuvent être piégés, d'où la nécessité d'avoir une spire circulaire! Ensuite, le fait que la section transversale doit rectangulaire est imposée par les techniques de fabrication auxquelles nous avons accès. Bref, ce que je veux faire en ce moment c'est investiguer les différentes géométries possibles (et comparer avec les mesures de paramètres électriques) avant de choisir la meilleure forme possible pour notre anneau, d'où ma question sur l'inductance. La résistance aussi est importante, mais ça c'est plus facile
Matt

[invite6dffde4c]

Re.
Merci de vos explications.
Ce qui me tracasse est que le champ continu est toujours calculable (plus ou moins incommodément) avec Biot-et-Savart. Mais l'inductance dépend précisément du courant induit dans le cuivre par son propre courant et qui subit l'effet de peau. C'est à dire que l'inductance dépendra de la fréquence. Et là, ce calcul est vraiment incommode. Les dimensions effectives de la spire dépendent de la fréquence.
À quelle fréquence tout cela se passe? Le cuivre est à quelle température?
A+

[invite2b505b01]

Bonjour,

Je pense que si vous parlez d'inductance, vous perdez de facto l'(éventuelle) influence de la section du circuit sur le champ dans la définition de base (par définition, c'est le courant dans le fil, et le flux embrassé avec le problème de la définition exacte de la section). J'imagine qu'il serait tout de même possible de diviser l'anneau de section rectangulaire en spires élémentaires et de sommer sur le tout pour vraiment rendre compte de la section du circuit.

Vous n'utilisez pas d'éléments finis ? Et vous ne pouvez pas étalonner vos bobines (si j'ai bien compris ce n'est qu'un anneau donc j'imagine que non) ? Car j'ai l'impression que vous vous concentrez sur un détail qui jouera peu sur la valeur de l'inductance de la bobine en négligeant l'influence de l'environnement de la bobine qui influera aussi dessus de manière peut-être comparable.

[invitea42aaac7]

Bonjour,
La fréquence du champ magnétique est fixée à 30 kHz, ce qui donne une épaisseur de peau de 0.4 mm. L'épaisseur de l'anneau (b sur le graphe) est fixée, pour le moment, à 2 mm et en effet, la valeur de l'inductance en DC et en AC sera différente. Mais cela est toujours possible de réduire cette épaisseur de manière à ce que le courant remplisse tout le conducteur de manière à ne pas avoir à considérer un anneau creux. L'environnement extérieur n'a pas vraiment d'influence sur l'inductance vu que l'anneau est suspendu par des tiges de céramique au milieu d'une cellule à vide.
Matt

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Vous écrivez comme si vous aviez joint un dessin. Je n'en vois pas. Si vous voulez le faire, sous la fenêtre d'édition cliquez sur "Gérer les pièces jointes" et laissez-vous guider.

Pour revenir à votre problème, le fait que la profondeur de peau soit de 0,4 mm simplifie énormément le problème, si le tube (la spire) et plus épais que ça. Car ça signifie que le flux est le même tout le long de la spire et ça veut dire que l'inductance est la même que celle d'un solénoïde long.
Au revoir.

[invite6dffde4c]

Re.
Correction.
J'ai raconté des bêtises.
C'est vrai que le flux est constant tout le long du tube. Mais ma conclusion que l'inductance est celle d'un solénoïde long est fausse. Le champ n'est pas uniforme dans toute la section.
Là je ne sais pas quoi faire. Le calcul par Biot et Savart n'est plus valable car les courants d'effet de peau contribuent au champ (et rendent constant le flux).
Je continuerai à réfléchir.
A+