Potentiel et equation de Poisson-Boltzmann

[invitedb1946d2]

Bonsoir ! Je me pose quelques questions à propos de l'équation de Poisson



Pourquoi, dans le cas d'une charge ponctuelle, le potentiel



ne vérifie pas l’équation de Poisson ? De manière plus générale, si on se place dans une région de l'espace où il n'y a pas de charge, l’équation devient :



Or je connais une multitude de configuration où ça ne marche pas : charge ponctuelle, dipôle, quadripôle ... La resolution de cette équation donne d'ailleurs un potentiel logarithmique si le potentiel est à symétrie sphérique.

Pourtant, j'ai appris que c'était une équation locale qui devait être vérifiée partout.

Quelqu'un peut il m'éclairer ? Merci beaucoup
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[Bruno]

Bonsoir,

Dans ton équation rho dépend du point où on se trouve et dans le cas d'une charge ponctuelle, rho est nul partout sauf en 0 (pour un système d'axes centré en la charge q) où rho est indéfini. En effet, rho étant une densité volumique de charge :

Et cette intégrale n'existe que pour rho(0)="infini" lorsque dV->0.

Pour l'appliquer au potentiel coulombien il faudrait faire un calcul de limite pour r->0 mais pour tout l'espace restant tu as bien ∆V=0 !

[invitedb1946d2]

Bonsoir,

Merci beaucoup pour votre réponse. Je suppose que c'est aussi pour ça que je trouve que la divergence du champ crée par une charge ponctuelle est nul, alors que sont intégrale triple sur une sphère centrée en q devrait donner q/e0 !!

[Bruno]

Exactement, la divergence est une propriété locale. C'est d'ailleurs en appliquant l'opérateur nabla à E = -grad(V) qu'on arrive à ∆V = -rho/eps0.

On dit parfois que le Laplacien ∆ a pour effet de "lisser", de rendre continues les fonctions auxquelles on l'applique. Il y a donc une certaine contradiction à appliquer ∆V=-rho/eps0 à une configuration où rho est discontinue (charge ponctuelle, sphère chargée, ...).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedb1946d2]

Ok c'est vrai que vu comme ça c'est assez clair. Merci beaucoup et bonne soirée !

[albanxiii]

Bonjour,

Pourquoi, dans le cas d'une charge ponctuelle, le potentiel



ne vérifie pas l’équation de Poisson ?

Elle la vérifie, mais au sens des distributions. En modélisant une charge ponctuelle par une distribution de Dirac : . Mais en prépa ou premier cycle de fac, on cache tout ça....

[Bruno]

Si c'est dans un cadre de cours de physique, on a rarement le temps pour y placer un mini-cours sur la théorie des distributions. Si on dispose d'un logiciel de calcul formel (ou si on est maso ), on peut modéliser la charge par , calculer et vérifier qu'il est solution de l'EDP de Poisson.

[albanxiii]

Re,

On pose une question. J'y répond. Qu'on ait ou non le temps de le faire pendant un cours de physique, cela n'est pas présentement, mon problème.

L'avantage de poser des questions sur un forum c'est justement de pouvoir voir un peu au delà de ce qu'impose un programme fait pour passer des concours.... Je ne vois pas l'intérêt de faire de la rétention d'information quand on pense que l'OP peut saisir les explications un peu plus poussées qu'on propose.

Si 'lOP veut plus de détails, libre à lui de demander ou de chercher sur le net. Mais au moins il saura où chercher et ne sera pas étonné d'entendre parler de distributions avec ce sujet là.

[Bruno]

Pas de soucis, ma réaction portait sur le "en prépa ou premier cycle de fac, on cache tout ça....".