Mécanique Quantique

[invitef2e02880]

Bonjour à tous et à toutes;

J'ai une question qui m'ennuie d'autant plus que je me doute que c'est certainement simple à comprendre, mais ce n'est pas clair pour moi...
Je voulais simplement savoir quand on nous donne un Hamiltonien et qu'on nous demande(classiquement) de rechercher ses valeurs propres et vecteurs propres en ordonnant les vecteurs propres comme imposé dans le sujet de l'énoncé, comment on devrait procéder?Je veuxdire par là que je sais très bien diagonaliser une matrice d'un endomorphisme, mais pas quand il s'agit de le faire avec des kets...
Help!
Si vous avez un exemple simple sur lequel je pourrai mieux comprendre les choses , je vous en remercie par avance!
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[invitef17c7c8d]

Bonjour à tous et à toutes;

J'ai une question qui m'ennuie d'autant plus que je me doute que c'est certainement simple à comprendre, mais ce n'est pas clair pour moi...
Je voulais simplement savoir quand on nous donne un Hamiltonien et qu'on nous demande(classiquement) de rechercher ses valeurs propres et vecteurs propres en ordonnant les vecteurs propres comme imposé dans le sujet de l'énoncé, comment on devrait procéder?Je veuxdire par là que je sais très bien diagonaliser une matrice d'un endomorphisme, mais pas quand il s'agit de le faire avec des kets...
Help!
Si vous avez un exemple simple sur lequel je pourrai mieux comprendre les choses , je vous en remercie par avance!

Non, ce n'est pas simple du tout.
L'exemple de l'oscillateur harmonique à une dimension est un bon début.

Autant en physique de manière générale, je pense que les analogies aident à la compréhension. Autant dans le cas particulier de la MQ, cela peut être une source de confusion.
Pour préciser un peu ma pensée. Il y a dans le formalisme de la MQ une analogie en tout point avec la mécanique classique. Ceci était une volonté farouche des pères fondateurs, notamment de la part de Heisenberg. Bien évidemment, ils ont réussi leur tour de force magistral, mais du coup on s'y perd un peu : relation d'incertitude, non-commutativité, ondes de probabilité,...

De ce que j'en comprend, je pourrai imager les choses de la manière suivante:

Bon, la MQ détermine une onde de probabilité.
Pour imager, je réduis l'espace à une corde (pourquoi pas après tout). Cette corde vibre à une certaine fréquence et se déforme d'une certaine manière. Je suppose, toujours pour imager, que la déformation, qui est en réalité une onde stationnaire, ressemble à un sinus sur une longueur d'onde .

Si je me place au milieu de la corde, j'ai un noeud de "vibration". Par conséquent j'en déduis qu'en ce point la probabilité de présence de l'électron (par exemple) est minimale. Cela implique donc qu'en ce point l'électron aura une vitesse maximale (C'est parce qu'il va vite en ce point qu'il n'y est pas longtemps). Et comment détermine t-on, cette vitesse? Cette vitesse est proportionnelle à la pente de la fonction sinus en ce point.

Donc en résumé,
L'énergie de l'électron est avec fréquence d'oscillation de la corde. C'est une valeur globale.

La présence de l'électron est donnée par la fonction d'onde (ici, la fonction sinus). C'est une valeur locale.

La quantité de mouvement de l'électron est proportionnelle à h et à la dérivée de la fonction d'onde. C'est une valeur locale.

Et c'est pour cela aussi que :
A la position x en mécanique classique, on associe l'opérateur multiplié par x.
A la quantité de mouvement mv en mécanique quantique, on associe l'opérateur