Equation avec grandeur eulerienne et lagrangienne mélangées

[erff]

Bonjour,

Voici mon souci, je me demande comment on traite des équations qui contiennent à la fois des grandeurs en description d'Euler, et des grandeurs en description de Lagrange.

Je vous donne un exemple qui me pose problème : il s'agit de démontrer la propagation d'ondes acoustiques dans un plasma
- On considère le déplacement LAGRANGIEN des ions par la fonction telle que , où x0 est la position initiale à l'instant t0, et x la position de l'ion à l'instant t, qui se trouvait en x0

- on considère que le milieu est soumis à un potentiel électrique en description EULERIENNE :

Les équations :
- PFD :

- conservation de la charge : (on suppose que l'on atteint une distribution de boltzman très rapidement par rapport à l'échelle d'observation)...On va linéariser cette équation pour aboutir à :

Mon souci est le suivant : pour montrer l'équation d'onde, il faut combiner les équation précédentes (PFD et conservation de la charge linéarisée), et je ne sais pas comment traiter la dérivée partielle par rapport à x en fonction de la dérivée par rapport à x0, car ces 2 variables sont liées par la fonction Xi(x0,t)...Mon but étant d'arriver à montrer que :

Je pense que le souci de concilier ces 2 descriptions n'est pas limité à mon pb, c'est pourquoi je voudrais savoir s'il y a une façon générale de traiter cela.

Merci
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[obi76]

Salut,

tes équations lagrangiennes, tu peux les considérer en terme de flux ? Si oui tu peux le retranscrire en formulation eulerienne non ?

[erff]

Bonjour

Je ne suis pas très familier avec le "jonglage" mathématique Euler/Lagrange bien que je comprenne très bien la différence fondamentale entre les 2 descriptions, ainsi que leurs pertinences en fonction du pb étudié...Le souci c'est que le résultat auquel je veux aboutir porte sur une grandeur que l'on décrit en Lagrange (xi(x0,t) est une perturbation que l'on provoque, et on veut montrer qu'elle va se propager dans le milieu)...Le fond du problème est d'ordre mathématique j'ai l'impression : comment dériver par rapport à une variable qui est fonction de la variable que l'on souhaite. Car pour que mon truc marche bien, il faudrait que je dérive Phi par rapport à x0, et que j'exprime dPhi/dx en fonction de dPhi/dx0.

[obi76]

Hé bien ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[erff]

Pour des fonctions à 1 variable, ok, mais pour plusieurs variables ? on peut y aller franco ?

[obi76]

Là je ne veux pas trop dire de bêtises. Lorsque j'avais été confronté à ce problème, j'obtenais N équations à N inconnues, N étant le nombres de variables inclues dans ta fonction. Ca revenait à une matrice à inverser à chaque calcul des dérivées.

[erff]

Bonjour,

En fait la réponse à mon souci est purement mathématique (le fait d'en discuter m'a ouvert les yeux), du moment que l'on sait que x=x0+xi(x0,t), et qu'on sait dériver une fonction composée (on trouve sans mal les formules d'analyse vectorielle sur le net), on aboutit de suite à l'équation d'onde, en négligeant dxi/dx0 devant 1...

Merci

[invite60be3959]

Bonjour,

on aboutit de suite à l'équation d'onde, en négligeant dxi/dx0 devant 1...

et qu'est-ce qui justifie ça ? (mathématiquement ou physiquement)

[erff]

Bonjour,

Je dirais

Mathématiquement : l'envie d'aboutir à une belle équation linéaire de d'Alembert
Physiquement : on se place dans l'hypothèse des petits déplacements, on on part du principe que la grandeur de perturbation ainsi que ses dérivées sont "faibles" (on fait cette hypothèse pour la propagation du son dans l'air par exemple)

[invite60be3959]

Bonjour,

Je dirais

Mathématiquement : l'envie d'aboutir à une belle équation linéaire de d'Alembert
Physiquement : on se place dans l'hypothèse des petits déplacements, on on part du principe que la grandeur de perturbation ainsi que ses dérivées sont "faibles" (on fait cette hypothèse pour la propagation du son dans l'air par exemple)

si la dérivée 1ère de est négligeable devant 1 pourquoi ce ne serait pas la cas de la dérivée 2nde ? L'équation des ondes aurait alors peu d'intérêt. A mon avis il doit y avoir une cause plus profonde et rigoureuse, du moins cohérente.

[erff]

Justement c'est rigoureux si on raisonne à l'ordre 1 :

Si je combine les équations de mon système :
- On dérive la distribution boltzmanienne par rapport à x0 ce qui donne

Ensuite on remplace le dphi/dx avec l'équation de Newton...on se rend compte qu'il apparait un terme de type d²xi/dt²*dxi/dx0 qui est un terme d'ordre 2, donc on le néglige devant les autres (ce qui est mathématiquement correct, vu qu'on a dit qu'on raisonnait à l'ordre 1)

[invite60be3959]

on se rend compte qu'il apparait un terme de type d²xi/dt²*dxi/dx0 qui est un terme d'ordre 2, donc on le néglige devant les autres (ce qui est mathématiquement correct, vu qu'on a dit qu'on raisonnait à l'ordre 1)

Non est un terme d'ordre 3 (dérivée 3ième), que l'on néglige devant ceux d'ordre 2 présent dans l'équation des ondes, mais sinon ça me va comme argument. La vitesse de l'onde étant .

[erff]

'Ordre' : je voulais dire au sens de Taylor (comme un produit de 2 termes qui sont considérés comme des ordre 1). Par contre je ne vois pas où est-ce que tu vois une dérivée 3ème ?

[invite60be3959]

Par contre je ne vois pas où est-ce que tu vois une dérivée 3ème ?

[erff]

Euh... Y a pas une coquille ?
Je sais que ça fait lgtps que je ne fais plus de maths...mais là il s'agit d'un produit.

[invite60be3959]

Euh... Y a pas une coquille ?
Je sais que ça fait lgtps que je ne fais plus de maths...mais là il s'agit d'un produit.

2 dérivées par rapport au temps et une dérivée par rapport à x₀ constituent bien une dérivée 3ième mais par rapport à des variables différentes, mais effectivement je me suis trompé, car cela devrait s'écrire , désolé.