Pendule Simple

[invite39876]

Bonjour,
Tout le monde connait bien l'experience du pendule simple. Une corde, avec une masse au bout, dans laquelle on donne une pichnette, et le pendule oscille.

Une application simple du principe fondamental de la dynamique (ou du theorme du moment cinetique) donne l'equation d'evolution suivante.
où x est l'ecart angulaire à la verticale.

Pour resoudre cette equation, dans la limite des petites oscillations, on utilise le fait que x restant petit, on peut assimiler sin(x) et x.
Mais je me demandais qu'est ce qui justifiais cette approximation, on dit que sin(x) est proche de x, ok, mais est ce que modifier legerement les coefficients (ou les fonctions) de note equation differentielle ne pourrait pas modifier brusquement sa solution (un peu comme en theorie du chaos).

Par exemple si je regarde l'equation avec un a petit, alors si on neglige a, une solution est constante disons C, mais si on ne neglige plus a, alors la solution devient Cexp(ax) qui est tres eloigné de la solution constante.

Bref, est ce que on a qqch qui garantit que si on fait une faible variation sur l'equation alors la solution de l'equation modifiée sera proche de l'equation non modifiée.

Cordialement.
J.
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[stefjm]

Bonsoir,

Par exemple si je regarde l'equation avec un a petit, alors si on neglige a, une solution est constante disons C, mais si on ne neglige plus a, alors la solution devient Cexp(at) qui est tres eloigné de la solution constante.

Pas si éloigné que cela!
Négliger a revient à considérer que la constante de temps du système est infinie et donc que ce système ne se relaxe qu'en un temps infini. (en physique, très grand devant le temps d'étude)
(Je suppose a<0)

C'est aussi très plat une exponentielle...

Bref, est ce que on a qqch qui garantit que si on fait une faible variation sur l'equation alors la solution de l'equation modifiée sera proche de l'equation non modifiée.

Typiquement la bonne question que ne se pose que rarement les physiciens.
Il faudrait peut-être voir en maths?

[invitee0b658bd]

Bonjour,
pas vraiment, quand on remplace sin x par x on remplace une fonction par une autre trés proche. Alors que dans l'autre cas tu supprimes carément une fonction
fred

[invite39876]

@stefjm : Je pensais plutot a a>0 justement! Apres oui, je n'ai jamais vu de physicien se poser la question, du moins dans ma scolarité, mais en ce moment je m'interesse un peu a la théorie du chaos (de tres loin) et je trouve que c'est une question qui est dans le prolongement naturel. Je pense que des physiciens doivent deja s'etre posé la question

@verdifire: Non, dans le second cas, je rempace une fonction (la constante a, petite) par une fonction qui lui est proche aussi (la fonction nulle).

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

@stefjm : Je pensais plutot a a>0 justement!

Ca ne change pas grand chose en fait, cela retourne simplement le temps.

On voit toujours l'exponentielle comme une fonction qui croit très vite, mais elle est aussi constante très longtemps.
Pour qui correspond à une constante de temps de 1000s,
est de l'ordre de 1, jusqu'à des valeurs de temps de l'ordre de 1000s.

Si l'expérience ne dure pas ce temps là, pas la peine de s'emmerder avec une solution en exponentielle.

Par exemple, les électrotechniciens sont spécialistes pour dire qu'une tension aux bornes d'un "gros" condensateur est constante même s'il y a du courant non négligeable qui le traverse.

[invite7ce6aa19]

Bonjour,
Tout le monde connait bien l'experience du pendule simple. Une corde, avec une masse au bout, dans laquelle on donne une pichnette, et le pendule oscille.

Une application simple du principe fondamental de la dynamique (ou du theorme du moment cinetique) donne l'equation d'evolution suivante.
où x est l'ecart angulaire à la verticale.

Pour resoudre cette equation, dans la limite des petites oscillations, on utilise le fait que x restant petit, on peut assimiler sin(x) et x.
Mais je me demandais qu'est ce qui justifiais cette approximation, on dit que sin(x) est proche de x, ok, mais est ce que modifier legerement les coefficients (ou les fonctions) de note equation differentielle ne pourrait pas modifier brusquement sa solution (un peu comme en theorie du chaos).

Par exemple si je regarde l'equation avec un a petit, alors si on neglige a, une solution est constante disons C, mais si on ne neglige plus a, alors la solution devient Cexp(ax) qui est tres eloigné de la solution constante.

Bref, est ce que on a qqch qui garantit que si on fait une faible variation sur l'equation alors la solution de l'equation modifiée sera proche de l'equation non modifiée.

Cordialement.
J.

Bonjour,

Quand tu as une équation d2x/dt2 + A sin x = 0

Il est facile de vérifier

que si x = x' + T

On a:

Alors d2x'/dt2 + sin (x' + T) = 0

Si T= 2.Pi

alors l'équation initiale est invariante par translation, cad que le mouvement est périodique et de période T

Ce qui veut dire que le mouvement périodique est stable lorsque tu fais partir le pendule de plus haut.

[invite39876]

C'est pas vraiment la question, en tout cas je ne vois pas pourquoi ca repond a ma question.
Et le fait que l'equation soit invariante par translation ne garantit pas que sa solution le soit, l'equation x'=a, est bien invariante par translation de ce qu'on veut, et le mouvement associé n'est pas periodique.

[invite7cd2b282]

Bonjour,

Il y a une autre différence, c'est que dans un cas, on parle de la variable de résolution x alors que dans un autre cas, on parle d'un paramètre de l'équation. Tu peux remplacer dans ton équation différentielle des bouts de fonctions par des fonctions équivalente pour certaines valeurs x de ta fonction.

Pour x très petit, sin(x) = x, et donc tu peux dire que ta solution x" + x = 0 est la solution du mouvement de ton pendule pour des x petit (tels que sin(x) = x).

Pour supprimer ton ax, tu ne peux pas raisonner sur a. "a" a beau être très petit, à un moment, ax sera très grand et donc ça ne marche plus.

[invite7ce6aa19]

C'est pas vraiment la question, en tout cas je ne vois pas pourquoi ca repond a ma question.

Bonsoir,


Cà répond à ta question si tu regardes comment cela se passe dans le plan de phase.

Tu verras que la trajectoire dans l'espace des phases est une boucle qui est déformée suivant l'approximation de sin x.

Conclusion la mouvement reste périodique avec une fréquence qui dépend de l'amplitude w(A).

[invite39876]

Je suis désolée mais je ne pense pas que vos justficiations soient bonnes.
@mariposa= je ne demande pas de justfiier que le mouvement soit periodique, je demande pourquoi quand on modifie un peu les fonctions d'une equation differentielle (non linéaire) alors ca modifie peu la solution.

Dans l'espace des phases qui est de dimension 2, on cherches les courbes intégrales du champ X(x,y)=(y,-sin(x)), et on utilise les egalités d'energie, pour voir qu'une certaine quantité est conservée, on en deduit le portrait de phase. A aucun moment ceci ne justifie de replacer le champ de vecteur par (y,-x)

@theophane votre consideration est totalement arbitraire, ce que vous appelez paramètre, on peut le voir comme la fonction de x, qui vaut ax.

En fait j'ai trouvé la reponse a ma question, pour que l'apporximation soit valable, par exemple une condition suffisante est que le linéaisé du champ de vecteur au voisinage d'un point pres du quel on veut approximer ait toutes ses valeurs propres de parties reelles strictement negatives (ca n'est pas le cas ici, une est nulle). En fait on dispose d'un critère appelé critère de routh, qui dans ce cas garantit que l'approximation est valable.

Ca n'aurait pas ete le cas par exemple avec x'=exp(x), si on l'avait approximé par x'=1+x au voisinage de 0 (alors que exp(x) est aussi tres proche de 1+x pour x petit), et bien la vrai solution serait tres differente de la solution de l'approximation.

[invite7cd2b282]

Effectivement, il convient de vérifier que l'hypothèse reste vrai dans la solution.
Si la solution que tu obtiens en approximant t'amènes dans une situation où l'approximation n'est plus vraie, ce n'est pas viable de la faire.

Si je prends x"+sin(x)=0, et que je dis "a priori, je pars sur des x petit donc x"+x=0", ça conduit à x=Asin(t+phi), avec A = ± sqrt (x'(0)^2 + x''(0)^2).
Si A est suffisamment petit, x reste petit et tu as ta solution. Si tu balances ton pendule avec force (et donc x'(0) est grand), tu sors du domaine de validité puisque la vitesse initiale va faire que x n'est plus petit dès le début. Donc sin(x) n'est plus à peu près égale à x.

Dans le cas de x'=exp(x) (avec x'(0)=0) : je suppose x petit, et donc x'=x+1 et donc x=exp(t) - 1. Cette solution n'est pas stable car dès que t va grandir un peu, x ne sera plus négligeable. Par contre, pour des t tel que exp(t) est proche de 1, c'est tout à fait bon de dire que x = exp(t) - 1.
D'ailleurs, la vraie solution de x'=exp(x) quand t est compris entre 0 et 1, c'est -ln(1-t) et si tu plotes autour de 0 la fonction x=exp(t) - 1 et la fonction x=-ln(1-t), tu verras qu'elles se superposent...

[stefjm]

En fait j'ai trouvé la reponse a ma question, pour que l'apporximation soit valable, par exemple une condition suffisante est que le linéaisé du champ de vecteur au voisinage d'un point pres du quel on veut approximer ait toutes ses valeurs propres de parties reelles strictement negatives (ca n'est pas le cas ici, une est nulle). En fait on dispose d'un critère appelé critère de routh, qui dans ce cas garantit que l'approximation est valable.

Je ne suis pas trop d'accord.
Ce n'est pas parce que la linéarisation donne un système asymptotiquement stable que cela va toujours bien marcher.
(cf exemple de Theophane)

Il y a même des cas où cela marche alors que la réponse est divergente.

[invite7ce6aa19]

Je suis désolée mais je ne pense pas que vos justficiations soient bonnes.
@mariposa= je ne demande pas de justfiier que le mouvement soit periodique, je demande pourquoi quand on modifie un peu les fonctions d'une equation differentielle (non linéaire) alors ca modifie peu la solution.

Dans l'espace des phases qui est de dimension 2, on cherches les courbes intégrales du champ X(x,y)=(y,-sin(x)), et on utilise les egalités d'energie, pour voir qu'une certaine quantité est conservée, on en deduit le portrait de phase. A aucun moment ceci ne justifie de replacer le champ de vecteur par (y,-x)

Bonjour,

Il me semble que les choses sont très simples:

1- Comme indiqué precédemment le mouvement reste périodique.

2-On change légèrement l'amplitude initiale (et donc l'énergie du système)

Les points 1 et 2 indiquent que les courbes de l'espace des phases sont voisines, l'une s'obtient a partir de l'autre par déformation continue

ce qui veut dire que l'on peut faire un calcul de perturbation.


pour qu'il y ait un comportement "exotique" cad une bifurcation il faudrait qu'il y ait une singularité dans le plan de phase.