Petites questions simples en atomistique

[invite23b5ba7c]

Salut tout le monde, je bloque un peu sur certains exercices en atomistique, aussi je me permet de vous demander un petit coup de pouce (il faut absolument que je sois au point là dessus dans une semaine ).

Voici deux diagrammes représentant la distribution des probabilités de présence d'un électron pour deux orbitales atomiques :

Orbitale 1.jpg

Et on me demande si :

Orbitale 2.jpg

Apparemment les deux affirmations sont correctes (je n'en suis pas sûr à 100% cependant). Le problème, c'est que je ne comprends pas trop ces notations... Pour la première proposition je suis d'accord, mais pour la deuxième, je n'imagine pas ce que représentent "d x²-y²"... Est-ce vraiment pareil que "d xy" ?

Un gros merci d'avance, sincèrement, ça m'aiderait vraiment beaucoup .
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[mariposa]

Salut tout le monde, je bloque un peu sur certains exercices en atomistique, aussi je me permet de vous demander un petit coup de pouce (il faut absolument que je sois au point là dessus dans une semaine ).

Voici deux diagrammes représentant la distribution des probabilités de présence d'un électron pour deux orbitales atomiques :

Pièce jointe 166098

Et on me demande si :

Pièce jointe 166099

Apparemment les deux affirmations sont correctes (je n'en suis pas sûr à 100% cependant). Le problème, c'est que je ne comprends pas trop ces notations... Pour la première proposition je suis d'accord, mais pour la deuxième, je n'imagine pas ce que représentent "d x²-y²"... Est-ce vraiment pareil que "d xy"
Un gros merci d'avance, sincèrement, ça m'aiderait vraiment beaucoup .

Bonjour,


"d x²-y²" "d xy" sont 2 expressions mathématiques différentes et donc ce n'est pas pareil.

[GillesH38a]

en fait c'est uniquement une rotation de 45 ° par rapport aux axes qui les en distinguent : en effet si tu fais un changement de repère et , tu vois que et réciproquement. Ces deux orbitales sont une base obtenue à partir des orbitales physiques correspondant au moment orbital +2 et - 2 (en unités hbar), avec une combinaison linéaire + et - qui a l'avantage de les rendre réelles donc représentables (mais l'inconvénient de ne plus être vecteur propre de Lz). Les chimistes préfèrent les représenter comme ça, les physiciens garderont plutot la base associée à m (qui est complexe ).
La notation vient de ce que la partie spatiale peut s'exprimer avec un facteur ou mais elles sont en réalité physiquement équivalentes.

[mariposa]

en fait c'est uniquement une rotation de 45 ° par rapport aux axes qui les en distinguent : en effet si tu fais un changement de repère et , tu vois que et réciproquement. Ces deux orbitales sont une base obtenue à partir des orbitales physiques correspondant au moment orbital +2 et - 2 (en unités hbar), avec une combinaison linéaire + et - qui a l'avantage de les rendre réelles donc représentables (mais l'inconvénient de ne plus être vecteur propre de Lz). Les chimistes préfèrent les représenter comme ça, les physiciens garderont plutot la base associée à m (qui est complexe ).
La notation vient de ce que la partie spatiale peut s'exprimer avec un facteur ou mais elles sont en réalité physiquement équivalentes.

Bonjour,


Je pense que tu en dis trop ou pas assez.

Sur le fond ce que tu viens d'expliquer est que un état L= 2 (irréductible de O(3) donc 5 fois dégénéré se décompose

en représentations irréductibles dans un sous-groupe cubique:



L === T2 + E de dimension 3 + 2



Les orbitales et forment une base qui sous-tend la représentation irréductible E

Donc la rotation des axes de R3 de 45° que tu as présenté a la propriété de laisser invariant E et donc O(3)

Par ailleurs cela n'a rien à voir avec le langage des chimistes. Les physiciens du solide utilisent le même langage et pour des raisons qui découlent de ce que vient d'être d'expliquer


Par exemple dans un modèle de bandes avec des métaux de transition où les états d vont jouer un rôle important.

Supposons que le métal de transition soit dans un site tétraédrique comme le silicium.

Dans un modèle de liaison forte la lacune de silicium c'est 4 orbitales pendantes qui se transforment comme A1 + T2 de Td (groupe cubique tétraédre)

Par conséquent on aura une bande de valence formée à partir de T2 et 2 autres bandes plates E et A1 (pas d'interaction à courte portée).

En fait les états A1 sont très haut en énergie donc invisible, par contre il y aura une faible interaction entre les états E et donc une bande très étroite.

Si cette bande est très étroite et occupée par 1 électron, le schéma de bande s'écroule et on a une dynamique de Hubbard où la physique est contrôlée par les occupations à 1 site.

C'est bel exemple de physique qui a partir de quelques notions de TRG peut faire déjà des prévisions sur la dynamique électronique d'un solide.


Commentaire externe: Ce serait l'occasion de montrer ici comment les tenseurs ne sont qu'un petit sous-ensemble de la théorie de représentations des groupes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef17c7c8d]

en fait c'est uniquement une rotation de 45 ° par rapport aux axes qui les en distinguent : en effet si tu fais un changement de repère et .

C'est curieux mais cette ré-écriture me fait pensé respectivement à une symétrisation et une antisymétrisation.

[invite23b5ba7c]

Un grand merci, j'ai ma réponse et même bien plus !
J'ai pas tout compris, mais tout ça attise pas mal ma curiosité. Ahh si j'avais plus de temps ...

[GillesH38a]

Bonjour,


Je pense que tu en dis trop ou pas assez.

Sur le fond ce que tu viens d'expliquer est que un état L= 2 (irréductible de O(3) donc 5 fois dégénéré se décompose

en représentations irréductibles dans un sous-groupe cubique:

euh ça m'étonne ce que tu dis, les orbitales en question ne me semblent pas être une base d'une représentation irréductible du groupe Td , pour moi ce ne sont que la base du sous espace ml=+ 2 et - 2 : si c'est une représentation d'un groupe, ce serait plutot celui des rotations et symétrie autour de Oz. Je ne voulais pas du tout m'embarquer dans des discussions sur les RI, juste signaler qu'elles sont déduites des orbitales de la physique atomique "habituelle" de nombres quantiques l, ml définis par un changement de base. Je suis tout à fait d'accord qu'elles peuvent être plus adaptées quand l'environnement brise la symétrie "sphérique" de l'atome libre, c'est pour ça qu'elles apparaissent naturellement en chimie ou en physique du solide.

[mariposa]

euh ça m'étonne ce que tu dis, les orbitales en question ne me semblent pas être une base d'une représentation irréductible du groupe Td , pour moi ce ne sont que la base du sous espace ml=+ 2 et - 2 : si c'est une représentation d'un groupe, ce serait plutot celui des rotations et symétrie autour de Oz. Je ne voulais pas du tout m'embarquer dans des discussions sur les RI, juste signaler qu'elles sont déduites des orbitales de la physique atomique "habituelle" de nombres quantiques l, ml définis par un changement de base. Je suis tout à fait d'accord qu'elles peuvent être plus adaptées quand l'environnement brise la symétrie "sphérique" de l'atome libre, c'est pour ça qu'elles apparaissent naturellement en chimie ou en physique du solide.

Bonjour,


L'espace L= 2 des harmoniques sphériques se décomposent selon les IRI de Td car L== E + T2 (un petit calcul à partir des caractères des groupes te donnera ce résultat).

Ce qui veut dire qu'a partir des harmoniques sphériques L = 2 il existe une transformations unitaire qui te donnera un espace décomposable en 2 sous-espace E et Td telles que les opérations de symétrie du

groupe Td laissera invariant ces 2 sous-espace, cad qu'il n y a d'éléments non diagonaux qui apparaissent après action des opérateurs des symétries de Td.

[GillesH38a]

merci mais je sais à peu près ce qu'est une représentation de groupe .

Je te dis qu'il ne me semble pas que l'espace vectoriel sous-tendu par les orbitales en question (x2-y2) et xy soit stable par le groupe Td. Il y a bien des représentations irréductibles, mais pas construites sur ces orbitales. Enfin je dis ça comme ça je n'ai pas vérifié la table de caractères.

[mariposa]

merci mais je sais à peu près ce qu'est une représentation de groupe .

Je te dis qu'il ne me semble pas que l'espace vectoriel sous-tendu par les orbitales en question (x2-y2) et xy soit stable par le groupe Td. Il y a bien des représentations irréductibles, mais pas construites sur ces orbitales. Enfin je dis ça comme ça je n'ai pas vérifié la table de caractères.

Ok,

Effectivement ce qui sous-tend T2 c'est xy, yz, zx

Ce qui sous-tend E c'est 3z2-r2 et x2-y2