theoreme de la boule chevelue

[kaderben]

Bonjour
Je découvre sur un livre, le theoreme de la boule chevelue qui depasse de loin mes connaissances
Formulation populaire: si une sphere couverte de cheveux et que nous les brossons regulierement pour les aplatir, nous laissons toujours au moins un épi ou une calvitie.
Formulation mathématique ( ou physique): tout champ de vecteurs continu sur une sphère possede au moins un point ou' le champ est nul.

Naïvement, je pense à une sphere dans le champ de gravitation terrestre. Y a t_il un point de la sphere ou g est nul ?
Merci pour vos commentaires
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[albanxiii]

Bonjour,

Dans ce théorème le champ de vecteur est défini SUR la sphère, c'est à dire en 2D. Le champ de gravitation n'est pas dans ce cas là, c'est un champ 3D défini autour ou dans une boule (et pas sphère donc).

Cherchez une démonstration sur le net, vous comprendrez.

[Jon83]

Bonjour!

Regarde cet article sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...boule_chevelue

[kaderben]

L'auteur, Clfford A. Pickover, parle d'une sphere en 3D et Wikipedia parle d'une sphere de dimension paire, ci dessous:
"De manière plus rigoureuse, un champ de vecteurs continu sur une sphère de dimension paire au moins égale à 2 s'annule en au moins un point."

Je ne vois même ce que c'est qu'une sphere en 2D !
Je crois que cela me dépasse.
Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jon83]

Ce que tu nommes "sphère 3D" est en fait une sphère de dimension 2 !!! (http://fr.wikipedia.org/wiki/Sph%C3%A8re)

[mariposa]

Bonjour
Je découvre sur un livre, le theoreme de la boule chevelue qui depasse de loin mes connaissances
Formulation populaire: si une sphere couverte de cheveux et que nous les brossons regulierement pour les aplatir, nous laissons toujours au moins un épi ou une calvitie.
Formulation mathématique ( ou physique): tout champ de vecteurs continu sur une sphère possede au moins un point ou' le champ est nul.

Naïvement, je pense à une sphere dans le champ de gravitation terrestre. Y a t_il un point de la sphere ou g est nul ?
Merci pour vos commentaires

Bonjour,


comme tu peux le constater en pratique tu ne peux pas peigner une sphère. Par contre tu peux peigner un tore.

Le fait que l'on puisse peigner ou non une surface dépend de la topologie de la surface. Derrière cette observation il y a

une théorie mathématique qui s'appelle topologie différentielle et qui permet d'étudier la topologie des surfaces (et plus généralement des espaces à N dimensions que l'on appelle variétés)

en étudiant les propriétés des champs de vecteurs sur ces variétés.

[invite76543456789]

Bonjour
Je découvre sur un livre, le theoreme de la boule chevelue qui depasse de loin mes connaissances
Formulation populaire: si une sphere couverte de cheveux et que nous les brossons regulierement pour les aplatir, nous laissons toujours au moins un épi ou une calvitie.
Formulation mathématique ( ou physique): tout champ de vecteurs continu sur une sphère possede au moins un point ou' le champ est nul.

Naïvement, je pense à une sphere dans le champ de gravitation terrestre. Y a t_il un point de la sphere ou g est nul ?
Merci pour vos commentaires

Bonjour, le point clé c'est qu'il te manque une hypothese clé dans ton theoreme c'est que c'est un champ de vecteur tangent (en fait souvent on appelle champ de vecteur un champ de vecteur tangents).
Par contre y a bien sur des champ de vecteur qui ne s'annulent jamais, par exemple le champ graviationnel, ou n'importe quel champ radial de norme constante égale a 1.

[invite76543456789]

Bonjour,

Dans ce théorème le champ de vecteur est défini SUR la sphère, c'est à dire en 2D. Le champ de gravitation n'est pas dans ce cas là, c'est un champ 3D défini autour ou dans une boule (et pas sphère donc).

Cherchez une démonstration sur le net, vous comprendrez.

On peut restreindre le champ gravitationnel sur la sphere et il devient alors defini sur la sphere.

[mariposa]

On peut restreindre le champ gravitationnel sur la sphere et il devient alors defini sur la sphere.

On ne peut pas dire cela car le peignage de la sphère concerne la variété S2 est indépendant de son plongement dans R3.

Ce qui veut dire que le champ sur S2 plongé dans R3 peux être non nul partout.

[invite76543456789]

On ne peut pas dire cela car le peignage de la sphère concerne la variété S2 est indépendant de son plongement dans R3.

Ce qui veut dire que le champ sur S2 plongé dans R3 peux être non nul partout.

Ca n'a rien a voir, je dis juste qu'un champ defini dans R^3 definit par restriction (ou pull back si vous preferez) un champ sur S^2. Et ce que je dis est tout a fait correct.
Sur S2 il existe des champ de vecteurs non nul partout, par exemple le champ graviationnel.
Par contre si on impose aux champ de vecteurs d'etre partout tangent alors ca n'est pas possible.

[albanxiii]

Re,

Je ne vois même ce que c'est qu'une sphere en 2D !

Prenez une boule de pétanque. Dans notre espace 3D, la boule avec sa matière à l'intérieur est une boule 3D.
Si vous ne gardez que la surface, infiniment mince, pour vous déplacer dessus, vous n'avez besoin que de deux coordonnées, comme un navigateur à la surface de l'océan. C'est cela qu'on appelle sphère 2D. C'est, de façon abstraite, un espace dans lequel on a besoin de 2 et seulement 2 coordonnées pour se repérer de façon absolue par rapport à un point fixe de cette espace.

Cela dit, en posant des questions sur le théorème de la sphère chevelue, je pensais que certaines bases mathématiques étaient aquises, d'où ma réponse précédente. Si vous voulez vous familiariser avec ces notinos de 3D ou 2D, je pense que les BD de Jean-Pierre Petit "Le géometricon" et "Le topologicon" peuvent être de la bonne vulgarisation. Je crois même que ces ouvrages sont dispos sur le net.

[albanxiii]

Bonjour,

On peut restreindre le champ gravitationnel sur la sphere et il devient alors defini sur la sphere.

Auriez-vous l'obligeance de nous écrire son expression analytique dans ce cas là ? Parce que là, je suis un peu largué.... je suis surement trop proche de la physique et pas assez des maths.
Merci d'avance.

[invite76543456789]

Que voulez vous dire par son expression analytique?
Je peux vous en donner une construction oui si vous voulez.
Vous prenez le fibré normal a l'immersion de la sphere dans R^3, ce fibré est trivial, il admet une section partout non nulle.
Si vous voulez une definition en coordonnées, si vous voyez S^3 comme {x²+y²+z²=1}, alors au point (x,y,z) vous associez le vecteur (x,y,z), ca definit un champ de vecteur partout non nul sur la sphere (ca correspond a la section partout non nulle du fibré normal a laquelle je faisais reference), bien sur ce champe de vecteurs n'est pas du tout tangent.

[invite76543456789]

Mais globalement si vous avez un champ de vecteur sur une variété Y et un application differentiable de X dans Y vous pouvez toujours "tirer en arrière" votre champ de vecteur, avec les mains, en un point x qui s'envoie sur y, vous attachez a x le vecteur "au dessus" de y, et vous obtenez un champ de vecteur sur X.
Pour le cas de la sphere c'est tres "visuel" si vous avez un champ definit sur tout R^3, en chaque point de la sphere vous avez un vecteur, et c'est ca que vous voyez comme le champ de vecteur sur la sphere (qui sera lui aussi continu sur la sphere si le champ etait continu sur R^3). C'est une simple restriction (comme une fonction sur R^3 definit une fonction sur la sphere par restriction).

En fait ce que je voulais signaler c'est que le point fondamental du théorème de la boule chevelue est que le cham de vecteur doit etre tangent. Sinon le theoreme n'a aucune raison de marcher.

[invite76543456789]

Et pour enfoncer le clou, et etre totalement explicite je rajouterai que c'est parce que le champ gravitationnel est un champ de vecteur normaux (et pas tangents) qu'il ne s'annule pas, enfin qu'il n'est pas forcer a s'annuler quelque part. Et ca n'est pas le fait que le champ soit defini dans tout l'espace.
Mes deux messages precedents etaient plus "techniques", et je pense qu'ils sont un peu trop mathématiques pour l'intervenant de depart. Désolé.

[kaderben]

Bonjour
Merci pour vos commentaires, cela m'a permis de comprendre un peu.
L'auteur du livre melange boule en 3D et la surface ,de la boule, en 2D qu'il appelle sphere en 3D et il n'a même pas precisé dans la formulation mathématique que les vecteurs son tangents à la sphere en tout point.
Merci