matrice d'inertie

[DucK974]

Bonjour.

Je suis actuellement en train d'apprendre ce que représente la matrice d'inertie. J'ai passé déjà un bon moment pour comprendre que la matrice d'inertie me permet de calculer la résistance d'un corps à entrer en rotation autour d'un axe en fonction des moments et produit d'inertie. J'ai aussi compris que changer de point pour le calcul de la matrice ( par exemple passer de son centre d'inertie à un point A quelconque ) me permet en fait de calculer le moment d'inertie par rapport aux axes (D) définis par ce point A et par un vecteur unitaire définissant la direction de mon axe D ( théorème de Huygens Steiner ). Si vous pouviez confirmer si j'ai bien compris ...

Je voudrais maintenant savoir si le fait que la matrice puisse être diagonalisée à une signification physique ou pas. Parce que, au fond, pour déterminer le moment d'inertie par rapport à un axe (D), que le calcul se fasse avec la matrice principale ou une matrice quelconque, le moment d'inertie lui reste le meme. Donc, en fait ce serait juste pour simplification de calcul que l'on écrirait la matrice d'inertie sous sa forme diagonale? Ou cela revêt il aussi une signification physique particulière ?

N'hésitez pas à me donner vos définitions des moments d'inertie et produits d'inertie car le formalisme mathématique que l'on retrouve dans tous les bouquins m'exaspèrent!!

Merci d'avance.
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[coussin]

La diagonalisation te donnera les axes principaux d'inertie.
Pour la signification physique, comment expliquer… Quand tu fais tourner un solide autour d'un de ses axes principaux, il est « équilibré ». Un exemple que tu connais peut-être : il existe des petites cales massives qu'on peut placer à l'intérieur des jantes des roues de voiture. C'est pour que la roue soit équilibrée quand elle tourne. Cette opération d'équilibrage revient en fait à faire coïncider un des axe principal d'inertie de la roue avec l'axe de l'essieu.
Je sais pas si je suis clair…

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89q...%C3%A9canique)

[DucK974]

Hummm... si je prends par exemple un axe (D) quelconque qui ne soit pas un axe principal, alors en calculant le moment d'inertie par rapport à cet axe, je trouverai une "composante" suivant chaque moment principal ( puisque la matrice est diagonale ). Dans l'exemple de la roue, imaginons que un des axes principaux de la roue qui est je pense perpendiculaire au "plan" de la roue ne soit pas aligné avec l'axe de l'essieu. Alors le moment d'inertie par rapport à l'axe de l'essieu sera plus important que si la roue avait son axe colinéaire à l'axe de l'essieu. Donc, ce que je comprends par équilibre, c'est que le moment d'inertie de la roue autour de l'axe de l'essieu sera minimal pour une coïncidence des axes. Si on se comprends bien c'est ça non?? D

[DucK974]

Aussi je viens de me rendre compte d'un truc bizarre. ... Lorsque l'on possède la matrice d'inertie I au point A, peu importe si elle soit diagonale ou pas, pour déterminé le moment d'inertie par rapport à l'axe (D) passant par A de vecteur unitaire e, j'applique ma matrice au vecteur e et ensuite j'en fais le produit scalaire avec e. Mais quel est la signification physique de ce vecteur Ie que l'on projette ensuite sur e??? Parce que en reprenant l'exemple précédent, ce vecteur Ie possède une composante parallèle à l'axe de rotation et une seconde perpendiculaire à l'axe de rotation. (j'ai compris la notion d'équilibrage!! merci ) Mais que représente il ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Aussi je viens de me rendre compte d'un truc bizarre. ... Lorsque l'on possède la matrice d'inertie I au point A, peu importe si elle soit diagonale ou pas, pour déterminé le moment d'inertie par rapport à l'axe (D) passant par A de vecteur unitaire e, j'applique ma matrice au vecteur e et ensuite j'en fais le produit scalaire avec e. Mais quel est la signification physique de ce vecteur Ie que l'on projette ensuite sur e???

Si e est le "vecteur" vitesse de rotation, alors appliquer la matrice à ce vecteur donne le moment cinétique.

Il est intéressant de faire le parallèle avec la quantité de mouvement : si v est le vecteur vitesse, alors m fois v est la quantité de mouvement. Pour les rotations, c'est plus compliqué d'une simple multiplication, c'est l'application d'une matrice, mais c'est la même idée : l'inertie "convertit" la "vitesse" en "moment".

(On apprend souvent que le moment cinétique est le produit d'un réel par le vecteur vitesse de rotation, mais ce n'est valable que si la vitesse de rotation est parallèle à l'un des axes principaux ; le réel en question est alors la valeur propre de I pour cet axe principal. Ce qui donne une autre particularité physique des axes principaux : direction de la vitesse angulaire telle que le moment cinétique y est colinéaire...)