Hamiltonien avec 2 spins 1/2

[Tinordi24]

Voici la situation: soit un système à deux spins 1/2 dont l'état de spin découplé est |1/2,1/2>|1/2,-1/2>.

Le système est placé sous un champ magnétique en direction Z de telle sorte que l'hamiltonien est:

H = lambda (S₁*S₂)+(eB/MV) (S_1z-S_2z) où lambda est un nombre réel et S₁, S₂ les spins de l'électron et du positron, respectivement.

Sachant qu'on ne peut PAS utiliser S₁*S₂ = S_1xS_2x + S_1yS_2y + S_1zS_2z, il nous faut trouver S₁*S₂ avec la méthode suivante: S₁*S₂ = 1/2 (S²-S₁²-S₂²) et qu'on ne dispose que de l'information suivante dans la base couplée:

(S_1z-S_2z) =

0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1

et S² =

2 0 0 0
0 1 1 0
0 1 1 0
0 0 0 2

Maintenant, comment trouver S₁² et S₂², toujours dans la base couplée? Cette étape est essentielle à la résolution du reste du problème.
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[obi76]

Bonjour,

pour vos futures discussions, relisez ceci : http://forums.futura-sciences.com/an...sabilites.html en particulier le point 2.

Pour la modération,

[CoucouHibou]

Bonjour,

Tu t'embrouilles dans les notations. Pour deux spins non couplés, on écrit la base non couplée de l'espace produit avec les valeurs propres de S_1z et S_2z (soit |m_S1, m_S2>) : |+1/2,+1/2>, |+1/2,-1/2>, |-1/2,+1/2>, |-1/2,-1/2>

En conséquence de quoi, je suis un peu surpris ici : pourquoi donnes-tu cette matrice pour S² en précisant que c'est dans la base couplée (|S,m_S> donc) ? Dans la base couplée, S² est diagonale, et vaut :



où l'on voit apparaître le résultat stipulant que le moment cinétique total d'un ensemble de deux spins 1/2 vaut 0 (espace de dimension 1, première ligne/colonne) ou 1 (espace de dimension 3, le bloc 3x3 en bas à droite).

Dans la base découplée (que mes réflexes de RMNiste me feront appeler « base de Zeeman », formée par les états |m_e,m_p>), c'est là que l'on a ce que tu as écrit :



Mais je ne sais pas si c'est un présupposé de l'exercice que tu saches cela ou pas. Si tu es sensé connaître la forme de S² dans les deux bases, alors il ne te reste plus qu'à exprimer la matrice de passage d'une base à l'autre, et d'en déduire S₁² et S₂². C'est simple à faire car tu n'as qu'à diagonaliser le bloc 2x2 du centre, et tu sais que ce bloc 2x2 a deux valeurs propres différentes : 0 et 2, puisque les vecteurs de la base découplée |+1/2,+1/2> et |-1/2,-1/2> occupent déjà deux dimensions de l'espace triplet du moment cinétique total S.

Je pense qu'à partir de là, tu peux résoudre facilement cet exercice, bon courage,

Cordialement,

Hibou

Edit : tu te rendras alors compte que la réponse est triviale, tu peux même utiliser un argument physique simple pour éviter de faire tout ces calculs.