Niveau prépas (méca): trajectoire en fonction des conditions initiales

[invite0934cdbd]

Bonjour,
Je tente de résoudre l'exercice 1 d'un devoir qui s'intitule "la bille dans un cône".
Et je bloque à la dernière (et très longue question 3).
Voici le lien vers le sujet: http://www.fast.u-psud.fr/~moisy/tea...eca_part02.pdf
Si le lien ne marche pas , voici quelques informations:
Une bille de masse m, de dimension négligeable glisse sans frottement sur la surface d'un
cone ˆde demi-angle au sommet alpha. On est en coordonnées cylindriques.
Au vue des considérations géométriques, on constante que r=z*tan(alpha) et que la composante du moment d'inertie notée Jz est constant et vaut m*r²*(théta)'.
Le PFD nous donne la relation M*r" =-m*g/tan²alpha +m*r*(thétha')² avec M= m*(1+1/tan(alpha)²)
Ensuite, on vérifie que l'énergie Em est conservée tel qu'il existe un potentiel effectif V(r) où Em = M*(r')²+V(r)
(similaire à l'Em d'un système soumis à une force centrale )
Voici la question 3:
On pose r(t=0)=r0 et v(t=0)=(0;v0;0) en coord. cyl.
3. a)# Jz en fonction de r0 et v0.
# A quelle condition sur v0 la bille atteint-elle le fond du cone ? Quelle est alors la nature de sa trajectoire ?
b) Trouver v0 tel que la trajectoire = cercle de rayon r0 et d'altitude constante.
c) On considere des trajectoires voisines de cette trajectoire circulaire, où r et r0 sont "très proches", de meme ˆ moment cinetique Jz. Montrer que V(r)= V(r0) +0.5*A*(r-r0)² avec A à déterminer en fonction de m, r0 et v0.
d)# Integrer les équations du mouvement dans l'approximation des petites oscillations autour de la trajectoire circulaire, et dessiner l'allure de r(t) et de (théta)'(t).
e) #En comparant la periode des oscillations de r(t) et celle de la trajectoire circulaire, determiner ´
une condition sur alpha pour que la trajectoire soit periodique.
Voici mes réponses:

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3. a)# Jz =m*r0*v0.
#il faut que z=0 donc r=0 (car z*tan(alpha)=r) puis après je suis bloqué
b)Par analogie à une étude de cas d'un objet soumis à une force centrale, il faut que (0)::r0=rm où rm est le minimum de V(r). Je trouve (1)::rm=((Jz/m)²*tan(alpha)/g)^(1/3) puis (2)::Jz=m*r0*v0 d'après 3.a)
=> v0=(g*z0)^(1/2) où z0=r0/tan(alpha), l'altitude constante.
c) Pour V(r)= V(r0) +0.5*A*(r-r0)², j'ai effectué un DL en r0 à l'odre 2 pour trouver A=3*v0*(r0)^(1/3)
d) LES équations du mvt =>IL Y A plusieurs équations ? Bref, j'ai pris l'équation donnée en 2) (on dérive l'équation sur l'énergie pour trouver M*r"+V'(r)=0)
On trouve donc après changement de variable l=r-r0, l"+(A/M)*l=0 équation d'un oscillateur puis je bloque.
En effet, on trouve l(t)= Y*cos(..)+Z*sin(...) et les CI imposent l(t=0)=r(t=0)-r0=0 donc l(t)=Z*sin(wt) où w²=A/M. Comment déterminer Z ?
Quant à (théta)'(t), on a m*r0*v0=Jz=m*r²*(théta)'(t) donc (théta)'(t)=r0*v0/r².
e) période pour:
~r(t), on a Tr=2*Pi/w
~trajectoire circulaire, Tc=???, je pensais que en trajectoire circulaire r=cst=r0

Merci d'avance.
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[invite15928b85]

Bonjour.

3.a) ok pour l'expression de Jz. La seule possibilité d'atteindre le fond du cône est v0 = 0, sinon, Jz étant constant, la composante en e_θ de la vitesse tend vers l'infini quand r tend vers 0.
3.b) ok pour l'expression de v0. Je l'ai fait en partant des équations différentielles (dérivée seconde de r = 0)
3.c) votre expression de A est fausse. On doit trouver A = 3 m v₀² / r₀² . Attention à l'homogénéité !
3.d) ok pour la forme générale de r(t) et pour la pulsation. Les conditions initiales exactes ne sont pas précisées.
3.e) la question n'est pas claire. Je sèche également.

Trois heures pour tout traiter :

Cordialement.

[invite15928b85]

re.

3.e) La période de la trajectoire circulaire est Tc = 2πr₀/v_0. Pour que la trajectoire soit périodique, il doit exister deux entiers m et n tels que m Tr = n Tc, ce qui impose une condition sur α. Je ne sais pas si toutes les combinaisons mathématiquement acceptables sont compatibles avec les autres contraintes.

Accessoirement, votre pièce jointe ne correspond pas à l'énoncé.

[invite8cdd328e]

Bonjour , je m'intéresse également à ce sujet. Quelqu'un peut me dire quelle sont les différentes forces et leur différentes composante car je comprend pas comment aboutir a ce PFD ??

[A voir en vidéo sur Futura]