problème de géométrie pour peintre

[adrienlucca]

bonjour!

Il me faudrait un algorithme que je ne parviens pas à mettre au point...


J'essaie de créer un "gradient" linéaire (j'expliquerai ce que j'entends par-là plus bas) à partir d'éléments discrets, le plus difficile étant de bien
poser le problème, je vous y emmène pas-à-pas :


J'ai à ma disposition une surface de papier rectangulaire abcd
DSCN2766.JPG
FIG.1

sur laquelle je désire effectuer un dégradé au moyen de lignes parallèles à [ad]dont la largeur moyenne u (pour "unité") est toujours identique
DSCN2767.JPG
FIG.2

Je voudrais que ce dégradé commence avec une densité de 1/2 du côté gauche du rectangle, et se termine avec une densité de 0 du côté droit.
Entre les deux, j'aimerais que ce dégradé suive la loi linéaire suivante :
que la moyenne de la densité de lignes sur une portion verticale de rectangle soit fonction de la variation horizontale (de droite à gauche et vice-versa)
de la position de la mesure de cette densité, autrement dit : au milieu des côtés horizontaux du rectangle, ma densité est de 1/4, au premier quart
elle est de 3/8e, au troisième quart elle est de 1/8e, etc.
DSCN2768.JPG
FIG.3 (désolé je me suis trompé dans les bulles, il faut lire 1/4 au lieu d'1/2!)


Ce n'est pas tout, je connais encore deux choses :

- Mon unité n'est pas inconnue car je peux la mesurer, on peut ainsi dire u = 1
et de même je connais la longueur (quelconque) de mon rectangle, que je nomme l
DSCN2772.JPG
FIG.4

- Je sais contrôler la densité de mes lignes, car connaissant leur largeur moyenne u, que j'ai prise pour unité, je sais qu'en traçant des lignes
de largeur u espacées entre-elles d'une distance de u - ou autrement dit à une fréquence de 1/2*u - j'obtiens la densité voulue de 1/2

De même, si j'utilise comme fréquence 1/4*u - une ligne; un espace de 3*u; une ligne; un espace de 3*u; ... etc.,- j'obtiens une densité d'1/4
DSCN2769.JPG
FIG.5


Mon problème est donc le suivant : je n'arrive pas à me représenter comment je peux transformer le triangle rectangle noir de la FIG.3 en un système de fréquence spatiale
variable (équivalent à la densité variable de l'encre sur le papier) dont la variation serait correctement représentée par le rapport variable horizontalement entre ce triangle et le
rectangle qui le contient.


Si vous pouviez m'aider, ce sera avec grand plaisir !

Bien à vous,
Adrien
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[invite6dffde4c]

Bonjour et bienvenu au forum.
Je pense que personne ne vous a répondu car personne n'a compris ce que vous voulez exactement.
J'ai relu plusieurs fois votre texte mais je n'ai pas compris. Surtout la dépendance verticale avec la densité horizontale.
Essayez de vous expliquer autrement. Imaginez que vous expliquez ça à quelqu'un qui ne connait rien en maths ou en densité, etc. En général, les explications en langage vernaculaire sont plus claires.
Au revoir.

[phuphus]

Bonjour adrienlucca,

si j'ai bien compris, tu veux juste faire un dégradé depuis un gris 50% jusqu'à du blanc, de gauche à droite et uniquement en utilisant des lignes noires sur fond blanc. Appelons gamma la densité, et plaçons un repère 1D dont l'axe unique Ox est dirigé de gauche à droite sur tes figures, avec l'origine sur le côté gauche du rectangle.

En x=0, gamma vaut 1/2.
En x=l, gamma vaut 0.
Entre les deux, gamma varie linéairement. Donc :

gamma = 0,5 - 0,5*(x/l)

Tu sais que si d=u, alors gamma = 1/2.
Si d=3*u, alors gamma = 1/4.

On en déduit simplement que :
gamma = d/(d+u)
(gamma n'est donc que l'occupation spatiale de tes lignes noires).

Il n'y a plus qu'à combiner les deux équations pour exprimer u en fonction de x.

Néanmoins, je doute qu'une telle technique soit satisfaisante d'un point de vue perceptif, et pour aller plus loin tu peux ajouter du bruit à la disposition déterministe de tes lignes. C'est utilisé couramment, va voir par exemple ici :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Tramage...e)#Algorithmes

Si tu veux faire un essai simple, prends une image de 1000x1 pixels dans un logiciel de retouche d'image quelconque, fabrique un dégradé de gris dessus, passe-la en noir et blanc avec essais de plusieurs algorithme de décimation, et extrude ton image sur une verticale pour voir le résultat. Cela te donnera directement le rendu que tu veux, et tu pourras juger de la pertinence d'un dégradé régulier face à un dégradé avec diffusion d'erreur.

[phuphus]

gamma = d/(d+u)

... faute de frappe : gamma = u/(d+u)

[A voir en vidéo sur Futura]

[adrienlucca]

merci pour ta réponse,

je ne comprends malheureusement pas à quoi les lettres d et u font référence.


Par ailleurs, ta description du problème est juste mais ton explication ne me donne pas
de solution - sauf incompréhension de ma part.

Je cherche bien à créer un dégradé de densité variable, à variation linéaire, par exemple de 1/2 à 0 sur une distance donnée.

Mais je veux le faire en prenant en compte la mesure (disons en millimètres) des lignes que j'utilise.

Ce que je veux, c'est qu'en moyenne, la densité d'encre soit de 1/2 au départ, 1/4 au milieu, etc.

Il n'est pas difficile de faire une courbe qui suive cette fonction,
en revanche, ce que je ne parviens pas à faire correctement, c'est à savoir exactement comment répartir mes lignes....

J'ai trouvé une approximation (voir image, quelque chose que j'ai calculé sur excel),
mais j'aimerais si possible une solution plus exacte (notamment lorsque je me rapproche de la limite 0)


(les trois premiers quarts sont impeccables, et ensuite ça devient quelque peu approximatif...)


Le problème à résoudre, c'est de calculer un par un les écarts de plus en plus grands entre les lignes au fur et à mesure
que j'avance de gauche à droite, de manière à ce que le rapport entre ces écarts et l'unité (la ligne noire) corresponde
à la position horizontale.

Si j'ai une formule, j'automatise et c'est réglé - je ne trouve pas de formule exacte!

Merci des réponses, au plaisir de vous lire - je réponds aux questions.

Adrien

[adrienlucca]

A propos de ta remarque sur la perception, ce n'est pas le problème ici mais je sais de quoi tu parles.

En revanche, quand tu écris "gris 50%", on parle bien de densité au sens où pour une encre donnée,
la densité de cette encre est la quantité de surface couverte par l'encre.

A

[adrienlucca]

j'ai trouvé un moyen de faire une approximation assez juste, mais de manière très laborieuse (avec des moyennes, je vous passe les détails...)

C'est pour faire des dessins, voyez (les cercles contiennent des échantillons des densités) :

[phuphus]

Bonsoir adrienlucca,

dans ma première réponse j'ai inversé u et d, c'est peut cela qui t'a empêché de comprendre correctement. C'est toi qui as défini u lorsque tu as posé le problème : c'est la largeur d'une ligne. Quant à d, cela représente la distance entre deux lignes consécutives ; et x représente la coordonnée d'abscisse.

Donc au final :

gamma = 0,5 - 0,5*(x/l)
gamma = u/(d+u)

Il ne reste plus qu'à exprimer d en fonction de x :
d = u*(1+x/l)/(1-x/l)

Le problème à résoudre, c'est de calculer un par un les écarts de plus en plus grands entre les lignes au fur et à mesure
que j'avance de gauche à droite, de manière à ce que le rapport entre ces écarts et l'unité (la ligne noire) corresponde
à la position horizontale.

C'est exactement ce que font les équations que je te propose. Il suffit de les intégrer dans un algorithme itératif pour avoir la suite des coordonnées des lignes noires. C'est ce que j'ai fait dans une feuille excel, je te la mets en pièce jointe. Dans cette feuille, le premier tableau te donne directement les coordonnées de toutes les lignes que tu dois tracer (colonne "x"). Si tu veux le résultat en millimètres, tu as juste à remplacer les valeurs de L et u dans la feuille excel par tes propres valeurs en mm, et à réajuster la taille du tableau.


Tu as une deuxième manière de voir le problème. Pour une position de ligne donnée, tu peux calculer l'erreur entre la valeur théorique de densité et celle affichée. Tu intègres cette erreur le long de ton rectangle, et tu règles l'affichage (ligne noire ou ligne blanche) de manière à avoir un résultat d'intégrale, pour toute position, nul en moyenne et toujours compris entre -1/2 pas et +1/2 pas de quantification.

Le deuxième tableau de ma feuille Excel implémente cet algorithme d'encadrement d'erreur, et te donne, pour un rectangle de 1001 pixels de large, la couleur à afficher pour chaque pixel (0 = blanc et 1 = noir).

Si jamais cela ne suffit pas, je ferai un essai sous Matlab pour directement générer une image à partir de ces algorithmes. Du coup, je prendrai u = 1 pixel.

[adrienlucca]

je regarde ca lundi, merci beaucoup!!

A

[adrienlucca]

merci, je n'étais pas loin mais j'avais fait une erreur quelque part!

à bientôt!



Adrien

[phuphus]

Bonsoir Adrien,

de rien !

Est-il possible de voir le résultat pour les 2 algorithmes ? Peut-être sur ton blog ?

[adrienlucca]

Oui, je mettrai quelque chose ici et sur mon blog bientôt.

Je n'ai pas utilisé le second algorithme, mais j'ai créé plusieurs modifications du premier.

En fait, ce dont j'avais besoin est d'un "canevas", un algorithme de base linéaire que je
puisse ensuite transformer en quelque chose de moins linéaire.

Et à la place des lignes noires j'utilise des couleurs

à bientôt

[adrienlucca]

Bonjour,

voyez sur mon blog de premiers résultats que j'ai obtenus grâce à votre aide et en combinant celle-ci avec des outils que j'avais développés précédemment.
En regardant mon blog de temps en temps, vous en verrez de nouveaux,

http://adrienlucca.files.wordpress.c...2-vertical.jpg

Bien à vous, et merci encore!

[phuphus]

Bonsoir adrienlucca,

merci pour ce retour, je vois que ça fonctionne plutôt bien. Je ne manquerai pas de retourner sur ton blog de temps à autres.

[adrienlucca]

Hello !

(voir image plus bas)

ça y est, je peux enfin expliquer ce que je voulais faire exactement avec ça :

J'avais trois couleurs : un jaune citron, un bleu-violet et un noir.

Je suis en mesure de créer un gris avec les deux premiers et le papier blanc, de même qu'avec le noir et le papier blanc.
Par conséquent je peux aussi le faire avec les trois couleurs - et puisque je connais leurs réflectances je peux créer des
"jumeaux" entre les différents gris.

Ce que je voulais faire, c'était un échantillonnage continu entre toutes ces possibilités intermédiaires - et puisque je travaille avec
trois couches de couleurs, j'ai dû corriger les gammas des couches inférieures (leur donner un gain bien précis correspondant
au masquage des couches supérieures de lignes peintes - il n'y a pas de transparence, le médium des peintures est saturé de
pigment).

Le résultat c'est un rectangle de 80 cm de long où l'achromaticité est constante de même que la réflectance moyenne, autrement
dit, à quelques mètres de distance c'est un rectangle gris parfaitement uniforme visuellement, de près, c'est un "feu d'artifice de couleurs".

Merci encore pour votre aide! Je vous laisse tranquille maintenant


Adrien

[adrienlucca]

Cher Phuphus, voici ce que votre aide m'a permis de faire,
voir aussi : http://adrienlucca.files.wordpress.c...lucca-2012.jpg
bien à vous.

Adrien

[phuphus]

Bonjour adrienlucca,

merci beaucoup pour ce retour ! Bonne continuation.