Contenu Fréquentiel d'un choc Demi Sinus

[Torseur06]

Bonjour,

Je m'intéresse au domaine des vibrations et plus particulièrement aux chocs.
Mais ma question est plus d'ordre "Traitement du signal" que mécanique.
Je souhaite modéliser un choc que l'on ferait avec un marteau de choc sur une structure métallique d'un point de vue fréquentielle.

Il me semble que pour modéliser ce choc, un choc demi sinus serait cohérent avec une fréquence plus ou moins grande suivant le type d'embout utilisé "dur ou mou".
D'un point de vue temporel la modélisation de ce choc est réglé.
En revanche d'un point de vue fréquentiel j'aimerais connaitre le contenu fréquentiel de ce choc en fonction de la fréquence du choc demi sinus injecté.
J'imagine qu'il faut faire une transformée de fourier du signal pour arriver à son contenu fréquentiel mais je crois savoir que ça marche que pour des fonctions périodiques OR dans mon cas c'est juste un demi sinus avec un signal nul après le choc.

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer sur le contenu fréquentiel de ce signal ?

Merci de votre aide...
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[invite82fffb5c]

Pour les signaux non périodique tu as développement en intégrale de Fourier.
Bref, non périodique c'est pas un problème...

Un demi sinus dans le domaine temporel c'est un sinus multiplier par une fonction porte.
Le spectre sera donc la convolution des Diracs du sinus avec la fonction sinus cardinale (TFF de la porte).

De tête et en gros, ça doit ressembler a une bosse (en forme demi sinus (en gros)) centrée sur la fréquence du sinus, de largeur la fréquence du sinus aussi.
Une bosse qui va de 0 a 2 f si tu préfères. (une autre qui va de 0 a -2f en négative aussi mais bref...)

Si tu parviens pas a faire le calcul exacte repasse par ici, mais c'est vraiment pas compliquée.

Courage

[Torseur06]

Merci de ta réponse Youry.

Je m'excuse d'avance je n'ai pas trouvé le moyen de rentrer les formules proporement dans l'éditeur des réponses.
Alors si je comprends bien si on passe par la transformée de Fourier intégrale du signal on a :
S = Intégrale de 0 à T/2 ( E*sin(w0*t)*exp(-jwt) dt)
avec T/2 la demi période du choc demi sinus et E son amplitude.

Si je pars bien (à confirmer) ça devrait faire :
S = Intégrale de 0 à T/2 ( E*sin(w0*t)*(cos(wt)-sin(wt))dt)

Par les relations trigo classiques il vient...
S = E* [ Intégrale de 0 à T/2 (sin((w0+w)*t) + sin((w0-w)*t) + jcos((w0+w)t) - jcos((w0-w)t))dt]

On intégre sur 0 à T/2
S = E* [(-1/(w0+w))*(cos((w0+w)*T/2) -(1/(w0-w))*cos((w0-w)*T/2) + j*(1/(w0+w))*sin((w0+w)T/2) - j*(1/(w0-w))*sin((w0-w)T/2))
- (-1/(w0+w)-1/(w0-w))].

Là je vous avoue que je coince un peu. Ce qui nous intéresse c'est bien le module du signal ?
Parce qu'il nous reste de la partie imaginaire.
Cela parait un peu "casse-cou" de calculer le module de cette expression, je pense m'être trompé parce que vous aviez l'air de dire que c'était simple.

Pouvez vous m'éclairer de mes erreurs ?

Merci de votre aide...

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Le contenu spectral ne changera pas si vous changez l'origine des temps. Donc, changez l'origine au sommet de la sinusoïde ce qui vous donnera un cosinus entre -pi/2 et +pi/2.
L'avantage est que votre fonction est maintenant paire et ne contient que des cosinus (vous pouvez penser à un développement en série de Fourier). Cela veut dire aussi que le développement en série et la transformée n'auront que des termes réels.
Ça ne change rien sur le fond, mais ça peut simplifier les calculs.

Je suis d'accord avec les explications de Youri. Mais on n'obtient un sinus cardinal que si la fonction est "carrée". Ici sera quelque chose d'autre, probablement moins étendue que le sinus cardinal, car la fonction est plus "douce".
Au revoir

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite82fffb5c]

Par les relations trigo classiques il vient...
S = E* [ Intégrale de 0 à T/2 (sin((w0+w)*t) + sin((w0-w)*t) + jcos((w0+w)t) - jcos((w0-w)t))dt]

Jusque la ca me parait juste, j'imagine que vous ne vous serez pas tromper sur l'integrale...

Apres je ne suis pas choquer que des valeurs complexe apparaissent, d'autant plus que votre choc n'est pas centree en zero.

Si vous voulez retirer la phase, vous pouvez decalez votre choc en -T/4 a T/4 et alors les partie imaginaires devrais disparaitre... (un bon moyen pour verifier votre calcul par ailleurs).

Le module que vous avez peur de calculer represente la densite spectrale de puissance (si je me trompe pas sur le terme), on appelle ca souvent le spectre du choc...
La phase represente la phase en t=0 de chaque composante frequentielle. Par exemple, que le choc est lieu en 0 a t=1 min ou a t=10 min, le contenu frequentielle est identique, c'est justement la phase a l'origine qui vous permet de prendre en compte le decalage temporel du pulse.

Bref, je ne sais pas de quoi vous avez vraiment besoin, mais votre resultat est certainement juste...

[invite82fffb5c]

J'ai écris :

Le module que vous avez peur de calculer représente la densité spectrale de puissance (si je me trompe pas sur le terme), on appelle ca souvent le spectre du choc...

Permettez moi de me corriger, le module de la fonction calculée est le spectre d'amplitude... Si on l’élève au carre on obtient quelque chose proportionnelle a la densité spectrale d’énergie si je ne dis pas de bêtises...
Bref,

[invite6dffde4c]

Re.
Oui. On avait corrigé. Je n'ai pas cru nécessaire de le signaler.
A+

[invite82fffb5c]

C'est en faisant couler le café je me suis rendu compte de ma bêtise...
Je me suis dis que LPFR ne m'avait pas rater...

Mais finalement, votre indulgence m'aura permis de ne pas passer pour un idiot encore une fois... (en même temps je suis plus a une près).

J'utilise tellement le 20*log(SpectreAmplitude) que je finis par confondre un peu tout ça quand je m'exprime a la vas vite.

[invitef17c7c8d]

Pour les chocs on n'utilise pas la transformée de fourier, mais plutôt la SRS : Shoc Response spectrum. Pourquoi?
Avec Fourier, à chaque fréquence, on associe naturellement une onde sinus.
Pour un choc, on ne peut plus le faire.
Donc l'idée est de prendre un oscillateur de fréquence f0 et de lui appliquer une force correspondant au choc. On regarde alors commnt répond l'osillateur. Et l'on recommence le procédé pour des oscillateurs de fréquences différentes.

A partir de là, on peut dire quelles fréquences, le choc est suceptible d'exciter.

[Torseur06]

Choc_Demi_Sinus_Freq.JPGChoc_Demi_Sinus_Temp.JPG

Bonjour à tous et merci de vos réponses.

Donc pour commencer je vais vous exposer ce que j'ai réussi à développer grâce aux conseils de Youri et LPFR par la méthode de notre ami Fourier.

D'après vos dires j'ai cru comprendre que le spectre fréquentiel était invariant du temps 't' du choc. Donc pour modéliser mon choc demi sinus je vais modéliser un cosinus entre -T/4 et T/4.

S = E* [ Intégrale de -T/4 à T/4 (cos(w0t)*(cos(w*t)-jsin(w*t))]
S = E/2* [ Intégrale de -T/4 à T/4 (cos((w0+w)*t) + cos((w0-w)*t) + jsin((w0+w)t) - jsin((w0-w)t))dt]
On intégre entre -T/4 et T/4

S= E/2*[(1/(w0+w))*(sin((w0+w)*T/4) +(1/(w0-w))*sin((w0-w)*T/4) - j*(1/(w0+w))*cos((w0+w)T/4) + j*(1/(w0-w))*cos((w0-w)T/4))
- ( -(1/(w0+w))*(sin((w0+w)*T/4) -(1/(w0-w))*sin((w0-w)*T/4) - j*(1/(w0+w))*cos((w0+w)T/4) + j*(1/(w0-w))*cos((w0-w)T/4))

On arrive après simplifications à :

S= E*[((1/(w0+w))*(sin((w0+w)*T/4) + ((1/(w0-w))*sin((w0-w)T/4)]

Soit grâce au sinus cardinal :

S=E*T/4[ SinusCardinal ((w0+w)*T/4) + SinusCardinal ((w0-w)*T/4) ]

Donc j'en déduis par ces équation que l'on a 2 lobes principaux.
Le 1er terme correspond à 1 lobe centré en -fo.
Le 2éme terme correspond à 1 lobe centré en +fo.

Alors je sais pas ce que veut dire le 1er terme physiquement (fréquence négative ?) mais bon si on s'intéresse au 2éme terme mon choc est centré en +fo.
Pour l'étendu fréquentiel on transforme w = 2*Pi*f et on a à l'intérieur du SinusCardinal :
[ (w0-w)*T/4) ] => Pi*(f0-f)*T/2 = 0 Si et Seulement Si f=f0+2/T ou f=f0-2/T (pour le 1er lobe).
Donc l'étendu fréquentiel du choc centré en f0 et 4/T.

J'ai joint 2 petites images pour mettre des figures à mes équations.
Pouvez vous me dire si ça à l'air cohérent avec la physique du problème ?

Sinon lionelod peux tu m'en dire + d'un point de vue équationel sur la méthode SRS pour que je puisse me pencher dessus ?

Merci beaucoup...

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Je ne suis pas sur que votre résultat soit correct.
Comme je fais trop d'erreurs dans me simplifications, je préfère demander à wolframalpha de faire l'intégrale à ma place.
Aussi pour la partie imaginaire qui est bien zéro, comme prévu.
Au revoir.

[Torseur06]

Merci de votre réponse LPFR.

Je ne connaissais pas cet outil pour calculer les intégrales mais je le trouve très pratique.
Par contre j'ai bien l'impression qu'il confirme que mon résultat est juste.
Pour 'a = w0' et 'b = w' et avec la période T= 2Pi soit les bornes de l'intégrales de -Pi/2 à Pi/2.
L'intégrale calculée donne d'après le calculateur :
http://www.wolframalpha.com/input/?i...o+pi%2F%282%29

Si on développe chaque terme en laissant de coté le dénominateur :

Z1 = 2*a*sin(Pi*a/2)*cos(Pi*b/2) = a*sin((Pi/2)*(a+b)) + a*sin((Pi/2)*(a-b))
Z2 = 2*b*cos(Pi*a/2)*sin(Pi*b/2) = b*sin((Pi/2)*(a+b)) - b*sin((Pi/2)*(a-b))

Z1 + Z2 = (a-b)*sin((Pi/2)*(a+b)) + (a+b)*sin((Pi/2)*(a-b))

En rajoutant le dénominateur il vient :
Scalculateur = (1/(a+b))*(sin((Pi/2)*(a+b)) + (1/(a-b))*sin((Pi/2)*(a-b))

Et si on remplace les valeurs de a=w0 ; b=w ; T=2*Pi On revient à la valeur de S que j'avais trouvé avant de passer au SinusCardinal :
S= E*[((1/(w0+w))*(sin((w0+w)*T/4) + ((1/(w0-w))*sin((w0-w)T/4)]

Il me semble que mon calcul est correct qu'en pensez vous ?

[invite6dffde4c]

Re.
Je pense que les limites de l'intégrale sont fausses. Il faut intégrer entre ax = -pi/2 et +pi/2. Donc, entre x = -pi/(2a) et +pi/(2a).
A+

[Torseur06]

LPFR Je ne comprends pas pourquoi les bornes ne sont pas bonnes.
Peux-tu développer ?

[phuphus]

Bonsoir,

Il me semble que pour modéliser ce choc, un choc demi sinus serait cohérent avec une fréquence plus ou moins grande suivant le type d'embout utilisé "dur ou mou".

Toutes mes excuses à l'avance pour tous les développement mathématiques qui ont été faits par les différentes intervenants, mais j'ai rarement vu un choc, notamment issu d'un marteau de choc, modélisé par un demi-sinus. Un exemple ici, en bas de page 41 :

http://www.irccyn.ec-nantes.fr/~noel...aphique_np.pdf

[invite6dffde4c]

LPFR Je ne comprends pas pourquoi les bornes ne sont pas bonnes.
Peux-tu développer ?

Bonjour.
Vous représentez votre signal comme entre wo.t = -pi/2 et wo.t = pi/2.
Donc, le valeurs de 't' pour ces bornes sont -pi/(2wo) et +pi/(2wo).
Dans la page de wolframalpha vous avez écrit cos(a.t), intégré suivant 't' et mis comme bornes pour 't' +/- pi/2.
Au revoir.

[Torseur06]

Merci de votre réponse LPFR et désolé de ne répondre que maintenant j'ai du m'absenter quelques semaines pour raison médicale.

J'ai compri mon erreur sur les bornes de l'intégrale merci de me l'avoir signalé.

Pouvez vous m'expliquer comment interpréter le résultat de cette intégrale d'un point de vue contenu fréquentiel du choc?
http://www.wolframalpha.com/input/?i...pi%2F%282*a%29

Merci de votre aide...

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Des qu'un signal diffère d'une sinusoïde, il contient d'autres fréquences.
Ce contenu dépend de la forme du signal. Pour avoir des fronts raides ou des cassures de pende, il faut des fréquences élevées.
Une impulsion courte et raide (un delta de Dirac) contient toutes les fréquences. Une impulsion plus large mais raide les contient aussi, mais avez de zéros à certaines fréquences.
Votre forme de signal est nettement plus arrondie, à l'exception du départ et de l'arrivée qui sont discontinus. Donc, le spectre est moins riche en hautes fréquences qu'une impulsion "carrée" mais contient des fréquences élevées à cause de la cassure.

Dans la réalité, cette cassure est impossible. Elle correspond à passer d'une vitesse nulle à une vitesse non nulle instantanément. Ce qui demanderait une accélération et une force infinie.
Au revoir.

[Torseur06]

Merci de votre réponse LPFR.

Je comprends pas pourquoi vous dites que mon signal différe d'une sinusoide, le résultat est de la forme d'un cosinus.
De plus j'ai du mal à comprendre que mon signal est discontinue (au sens mathématique du terme) au départ et à l'arrivée, a aucun moment mon signal ne subit de cassure c'est un choc arrondie qui reste nul après le demi sinus.

Pour le reste de votre réponse, j'ai besoin d'un peu de temps et de gribouiller des dessins pour être sur de bien comprendre ce que vous me dites.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Un morceau d'orteil n'est pas un homme. Un morceau de sinusoïde n'est pas une sinusoïde.
Une sinusoïde commence au temps -infini, (bien avant le Big-Bang) et finira bien après la mort thermique de l'Univers, au temps +infini.
Vous n'avez qu'un morceau de sinusoïde.
Regardez votre signal avant le départ du morceau de la sinusoïde: il vaut et il a valu zéro depuis de la nuit des temps. Et à zéro sa pente devient non nulle. Ça s'appelle une discontinuité. Même chose à l'autre extrémité du morceau de sinusoïde.
Au revoir.