Equation de diffusion et de Schrödinger

[invite91cb62e0]

Bonjour,

Soit les deux équations suivantes :

(équation de diffusion)

(équation de Schrödinger)

avec une condition initiale du type u(x,0)=f(x)

Je suis amené à comparer les solutions de ces deux équations.
J'ai donc commencé avec une gaussienne comme paquet d'ondes initiales et j'ai montré que l'amplitude de la fonction d'onde décroissait de la même manière dans les deux cas. J'ai aussi montré que la largeur du paquet d'onde variait en t pour l'équation de Schrödinger et en racine de t pour l'équation de diffusion.

J'ai ensuite pris un delta de Dirac comme conditions initiales et dans les deux cas, la solutions est une gausienne donc la vitesse de propagation de l'onde est infini dans les deux cas.

Connaitriez-vous d'autres différences (ou ressemblances) qui mériteraient d'être dite ?

Merci

Skops :P
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[invite9f80122c]

Un signal carré comme condition initiale ?

[invite93279690]

Bonjour,

Soit les deux équations suivantes :

(équation de diffusion)

(équation de Schrödinger)

avec une condition initiale du type u(x,0)=f(x)

Je suis amené à comparer les solutions de ces deux équations.
J'ai donc commencé avec une gaussienne comme paquet d'ondes initiales et j'ai montré que l'amplitude de la fonction d'onde décroissait de la même manière dans les deux cas. J'ai aussi montré que la largeur du paquet d'onde variait en t pour l'équation de Schrödinger et en racine de t pour l'équation de diffusion.

J'ai ensuite pris un delta de Dirac comme conditions initiales et dans les deux cas, la solutions est une gausienne donc la vitesse de propagation de l'onde est infini dans les deux cas.

Connaitriez-vous d'autres différences (ou ressemblances) qui mériteraient d'être dite ?

Merci

Skops :P

Salut,

Ca c'est des points communs mais as tu aussi mentionné les differences ? Par exemple, en principe les deux equations sont du premier ordre mais l'une est une équation d'onde et l'autre une équation de diffusion.
Or les equations d'ondes sont a priori du second ordre en temps : le "i" devant la dérivée partielle de l'équation de Schrodinger a peut être un role à jouer là dedans par exemple.

[invite91cb62e0]

(Je regarde ce que vous m'avez dit)

Concernant la largeur du paquet d'onde, un bouquin me dit que pour l'équation de la chaleur, puisque cette largeur n'est pas proportionnelle à t, la transformée de Fourier de la solution ne peut pas être considérée comme une densitéde probabilité

Pourquoi ?

Skops :P

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite91cb62e0]

Si tu pouvais me guider un peu pour la présence du i dans l'équation de Schrödinger... parce que là, j'ai beau chercher, rien ne vient...

Skops

[invite93279690]

L'equation de Schrodinger est une équation d'onde à cause du "i". En gros cela veut dire que la probabilité se "déplace" en scalant avec "t" alors que si elle diffusait, elle scalerait avec "\sqrt{t}".

Pour voir ça il faut regarder le déplacement quadratique moyen (<(X-<X>)²>) par exemple pour les deux solutions diffusion ou Schrodinger. En principe, si ce que je dis est vrai le premier scale comme la racine du temps alors que l'autre est proportionnel au temps.

[invite0fa82544]

``...un bouquin me dit que pour l'équation de la chaleur, puisque cette largeur n'est pas proportionnelle à t, la transformée de Fourier de la solution ne peut pas être considérée comme une densitéde probabilité''


Skops :P

Bonjour,

L'argument est étrange (et faux).
On connaît mille cas où l'écart quadratique varie autrement que proportionnellement au temps et où pourtant il s'agit encore d'une densité de probabilité. C'est la diffusion dite anormale, à laquelle des milliers d'articles ont été consacrés depuis les travaux fondateurs de Paul Lévy dans les années 1920...

[invite93279690]

Bonjour,

L'argument est étrange (et faux).
On connaît mille cas où l'écart quadratique varie autrement que proportionnellement au temps et où pourtant il s'agit encore d'une densité de probabilité. C'est la diffusion dite anormale, à laquelle des milliers d'articles ont été consacrés depuis les travaux fondateurs de Paul Lévy dans les années 1920...

Je pense que le terme "densité de probabilité" utilisé dans le commentaire de skops est dédié à la densité de probabilité de la MQ standard. Bien entendu une densité de probabilité est quelque chose de beaucoup plus large que ça comme tu l'as notamment mentionné.

[invite91cb62e0]

Dans ce cas là, pourquoi avec densité de probabilité de MQ, la largeur du paquet doit être proportionnel à t ?

Skops :P

[invite93279690]

Dans ce cas là, pourquoi avec densité de probabilité de MQ, la largeur du paquet doit être proportionnel à t ?

Skops :P

Parce que la fonction d'onde a la même forme que la solution de l'équation de diffusion sauf que il faut en prendre le module au carré pour obtenir la densité de probabilité (ce qui n'est pas le cas de l'équation de diffusion).

[invite91cb62e0]

D'accord mais je continue de ne pas voir le rapport avec cette largeur

Skops :P

[invite93279690]

D'accord mais je continue de ne pas voir le rapport avec cette largeur

Skops :P

Je ne comprends pas...est ce que tu as fais les calculs que je t'ai conseillé de faire ?
Si oui qu'as tu trouvé ?
Si non quelle est exactement ta question ou plutot qu'est ce qui ne te convaint pas ?

[invite91cb62e0]

J'essaie de reformuler ma question un peu plus précisement :

Dans le livre, on me dit que la largeur du paquet d'onde :

- est proportionelle à t pour l'équation de Schrödinger.
- est proportionelle à la racine de t pour l'équation de diffusion.

et ensuite on me dit qu'à cause de cette proportionnalité en racine de t, la transformée de Fourier de u (ou u est solution de l'équation de la diffusion) ne peut pas être interpreté comme une densité de probabilité.

Donc je voudrais savoir pourquoi :

"F[u] est une densité de probabilité (au sens de la MQ)" équivaut à "la largeur de u est proportionnel au temps"

[invite93279690]

J'essaie de reformuler ma question un peu plus précisement :

Dans le livre, on me dit que la largeur du paquet d'onde :

- est proportionelle à t pour l'équation de Schrödinger.
- est proportionelle à la racine de t pour l'équation de diffusion.

et ensuite on me dit qu'à cause de cette proportionnalité en racine de t, la transformée de Fourier de u (ou u est solution de l'équation de la diffusion) ne peut pas être interpreté comme une densité de probabilité.

Donc je voudrais savoir pourquoi :

"F[u] est une densité de probabilité (au sens de la MQ)" équivaut à "la largeur de u est proportionnel au temps"

C'est ce que j'ai expliqué plus haut.
L'équation de Schrodinger est une équation d'onde alors que l'équation de diffusion est une équation de...diffusion.

Pour une onde, on peut toujours définir une vitesse de phase correspondant à un régime "ballistique" associé à une largeur proportionnelle à t via .
Pour une diffusion, on a par définition quelque chose de plus lent que le régime ballistique tel que la distance typiquement parcourue est donnée par correspondant à une largeur de distribution du coup en racine de t.

[invite91cb62e0]

Je suis désolé mais je continue à ne pas voir le rapport...

Donc, je suis d'accord, on peut associer à chacune des "ondes", une certaine vitesse qui est fonction de la largeur du paquet.

Mais où intervient la densíte de proba dedans ?

Skops :P

[invite93279690]

Je suis désolé mais je continue à ne pas voir le rapport...

Donc, je suis d'accord, on peut associer à chacune des "ondes", une certaine vitesse qui est fonction de la largeur du paquet.

Mais où intervient la densíte de proba dedans ?

Skops :P

La densité de proba au sens de la méca Q est le module au carré de ta fonction u dont la largeur est proportionnelle au temps.