Bonjour,
Cela vient d'un article,
On a le hamiltonien suivant :
où vf est la vitesse de fermi, e, la charge de l'éléctron,vaut 1 ou -1,
et l'équation de Dirac
Après une petite discussion, ils disent que l'on peut prendre comme fonction d'onde, le spineur suivant :
Ensuite, en insérant ce spineur dans l'équation de Dirac, on en sort une équation differentielle couplée et en la découplant, on obtient :
où
Pouvez vous m'indiquez combien obtient t'on l'équation couplé ?
Merci
Skops :P
J'ai oublié :
Je ne vois pas comment on peut obtenir une dérivée deuxième alors que le moment qui peut s'exprimer comme un gradient a juste une dérivée première
SKops :P
Tu a essayé de remplacer dans l'équation de Dirac toi-même et voir ce que tu obtient ? L'équation couplée c'est ce que tu vas obtenir après remplacement.Envoyé par Skops
Ensuite, en insérant ce spineur dans l'équation de Dirac, on en sort une équation differentielle couplée et en la découplant, on obtient :
où
J'ai essayé mais je me suis heurté à un autre problème avant :
Je ne comprend pas vraiment comment actue le sigma sur le moment p, c'est à dire calculer le produit scalaire p.sigma
Skops :P
Je m'explique un peu mieux :
Je ne vois pas comment calculer ca
Skops :P
Si je ne m'abuse, tu a oublié la troisième coordonnée du vecteur
De plus, il y a trois matrices
Ca devrait t'aider à résoudre le problème.
Evidemment, tu dois également avoir trois composantes pour
Oui mais comme je considère un problème en 2D, les troisième composantes sont nulles.
Par ailleurs, l'article me dit que le vecteur sigma a deux composantes x et y.
(Autre chose que je n'ai pas dit, c'est que l'on considère le potentiel comme égale à 0)
Mais ca ne m'aide pas trop puisque je ne vois pas comment calculer le produit scalaire de p par sigma
Skops :P
Ok justement parce que le problème est en 2D mais sinon tu a bien trois composantes pour un vecteur
Et pour le produit du vecteur par la matrice, te suffit de considérer un produit de la forme :
Edit : OK je viens de me rendre compte que ça n'aide en rien du tout. Je réfléchis de nouveau à ton soucis et je t'écris dès que j'ai une idée ...faut que je me remette aux calculs
Ok donc explicite de manière détaillée ton équation en incorporant les spineurs. Multiplie ensuite les composantes du spineur avec les matrices deJe réfléchis de nouveau à ton soucis et je t'écris dès que j'ai une idée ...faut que je me remette aux calculs
Dis moi ce que tu en penses.
Première composante du spineur multiplié par sigma x et deuxième composante par sigma y ?
Oui je pense plutôt à ça à priori ... Mais quelque chose ne vas pas au niveau des dimensions, il y a une information qui manque j'ai l'impression ...
Je n'arrive pas à avoir une équation couplé en tout cas
http://prb.aps.org/abstract/PRB/v78/i19/e195427
Voici l'artcle
Je ne pense pas avoir oublié quelque chose cependant
Ok super, merci.
Si on part du principe que la fonction d'onde s'écrit comme la somme de
C'est marqué quelque part ?Si on part du principe que la fonction d'onde s'écrit comme la somme de et peut-être que ça peut le faire. Mais faut en être sûr...
Non du tout, mais comme souvent dans les articles, il n'écrivent pas tout lors des développements.
Ce que je te conseille, c'est de tout écrire proprement, pour chacune des composantes de
Ensuite évalue le problème de dimensions pour voir "ce qu'il manque".
J'arrive à obtenir un système couplé mais bon... c'est fait sans trop de rigueur pour moi
La rigueur ça consiste plutôt à écrire proprement les équations sans développer les termes qu'on maîtrise mal justement. Tu peux toujours essayer de développer ensuite (mais je comprend ton idée, je suis pareil ^^).
Essaye de voir si tu retombes sur l'équation pour ensuite peaufiner le développement et que ce soit plus propre.
La seconde différentiation apparait lorsqu'on "decouple" les equations associées aux deux composantes du spineur. En gros, on prend le "carré" de l'equation de Dirac pour obtenir une serie d'equations de Klein-Gordon que verifie chaque composante.Je ne vois pas comment on peut obtenir une dérivée deuxième alors que le moment qui peut s'exprimer comme un gradient a juste une dérivée première
Oublie dans un premier temps que sigma est une matrice 2x2 dans l'espace de spin. Donc le scalaire p.sigma vautJe ne comprend pas vraiment comment actue le sigma sur le moment p, c'est à dire calculer le produit scalaire p.sigma
p.sigma = p_1sigma_1 + p_2sigma_2 = {{0,p_1-ip_2},{p_1+ip_2,0}}
Bonne chance.
Donc on obtient bien une matrice à la fin que l'on multiplie par le spineur pour obtenir notre équation différentielle couplée ?
Skops :P
J'obtiens à la fin :
Il y a t'il un moyen de simplifier ?
(Je retrouve quelques termes juste de l'équation qu'il faut trouver donc la méthode ne doit pasetre si fausse que ca...)
Skops :P
Dans le même genre d'idée, j'ai du mal avec ce calcul :
où le vecteur sigma est le même qu'avant.
Au final, cela devrait me donner
En faisant le calcul à l'envers, je n'arrive pas à me retrouver avec la bonne matrice pour effectuer le calcul.
Skops :P
