Moment fléchissant le long d'une poutre encastrée aux 2 extrémités

[invite30b89001]

Bonjour à tous,

J'aurais besoin de calculer le moment fléchissant le long d'une poutre de longueur L encastrée à ses deux extrémités A et B dû à une force ponctuelle F appliquée verticalement au centre de la poutre (à L/2).

En fait je pense avoir trouver la réponse à ce problème sur un site internet (malheureusement le lien a l'air de ne plus fonctionner : http://www.entp.edu.dz/IMG/doc/chap7.doc) qui serait:

moment en A = moment en B = FL/8 ;
moment à (x=L/2) = -FL/8 ;
moment à (x=L/4) = moment à (x=3L/4) =0

Ces résultats sont en accord avec une simulation faite sur ANSYS.

Cependant j'ai besoin de redémontrer ces résultats par des calculs RDM et je rencontre des difficultés:

Le système semble hyperstatique mais comme la force est appliquée au centre de la poutre je peux trouver les réactions aux encastrements Ra et Rb (Ra=Rb=-F/2). Par contre je n'arrive pas à retrouver les moments aux encastrements Ma et Mb car je tombe sur des équations de type 0=0 quand j'essaie de les calculer (sachant que je devrais tomber à priori sur Ma=Mb=FL/8).

Ensuite, à l'étape suivante qui est le calcul des éléments de réduction en supposant bien que Ma=Mb=FL/8, en prenant T et Mf respectivement la force tangentielle en y et le moment fléchissant au point de coordonnée x, je pense que pour retrouver les résultats finaux les équations sont, pour la partie de poutre située entre A et la force F (0<x<L/2):

T=F/2
Ma+(L/2-x)T+Mf=0
Ainsi Mf=FL/8 à x=0
Mf=0 à x=L/4
Mf=-FL/8 à x=L/2

Cependant je n'arrive pas à redémontrer proprement la 2e équation Ma+(L/2-x)T+Mf=0 qui m'aurait plutôt semblé être Ma+xT+Mf=0...

Merci de m'apporter vos lumières à ce sujet...
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[invite3f7030d1]

"une force ponctuelle F appliquée verticalement au centre de la poutre (à L/2).

moment en A = moment en B = FL/8 ;
moment à (x=L/2) = -FL/8 ;
moment à (x=L/4) = moment à (x=3L/4) =0"

Personnellement je trouve ca incoherent. Si ta force est appliqué comme tu le pretend en x=L/2 le moment avec alors nul a ce point...
Or toi tu trouves un moment nul en x=3L/4ou L/4 ??

[Jaunin]

Bonjour, Choob,
Bienvenu sur le forum de Futura-Sciences.
Juste ce premier message pour vous signaler que votre lien fonctionne et quand plus on peut récupérer les autres chapitres.
Cordialement.
Jaunin__

[invite30b89001]

C'est ce que je pensais aussi au début. Effectivement, lorsque qu'on résout le problème en le découpant en 2 parties symétriques on trouve un moment nul au point d'application de la force vu que le système revient à une poutre encastrée à une extrémité et libre à l'autre extrémité.

Cependant, il s'avère que le problème est plus complexe et oui effectivement le moment est nul en x=L/4 et x=3L/4. Comme je l'ai écrit précédemment, les résultats que j'observe avec le logiciel de calcul en éléments finis ANSYS le confirment.

Au fait, voici en pièce jointe une illustration du système et de la réponse que je voudrais obtenir (c'est tiré du site que j'ai cité précédemment).

Merci pour l'aide!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee0b658bd]

bonjour,
pourquoi ne pas resoudre directement le systeme hyperstatique d'une facon literale ?
tu as suffisement de conditions pour povoir resoudre dela de facon analytique dans le cas général ( quelque soit la position de la force)
fred

[Jaunin]

Bonjour,
Si vous pouvez essayer ça.
Cordialement.
Jaunin__

http://www.mechofmat.net/sample_06.html

[invitee0b658bd]

bonjour,
ou tu peux recalculer cela à l'aide de la theorie des poutres,
tu choisi deux inconues hyperstatiques ( par exemple les moments de reaction aux appuis) tu exprimes le moment dans ta poutre en fonction de ces incinues, puis tu integres 2 fois , les differentes conditions te permettent de calculer les constantes d'integration et de retrouver le resultat
et dans ce cas, des conditions tu en as pas mal à cause de la symetrie du probleme


à la premiere integration, tu obtient la pente de la deformée
pente nulle en A en B et au milieu
pour la deuxiemme integration tu as la deformée
deformée nulle en A ,B
continuité de la poutre au milieux

Personnellement je trouve ca incoherent. Si ta force est appliqué comme tu le pretend en x=L/2 le moment avec alors nul a ce point...
Or toi tu trouves un moment nul en x=3L/4ou L/4 ??

cela me semble un raisonnement un peu "rapide" et pas confirmé par le calcul, tu peux expliquer comment tu en arrives la ?
fred

[invite00452a41]

Personnellement je trouve ca incoherent. Si ta force est appliqué comme tu le pretend en x=L/2 le moment avec alors nul a ce point...
Or toi tu trouves un moment nul en x=3L/4ou L/4 ??

Bonjour, je m'intéresse à ce problème et je suis aussi surpris du résultat. Mais pas pour la même raison. J'aurais imaginé un moment nul en A et B (on a F à l'abscisse L/2 et -F/2 aux abscisses 0 et L). La simulation numérique donne aussi un moment de FL/8

[invitece2661ac]

bonsoir


on a une poutre encastrée aux deux extrèmités a et b chargée avec une force concentée au milieu.

donc il s'agit d'un problème symetrique par rapport au plan mediane; cette symetrie nous donne des relations que nous verrons par la suite.

Phase statique: -1-.........Ra + Rb -P = 0
-2-........Ma +Mb +L.Rb -PL/2 = 0 (Moment au pt a)

on a 2 équations à 4 inconnues dons la structure est hyperstatique d'ordre 2.

Resultats de la symetrie:

* Point de vue effort: la symetrie doit se conservée apres deformation et donc les sections de centre a et b :
- se deplacent ( virtuellement)de la meme valeure et dans le meme sens suivant Oy et donc les reactions qui empechent ces deplacements doivent etre egale implique -3-......Ra = Rb Aussi ces deux sections doivent tournés en sens inverses( pour concerver la symetrie) donc les couples qui empechent ces rotation doivent etre opposes implique -4-.........Ma = - Mb

* Au point de vue deplacement la section mediane ( x=L/2) appartienne au plan de symetrie donc elle doit rester dans ce plan et par conseconse cette section ne tourne pas implique -5-........y '(L/2) = 0

Resolution : -3- dans -1- donne : Ra = Rb = P/2
-4- dans -2-donne : Rb = P/2 resultat non significative
Bilan il nous reste une équation -e- Ma = - Mb et l'equation en deplacement-5-

RDM: on peut utiliser divers methodes pour resoudre cce probleme ( Bresse; energitique;doble integration..)

avant de commencer faisons l'hypothèse suivante: l'effet de l'effort tranchant est neglige devant celui de Mf ( flexion pure)

E.I.y'' = Mf(x)................-6-

Mf1(x) = -( Ma - Px/2) [ convention utilisée plus ce qui est devant]

Premiere integration de -6-
E.I.y'(x) = (Px^2)/4 - x.Ma +K1

K1 = 0 car y'(0) = 0 implique : E.I.y'(x) = (Px^2)/4 - x.Ma........-6'-
Deuxieme integration de -6'-

E.I.y(x) = (Px^3)/12 - (x^2.Ma)/2 + K2

K2 = 0 car y(0) = 0 implique :E.I.y(x) = (Px^3)/12 - (x^2.Ma)/2

Or equation -5-.... y '(L/2) = 0
E.I.y'(L/2) = (PL^2)/16 - (L.Ma)/2 = 0
nous donne Ma = (PL)/8 et Mb = -(PL)/8

finalement : Mf1(x) = -( Ma - Px/2)= (P/2).(x - L/4)
Mf2(x) = +[ Mb - (P/2).(L - x)]= (P/2).( 3.L/4 - x)

[invite7cd70612]

Bonjour à tous,

J'aurais besoin de calculer le moment fléchissant le long d'une poutre de longueur L encastrée à ses deux extrémités A et B dû à une force ponctuelle F appliquée verticalement au centre de la poutre (à L/2).

En fait je pense avoir trouver la réponse à ce problème sur un site internet (malheureusement le lien a l'air de ne plus fonctionner : http://www.entp.edu.dz/IMG/doc/chap7.doc) qui serait:

moment en A = moment en B = FL/8 ;
moment à (x=L/2) = -FL/8 ;
moment à (x=L/4) = moment à (x=3L/4) =0

Ces résultats sont en accord avec une simulation faite sur ANSYS.

Cependant j'ai besoin de redémontrer ces résultats par des calculs RDM et je rencontre des difficultés:

Le système semble hyperstatique mais comme la force est appliquée au centre de la poutre je peux trouver les réactions aux encastrements Ra et Rb (Ra=Rb=-F/2). Par contre je n'arrive pas à retrouver les moments aux encastrements Ma et Mb car je tombe sur des équations de type 0=0 quand j'essaie de les calculer (sachant que je devrais tomber à priori sur Ma=Mb=FL/8).

Ensuite, à l'étape suivante qui est le calcul des éléments de réduction en supposant bien que Ma=Mb=FL/8, en prenant T et Mf respectivement la force tangentielle en y et le moment fléchissant au point de coordonnée x, je pense que pour retrouver les résultats finaux les équations sont, pour la partie de poutre située entre A et la force F (0<x<L/2):

T=F/2
Ma+(L/2-x)T+Mf=0
Ainsi Mf=FL/8 à x=0
Mf=0 à x=L/4
Mf=-FL/8 à x=L/2

Cependant je n'arrive pas à redémontrer proprement la 2e équation Ma+(L/2-x)T+Mf=0 qui m'aurait plutôt semblé être Ma+xT+Mf=0...

Merci de m'apporter vos lumières à ce sujet...

utilisez la methode de supperposition:
1: poutre isostatique chargée par la force F au milieu
2: poutre isostatique avec moments sur appuis MA et MB
trouver l'angle de deformation au droit des appuis pour le cas 1 et 2
la somme des angles de deformation en 1 et 2 pour chaque appui est nul puisqu'il sagit d'un encastrement ceci vous permettera de calculer les moments sur appuis puis les reactions et le moment flechissant