Fréquence propre d'une poutre encastrée préchargée

[Torseur06]

Bonjour,

Je connais la première fréquence propre d'un système continu constitué d'une poutre encastrée encastrée en fonction des paramétres. (mode de flexion)

Cependant j'aimerais savoir si il existe une formule "d'approximation" de la première fréquence propre de cette même poutre mais préchargé axialement. En gros on la force un peu à "flamber" d'un effort N ou d'une pression P avant de remettre les encastrements.
C'est un peu le principe des cordes de piano.

A mon avis nous sommes face à un problème très non linéaire c'est pour ça que je pense qu'il n'y a pas de formule 'exacte' mais plutôt une approximation.
Je sais aussi que la rigidité de la poutre va a priori diminuer lorsque l'on va la compresser donc la première fréquence propre devrait diminuer aussi (w= (K/M)^1/2)
Par contre je n'arrive pas à quantifier cette valeur.

Pouvez vous m'aider ?

Merci d'avance pour votre aide...
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[Torseur06]

Un p'tit up pour les personnes pouvant m'aider...

Merci de votre aide !

[invitef17c7c8d]

Un p'tit up pour les personnes pouvant m'aider...

Merci de votre aide !

Je ne sais pas trop quoi en penser. Habituellement, le flambement des poutres est en rapport avec les notions de raideurs négatives...

Tu peux en dire un peu plus sur le type d'application expected ?

[Torseur06]

Merci pour ta réponse lionelod.

C'est un dispositif très utilisé dans les capteurs micro-électro-mécaniques (MEMS).

En gros on exploite le décalage fréquentiel d'une micropoutre (vibrante) soumise à un préchargement axial pour en déduire les caractéristiques attendues au niveau du capteur.

Mon problème est que je n'arrive pas à quantifier le décalage entre la fréquence avant et après préchargement.

Comme je l'ai dit tout à l'heure je m'attends à ce que cette fréquence baisse si on comprime la poutre mais de combien ?

J'espère vous avoir éclaircit mon problème et que vous pourrez m'apporter votre aide...

Merci d'avance !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Torseur06]

Un p'tit up s'il vous plait...

[invitef17c7c8d]

Je fais des mesures de raideur dynamique sur des embouts de filtrations pré-chargés. En fonction de la précharge, la raideur dynamique augmente comme la précharge au carré.

Dans mon cas, la raideur dynamique augmentant avec la précharge, la fréquence augmente également, elle ne diminue pas...

[Torseur06]

Merci pour ta réponse.

En effet, je ne dis pas que la raideur diminue à chaque fois que la structure est préchargée.
Dans mon cas précis lorsque ma poutre est en compression, sa rigidité donc raideur diminue donc sa fréquence propre diminue.
Si je l'avais préchargée en tension dans l'autre sens la fréquence propre aurait augmentée car la raideur augmente en traction.

Dans ton cas, je suppose que de la manière où tu précharges tes embouts de filtrations tu es dans le cas où la raideur augmente comme tu me l'as indiqué avec ta formule.
Cependant si tu précharges tes embouts différemment il se peut que la variation de raideur ait un comportement bien différent.

Bref, tout cela pour dire que je reviens à mon problème, je pensais qu'il existait peut être une formule donnant la variation de raideur (+ ou -) de ma simple poutre encastrée en fonction de la précharge (Tension ou Compression)...

[invitef17c7c8d]

Bref, tout cela pour dire que je reviens à mon problème,

Ok, je ne te parle plus de moi ...

Peut-être que la précharge peut, dans ton cas être modélisée par une condition limite entre l'encastrement et libre-libre.

Les valeurs de sont:

Pour la poutre encastrée-Libre




.
.


Pour la poutre Libre-Libre



.
.

[invitef17c7c8d]

Pour détailler un peu plus...
Il s'agit d'appliquer la méthode de Rayleigh-Ritz au cas d'une poutre encastrée à une extrémitée et possédant une limite élastique (une raideur K) à l'autre.

En approximant la méthode à deux termes, on aboutit à une équation du second ordre dont la résolution donne les deux premières pulsations propres :



A toi de programmer cette équation et t'amuser avec.

[invitef17c7c8d]

Excuse, j'oublie toujours la moitié des équations...


E:Module d'Young
S:Section
:Masse volumique
:Pulsation

[Torseur06]

Merci lionelod pour toutes ces réponses bien précises.

J'avais pas pensé à introduire une raideur en bout de poutre et effectivement je vois ce que tu veux me faire faire...
Je me suis lancé un peu dans les calculs mais je m'y suis perdu .

Heureusement pour moi j'ai réussi à trouver sur internet la réponse qui est l'oeuvre des travaux de A.Bokaian "Natural frequencies of beams under tensile axial load" (Journal of Sound and Vibration).

Une poutre encastrée encastrée soumise à une précontrainte axiale (compression -N ; tension +N) voit sa première fréquence propre de flexion devenir :

w₀=(c/L)²*(E*I/d*A)^0.5*((1+(N*L²)/(t*E*I))^0.5
(Désolé je n'arrive pas à rentrer les formules correctement dans le message).

E : Module d'Young du Matériau
I : Inertie de la section transversale de la poutre
A : Section transversale de la poutre
d : masse volumique du matériau
L : longueur de la poutre
N : effort de précharge
Deux autres paramètres entrent en compte dépendant des conditions limites, pour une poutre encastrée encastrée :
c = 4.730
t = 40.7

On reconnait la première partie de l'équation qui correspond à la première fréquence propre de flexion de la poutre en flexion sans précontrainte à laquelle on ajoute un petit terme additif.

Voilà en tout cas merci de m'avoir épaulé sur ce sujet lionelod.
A très bientot

[J_Berthellemy]

Si je fais N=0 je m'aperçois que la formule de Lionelod donne la pulsation et non la fréquence comme c'est indiqué dans le forum.
Pour avoir la fréquence n , il faut diviser la formule de Lionelod par 2*pi. ( n= w/(2*pi) )
Avec N=0 je retrouve la formule du point 4 de l'article suivant :

https://www.researchgate.net/publica...nes?ev=prf_pub

Attention aux unités en maniant ces formules ( c et t sont bien des coefficients sans unité ).

Cordialement

[Jaunin]

Bonjour, J_Berthellemy,
Bienvenu sur le forum de Futura-Sciences.
Votre fichier est intéressant mais je ne sais pas si Lionelod sera intéressé car il n'est pas revenu depuis 2012.
Cordialement.
Jaunin__

[J_Berthellemy]

Cela intéressera peut-être qq'un d'autre !