TD relativité

[MitchMitch01]

Bonsoir,

Je suis vraiment pas sûr de mes raisonnements dans un td de relativité sur 2 exos.

Dans le premier on me donne l'équation x(t) d'une trajectoire et on me demande de déterminer la force que doit subir l'objet de masse m₀ pour suivre cette trajectoire. Pour celui là j'ai juste remplacé l'accélération par d²x/dt² et la vitesse (y compris dans l'expression des gamma) par dx/dt dans la formule de la force :

obtenue en dérivant la quantité de mouvement relativiste.


Dans l'autre exercice on me dit qu'une fusée subit une accélération F/m₀=10 m.s^-2 pendant 5 ans (durée mesurée dans un référentiel intertiel au repos par rapport au vaisseau). Les question sont :

-Quelles seront la vitesse et la position du vaisseau dans ce référentiel à t=5 ans ?
-Quel est le temps écoulé dans le système du vaisseau ?

Pour la première question je trouve pour l'expression générale de la vitesse en disant que la primitive de F/m₀ vaut donc que j'ai en gros . Je trouve ensuite la position en reprenant la primitive de ça.

Puis pour la 2e question je prends la valeur de gamma pour la vitesse à t=5ans et tout simplement je divise 5 ans par Gamma.


Est-ce juste ou je me trompe ? Je suis pas vraiment sûr de moi.



Merci de répondre svp. Bonne soirée.
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[phys4]

Dans l'autre exercice on me dit qu'une fusée subit une accélération F/m₀=10 m.s^-2 pendant 5 ans (durée mesurée dans un référentiel intertiel au repos par rapport au vaisseau). Les question sont :

-Quelles seront la vitesse et la position du vaisseau dans ce référentiel à t=5 ans ?
-Quel est le temps écoulé dans le système du vaisseau ?

Pour la première question je trouve pour l'expression générale de la vitesse en disant que la primitive de F/m₀ vaut donc que j'ai en gros . Je trouve ensuite la position en reprenant la primitive de ça.

Puis pour la 2e question je prends la valeur de gamma pour la vitesse à t=5ans et tout simplement je divise 5 ans par Gamma.

Bonjour,
La question dit que la mesure est faite dans un repère inertiel "au repos par rapport au vaisseau" c'est donc le référentiel du vaisseau et la durée dans le système du vaisseau serait donc de 5 ans !!!
Les mesures doivent donc être exprimées dans le référentiel qui se déplace à la vitesse atteinte par le vaisseau, la vitesse serait donc nulle ?

Il serait utile de demander à la personne qui a posé le problème s'il n'y a pas une erreur d'énoncé, en lui montrant l’incohérence du problème.
A bientôt.

[phys4]

Le problème posé étant incorrect, je pense qu'il faut supposer que l'on demande les réponses dans le repère inertiel du point de départ du vaisseau.

Dans ces conditions, la formule pour la vitesse n'est pas correcte, il n'est pas pas possible d'approximer car les vitesses atteintes sont proches de c.

L'accélération est par rapport au vaisseau, il faut intégrer les formules de transformation pour trouver d'abord v en fonction du temps du vaisseau t'
Puis le temps t du repère fixe par rapport à v.
Enfin la distance x dans le repère fixe.

[vaincent]

Bonjour,

Bonsoir,

Je suis vraiment pas sûr de mes raisonnements dans un td de relativité sur 2 exos.

Dans le premier on me donne l'équation x(t) d'une trajectoire et on me demande de déterminer la force que doit subir l'objet de masse m₀ pour suivre cette trajectoire. Pour celui là j'ai juste remplacé l'accélération par d²x/dt² et la vitesse (y compris dans l'expression des gamma) par dx/dt dans la formule de la force :

obtenue en dérivant la quantité de mouvement relativiste.


Dans l'autre exercice on me dit qu'une fusée subit une accélération F/m₀=10 m.s^-2 pendant 5 ans (durée mesurée dans un référentiel intertiel au repos par rapport au vaisseau). Les question sont :

-Quelles seront la vitesse et la position du vaisseau dans ce référentiel à t=5 ans ?
-Quel est le temps écoulé dans le système du vaisseau ?

Pour la première question je trouve pour l'expression générale de la vitesse en disant que la primitive de F/m₀ vaut donc que j'ai en gros . Je trouve ensuite la position en reprenant la primitive de ça.

Puis pour la 2e question je prends la valeur de gamma pour la vitesse à t=5ans et tout simplement je divise 5 ans par Gamma.


Est-ce juste ou je me trompe ? Je suis pas vraiment sûr de moi.



Merci de répondre svp. Bonne soirée.

Pour le 1er exo (comme pour le 2ème d'ailleurs) il suffit de prendre l'équation de la dynamique relativiste :



Pour un problème à une dimension, et en ce qui concerne la partie spatiale de l'équation précédente, on a simplement :



or donc au final :



Pour le 2ème, on utilise l'équation de la dynamique relativiste sous la forme :

où est la quadri-vitesse. Même chose qu'au 1er, problème à une dimension, partie spatiale, équivaut à (après intégration sur ):

or ce qui donne :



C'est une équation du 2nd degré. Avant de la résoudre je pose et . La réponse obtenue sera donc en pourcentage de la vitesse de la lumière et en unité de c (bcp plus pratique sinon les chiffres sont hideux !). La seule solution physique est :



On obtient environ 98,9% de c.(si on trace v en fonction de t, on a une fonction qui tend vers 1(i.e. vers c) pout t tend vers l'infini). Pour ce qui est de la position, la primitive n'est pas forcément simple mais ça ce fait. Avec t en années on obtient une position en année-lumière. Environ 4,9 années-lumière.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MitchMitch01]

Bonsoir,

Merci de vos réponses. Pour phys4, c'est moi excuse-moi j'ai retranscrit l'énoncé à la va-vite. Oui tout le problème est considéré dans un référentiel d'étude au repos "A T=0" par rapport au vaisseau. Et la question du coup devient, quand 5 années se sont écoulées dans ce référentiel d'étude combien s'en sont écoulées dans le vaisseau.

Pour vaincent, merci. J'hésitais beaucoup à paramétrer par le temps propre vu qu'ils me donnaient l'équation de la position en fonction du temps. Mais donc la formule que j'ai utilisée pour la force est fausse ?

[phys4]

Je ne sais pas à quel niveau vous voulez travailler ?

Une indication : l'impulsion est proportionnelle au temps du référentiel d'étude.

[rommelus]

Bonsoir,

Pour un problème à une dimension, et en ce qui concerne la partie spatiale de l'équation précédente, on a simplement :



or donc au final :

L'équation est bonne mais le résultat n'est pas juste. On doit obtenir

tout le problème est considéré dans un référentiel d'étude au repos "A T=0" par rapport au vaisseau. Et la question du coup devient, quand 5 années se sont écoulées dans ce référentiel d'étude combien s'en sont écoulées dans le vaisseau.

Il est écrit F/m₀=10 m.s^-2, cette relation devant être valable dans le référentiel d'étude. D'après le résultat de la première question, on peut écrire

Puisque le vaisseau est initialement immobile dans le référentiel d'étude et a une vitesse v à la date t, il vient :

Par conséquent

Puis pour la 2e question je prends la valeur de gamma pour la vitesse à t=5ans et tout simplement je divise 5 ans par Gamma.

Le temps propre tel que enseigné s'écrit

Or on a déterminé la fonction v plus haut et on sait que

Finalement . Il faut connaitre la fonction arc tangente.

Cordialement,
Rommel Nana Dutchou

[phys4]

Nous nous sommes pas sensés faire le problème de MitchMitch à sa place. puisque vous vous en êtes emparés, autant lui donner des résultats exacts.
Je n'ai pas relever les petites erreurs de Vaincent car je pense que cela développe l'esprit critique des jeunes lecteurs.

Par conséquent

cette formule de la vitesse est exacte. cela corrige la première erreur.

Finalement . Il faut connaitre la fonction arc tangente.

L'intégration n'est pas bien difficile. Pour aider et vérifier, vous devez obtenir


Rommelus connait surement cette formule.
Le calcul en al. donne 4,139 al.

[rommelus]

Bonjour,

L'équation est bonne mais le résultat n'est pas juste.

En fait c'est l'équation qui n'était pas bonne ou alors une question de définition.

Rommelus connait surement cette formule.

Pas du tout, n'y a que le théorème de Pythagore que je connais vraiment. En plus je me demande d'où elle vient : s'il s'agit de dire que l'accélération dans le référentiel d'étude est une constante alors à priori c'est l'équation basique (de second degré) sans terme de premier ordre si la vitesse initiale est nulle.

Cordialement
Rommel Nana Dutchou

[vaincent]

Bonjour,

En fait c'est l'équation qui n'était pas bonne ou alors une question de définition.

L'équation est bonne (elle ne vient pas de moi !), il suffit de regarder dans n'importe quel livre de relativité pour s'en rendre compte (unique équation manifestement covariante faisant intervenir une dérivée seconde de la quadri-position et qui tend vers la 2nd loi de Newton lorsque v<<c), et... le résultat aussi...sauf que j'aurai dû écrire* :



Pour obtenir il suffit de multiplier le membre de droite par gamma, ce qui donne bien le résultat escompté. Je tiens tout de même à préciser que pour obtenir ce même résultat en dérivant par rapport à t, le calcul est très long(je l'ai fait, y'en a pour une page quasiment! Après je m'y suis peut-être mal pris mais je ne vois pas comment faire plus court) et encore, il faut supposer que est parallèle à (ce qui est effectivement le cas ici).(Donc tu vois phys4, je n'ai pas maché le travail à MitchMitch01, je lui ai simplement proposé une solution alternative, c'était mon objectif

[*Sauf qu'effectivement, cet oubli de ma part m'a mené à un résultat faux (Méa culpa!)]

Pour ce qui est de la position, en primitivant la vitesse (et sans oublier la constante d'intégration), on obtient bien le résultat donné par phys4, sauf qu'il faut préciser que phys4 note l'accélération (**) (attention de ne pas confondre avec le facteur de Lorentz ).

[**Comment notes-tu le facteur de Lorentz au fait ?]

Et enfin pour le temps passé dans la fusée, le calcul de Rommelus est le bon. Là encore attention aux notations qui portent à confusion ! n'est pas l'abscisse curviligne(car par définition ), mais simplement une variable d'intégration qui a la dimension d'un temps.

Voilà pour le décryptage et le débroussaillage des multiples fausses pistes que j'ai moi-même tracé !. Encore désolé.

[phys4]

Pour ce qui est de la position, en primitivant la vitesse (et sans oublier la constante d'intégration), on obtient bien le résultat donné par phys4, sauf qu'il faut préciser que phys4 note l'accélération (**) (attention de ne pas confondre avec le facteur de Lorentz ).

[**Comment notes-tu le facteur de Lorentz au fait ?]

J'espère que le mélange de notation n'a pas trop semé la confusion, je reconnais la notation quand je la vois, mais ne l'utilise jamais.
La formule provient d'un autre calcul (copier-coller) et je n'ai pris garde aux variables.
J'aurais pu mettre g pour l'accélération mais Mitch utilise G pour le facteur de Lorentz.

Quand je ne mets pas la racine carrée, j'utilise le cos hyperbolique de la rapidité.