C'est juste que le terme variete n'est pas defini en mathematiques, il a plusieurs type de variete en fonction du domaine ou on se place et la definition varie (parfois beaucoup).Envoyé par Amanuensis
En geometrie diff, ce qu'on appelle traditionnellement variete ce sont les varietes diff. Qu'appelez vous variete? Une variete topologique (certains type de variete ne sont meme pas des varietes topologiques).
Je ne comprends pas bien votre question : vous vous demandez si on peut recuperer "l'espace" a partir de "l'espace temps" c'est ça ?
et si c'est ça, l'espace vu comme R^3 avec quelle type de structure voulez vous recuperer ?
C'est exactement ca!
J'aimerai bien avoir une sous variete ds l'espace temps (ou qqch du moins) qui soit l'espace.
Une structure de ss variete diff etait ce que j'envisageais au debut.
Maintenant je ne sais plus trop
bon voyons ya pas trop de mistere si vous n'imposez pas autre chose que de la structure differentielle : R^3 avec sa structure differentielle canonique (c'est a dire la debile constituee d'un atlas a un seul ouvert), c'est une section quelconque de R^4.
est ce votre preocupation initiale ?
Ca ca fonctionne si l'espace temps est R^4. Dans le cas d'une variete quelconque c'est loin d'etre evident (enfin pour moi).
si, ça marche pareil : au lieu de prendre une section de R^4 du type R^3 X {0} vous prenez un machin du type R^3 X {0} X ... X {0} : vous voyez un probleme ?
ou plutot R^3 X {(0,...,0)}
ah pardon pas bien lu votre reponse : dans le cas d'une variete quelconque...
mouais bon mais en physique on emploie pas des varietes quelconques...
d'ou vient votre questionnement a l'origine ?
Oui! Un gros! Il n'y a aucune raison qu'une telle decomposition existe! (surtout sous une forme aussi forte! Cela reviendrait a l'existence d'un temps absolu!!).
Comment faites vous par exemple pour ecrire la sphere S2 comme un tel produit??
Mon questionnement vient du fait que je me demande comment est defini l'espace de la cosmologie, et de l'astronomie. On y etudit l'espace (sans temps) et j'essaie de voir quelle pourrait etre cette chose la.
Ensuite je doute qd meme qu'en RG l'espace temps soit tjs modelise par R^4!
et dans le cas d'une variete quelconque, la reponse est aussi simple : vous prenez un ouvert quelconque de l'atlas qui la definit, il est par definition diffeomorphe a une boule d'un R^n, elle meme diffeomoprphe a R^n lui meme, et on retrouve R^3 en faisant R^3 X {(0,...0)} non ?
Oui. Espace topologique localement homéomorphe à Rn (en se restreignant aux variétés sans bord...).
je ne suis pas physicien, mais il me semble avoir compris de loin que l'espace temps de la relativite c'est R^4 muni d'une metrique riemannienne non ?
ensuite je ne comprends pas votre exemple de S^2 : c'est une variete compacte, je ne pense pas qu'une quelconque notion qui modelise l'espace des physiciens puisse etre compacte...
ah si peut etre, il me semble en effet qu'il y a des modeles cosmologiques ou l'univers est une variete compacte type tore a 3 dimensions...
Vous avez raison. Il est modélisé comme une variété de dimension 4 (et disons une variété différentiable sauf éventuellement en "quelques" points).
Cela permet de distinguer deux aspects. La "topologie locale", qui est celle d'un ouvert de R4, et la "topologie globale" (la "forme de l'Univers" dans la vulgarisation) qui n'a pas de raison d'être celle de R4.
Le plus gros de la physique est "local" et parler de R4 se comprend dans ce cadre.
Oui. L'exemple usuel est la proposition de Luminet, où dans un certain référentiel l'espace (pas l'espace-temps) est compact, homéomorphe à la variété 3D nommée "espace dodécaérique de Poincaré". Pas exactement un "tore", mais une construction du même genre, disons.
ah ok je crois enfin avoir compris la problematique : l'espace temps de la relativite est une variete riemanienne, les cosmologistes ont des modeles de l'espace pur, comment faire le lien entre les deux c'est bien ça ?
je m'etais deja pose vaguement cette question un jour, si quelqu'un peut apporter une reponse ça m'interesse aussi...
Mais je reviens un poil en arriere. Si on regarde de nouveau notre variete espace temps M disons. Je ne pense pas trop m'avancer en disans qu'il doit etre feuillete par ded hypersurfaces d'espaces (en chaque point on regarde l'enveloppe de tous les lacets de genre espace (dont la derivee est de genre espace en tt point). Si on prend l'espace des feuilles de ce feuilletage... Alors, boum, on a un temps canonique!
Skyborgg-> c'est exactement ca! De plus j'avais l'idee que le modele de juste l'espace serait plus "simple" que celui de l'espace temps... Mais apparement c'est l'inverse!
Si on se limite aux cosmologistes, le modèle courant actuel postule l'existence d'un référentiel dans lequel l'Univers est spatialement homogène et isotrope à grande échelle. Ce référentiel est donc un référentiel privilégié (il est appelé "référentiel comobile"), et par défaut c'est de l'espace défini par ce référentiel qui est sous-entendu dans les textes en cosmologie.
Je n'ai pas répondu avec cette information, parce que cela masque la difficulté conceptuelle cachée dans l'expression "l'Espace"...
Dernière modification par Amanuensis ; 17/10/2011 à 15h43.
Ce que je cherchais à expliquer était l'autre possibilité.
Il n'y a pas de feuilletage "canonique", que ce soit en trajectoires (lignes de genre temps) ou en hypersurfaces, du moins dans la toute généralité de la RG.
On peut construire arbitrairement un feuilletage par hypersurfaces, ce qui revient à définir une "simultanéité".
Mais l'examen de ce qui est fait montre qu'on procède plutôt par la définition d'un référentiel, un feuilletage par trajectoires sans relation temporelle (ce pourquoi je préfère le présenter comme un fibré), et on définit ensuite, arbitrairement, une relation de simultanéité de proche en proche qui peut, éventuellement, résulter en un feuilletage par hypersurfaces de simultanéité.
La question de fond (discutée à moultes reprises sur le forum) est la simultanéité. Si la notion de trajectoire temporelle (la trajectoire 4D d'une particule de masse non nulle) a une base physique, celle d'une notion de simultanéité est bien moins nette.
Quoiqu'il en soit, les deux visions sont "duales". On peut décider d'un "temps universel" modélisé par R, l'utiliser comme base pour présenter l'espace-temps comme un "fibré" sur R, avec comme fibre une "hypersurface", et ensuite présenter un référentiel comme une section permettant de parler "d'un" espace plutôt que de feuillets. Ou le contraire, feuilleter en trajectoires 1D ce qui définit un référentiel, la base étant appelé "espace", et ensuite présenter une datation (et donc une simultanéité) comme une section.
L'avantage de la seconde approche est qu'on peut travailler avec un référentiel sans imposer de simultanéité. On peut parler de vitesse (relative), d'immobilité (relative), et surtout de "différentes" simultanéités. Cela met clairement le temps propre comme concept premier (trajectoires de genre temps), mais la simultanéité en retrait, i.e., "l'écoulement du temps" est clairement relatif.
Dans la première approche, on fixe d'entrée (arbitrairement) un temps générique (et pas canonique, puisqu'arbitrairement choisi via le choix du feuiiletage par hypersurfaces), on met en avant la simultanéité et en retrait le temps propre.
Or le temps propre est une notion locale, la simultanéité une notion globale. Le principe de covariance générale ("les lois de la physique doivent s'exprimer par des relations tensorielles locales" (1)) privilégie totalement les notions locales.
(1) C'est le cas de l'équation d'Einstein, des relations de Maxwell, du formalisme de la théorie quantique des champs, de fait d'à peu près tout
Dernière modification par Amanuensis ; 17/10/2011 à 16h06.
Ah! Je vois parfaitement votre objection!
Passons un instant sur le fait que le feuilletage ne definira pas necessairement un fibre (j'ai qd meme du mal a faire cette supposition tres contraignante, ne serait ce que parce qu'il n'y a aucune raison que les feuilles soient toutes homotopes!).
Par contre un point qui me semble essentiel, c'est que je ne vois pas de quoi depend le feuilletage...
En fait la seule chose qui pourraient faire dependre c'est le point base que l'on choisit pr definir la feuille (mais ca me semble tres peu probable, et ce serait "grave" j'expliquerai pourquoi si le besoin se fait sentir).
Mais il me semble que le feuilletage qui a ete esquisse plus haut ne depend de... Rien! (sauf bien sur la metrique, mais elle est fixe). Quelque chose doit m'echapper.
Du reste j'avais bien compris que ce que vous proposiez etait bien en feuilletage en courbes de genre temps. Je m'etais juste dit que l'on pouvait tres bien faire la meme chose en genre espace.
C'est un point intéressant. Pas homotopes pour deux trajectoires de particules matérielles voudrait dire quoi ? L'une a un "temps propre" modélisé par R et l'autre un temps propre cyclique ? De fait cela "existe", Gödel a présenté un modèle d'espace-temps entrant dans le cadre de la RG et ayant des trajectoires cycliques. Dans ce cas on ne peut pas (ou difficilement) définir de référentiel (ni l'espace), bien d'accord.
Le cas "usuel" est supposé moins pathologique, avec des trajectoires toutes homéomorphes à R. (Mais là je triche un peu, sans préciser plus à ce stade...)
Par contre le feuilletage par des surfaces de simultanéité peut poser le problème que vous soulevez, cause les "singularités" par exemple.
La (une) donnée de base est le champ de pseudo-métriques. La question est comment l'utiliser pour contraindre le feuilletage...Par contre un point qui me semble essentiel, c'est que je ne vois pas de quoi depend le feuilletage...
Fixe à quel sens ? Sa signature est partout la même, c'est tout. Ensuite, en RG il est d'usage de dire qu'elle est dynamique, au sens où la métrique en un événement est "causalement" affectée par la répartition des énergies et quantité de mouvement.Mais il me semble que le feuilletage qui a ete esquisse plus haut ne depend de... Rien! (sauf bien sur la metrique, mais elle est fixe).
Dernière modification par Amanuensis ; 17/10/2011 à 16h46.
1/ Quand je dis qu'elle est fixe (la metrique) je veux dire qu'elle est donnee a priori. L'espace temps c'est une variete plus une metrique (un champ de metrique comme vous dites).
2/trouver le feuilletage a partir de la metrique me semble facile. Il suffit de verifier (et c'est facile de le verifier localement) que les changements de cartes preservent le signe du carre (enfin g(u,u)) d'un vecteur tangent. Ca ca me semble etre automatique (faudrait verifier mais ca ne peut etre difficile, que ce soit vrai ou pas, mais ca me semble etre directement implique par les definitions, je griffonerai qd j'aurai le temps pour le verifier).
A partir de la il suffit de definir une relation d'equivalence de la maniere suivante. 2 evenements sont equivalentt s'ils sont relies par un arc completement de genre temps (pour le feuilletage temporel).
Il reste a verifier que la partition obtenue est bien un feuilletage (la aussi c'est mecanique, ca ne peut etre dur).
Il me semble bien que mon feuilletage est completement canonique.
Ca me parait trop simple, je dois manquer qqch (ou alors, etc'est plus probable, la vraie difficulte reside dans la pathologie de l'espace des feuilles obtenu).
Cela reste ambigu. On est bien d'accord que cela structure de manière non triviale la variété différentielle, via la connexion de Levi-Civita sur le fibré tangent ? Le "plus une métrique", ce n'est pas juste dire "la pseudo-métrique de Minkowski" !
C'a l'est parce que le tenseur métrique2/trouver le feuilletage a partir de la metrique me semble facile. Il suffit de verifier (et c'est facile de le verifier localement) que les changements de cartes preservent le signe du carre (enfin g(u,u)) d'un vecteur tangent. Ca ca me semble etre automatiqueest un tenseur
Ce n'est pas transitif, donc ce n'est pas une relation d'équivalence.A partir de la il suffit de definir une relation d'equivalence de la maniere suivante. 2 evenements sont equivalentt s'ils sont relies par un arc completement de genre temps (pour le feuilletage temporel).
Trop court... Pas eu le temps de corriger, le site répond trop lentement... Correction.
Je suppose l'absence de trajectoire temporelle fermée. Alors toutes les trajectoires sont orientées (passé/futur).
Si on impose que l'arc ne change pas d'orientation, ce n'est pas transitif, donc ce n'est pas une relation d'équivalence. (Si on relie A à B, et C à B dans le même sens, l'arce A-B-C ne respecte pas la condition)
Si on ne prend pas en compte l'orientation, alors c'est la relation d'équivalence triviale, une seule classe...
Autre possibilité, on contraint l'arc à être paramétré de manière à ce que sa tangente ne s'annule pas, et à être partout différentiable. Alors on ne peut abouter deux arcs que si leurs tangentes sont colinéaires au point commun ==> pas transitif.
ça c'est ce qui définit un référentiel en réalité. Un "observateur" est un point à (x,y,z)=constante et sa fibre temporelle est ce que tu appelles des évènements équivalents (appartenant au même observateur). Ca n'a rien de "canonique" en revanche.
Il n'y a aucun problème de principe à considérer une sous variété de dimension 3 en posant t =constante, ce qui définit un feuilletage "spatial" .. sauf que la variété t = constante n'est pas en général du genre espace , rien ne dit que les arcs joignant deux points sont de genre espace.
En général on peut redéfinir la coordonnée temporelle de chaque observateur de façon que t = constante soit une surface de genre espace, mais alors il y a un autre probleme : les temps ne sont pas forcément synchronisés du point de vue du physicien (le mathématicien s'en fiche en général). La synchronisation doit obeir à une condition particulière stricte, l'échange d'un rayon lumineux en aller-retour entre deux points voisins A et B doit etre tel que le temps où le rayon atteint B et fait demi tour (tB) doit etre la demi somme du temps de départ et d'arrivée en A (tB = (tA+t'A)/2). Cette condition impose une relation entre tA et tB (la synchronisation), qui , de façon générique, est possible de proche en proche sur une ligne ouverte, mais pas sur une ligne fermée (A ne serait plus synchronisé avec lui meme après un tour), et encore moins sur tout l'espace.
Autrement dit , ce qui pose probleme, c'est de définir un "espace simultané physiquement", c'est à dire un feuilletage en sous variétés de dimension 3 de genre espace, qui puissent etre synchronisés entre tous leurs points.
Ceci dit il existe toujours , pour toute géométrie, une définition possible des observateurs telles que la synchronisation est possible, et donc il est toujours possible de définir un feuilletage 3+1 de façon à avoir des "espaces simultanés" (mais pas de manière unique - dans le cas de la RR ça correspond à tous les référentiels inertiels). C'est donc possible, mais nullement trivial.
Alors, je fixe mon vocabulaire, quand je dis une variété munie d'une métrique, j'entends une variété lorentzienne (l'equivalent de riemannien), c'est a dire que je la muni d'une 2-forme qui s'ecrit localement
En fait, je ne pensais pas imposer une orientation. Je dis que deux points sont equivalent ssi il existe un arc les reliant.
Effectivement yu a un probleme de recollement si je m'impose la classe C1 partout. Personnelement je pensais juste prendre mes arcs continus (bien sur), et seulement C1 par morceaux.
Mais je me rend compte en l'ecrivant que l'image de ce truc la ne sera pas une sous variété immergé... Et donc je n'aurai pas un feuilletage (enfin j'aurai un feuilletage singulier si je peux me permettre l'expression). Par contre je ne comprends pas pourquoi les classes seraient reduites a un point.
Je n'impose pas que tous les arcs les reliant soit de genre temps, j'impose juste qu'il en existe 1!
Une autre solution plus elegante, serait de montrer que je peux toujours alterer mes arcs pour que leur derivée soient nulles au depart et a l'arivée, ce qui moyennant l'utilisation d'un recouvrement et d'une partition de l'unité revient a demontrer que dans R^n, muni d'une métrique lorentzienne
Ma definition est moins contraignante je n'impose pas que les hyper surfaces spatiales (ou les courbes temporelles) soient entierement de genre espace (ou de genre temps, meme si la j'ai l'impression que ca sera automatique) dans le sens ou je ne veux pas que tout arc reliant deux points soient de genre espace (resp temps) je m'impose juste l'existence d'un arc de genre temps (voir les reserves plus haut) reliant deux points.
Bon enfin, c'est bien joli tout ca, mais en fait, je ne vois pas trop finalement ce que ma construction a d'interessant, mis a part de dire, ok on a construit un espace, que l'on appelle espace, (resp temps)
Par contre ca m'interesserait beaucoup de voir un feuilletage spatial telles que les feuilles soient entierement de genre espaces (c'est a dire pour tout arc), ca oui, ca ne me parait plus aussi trivial!
