Résolution générale du théorème du moment cinétique

[invite6578ea8c]

Bonjour,

Un problème me tracasse depuis quelques temps déjà: je cherche à résoudre de façon générale le théorème du moment cinétique appliqué au centre d'inertie d'un solide.
Voici l'équation en question:
avec:
- R le repère lié au solide
- J l'opérateur d'inertie du solide, diagonalisé et constant dans R
- le vecteur rotation du solide exprimé dans R
- le moment résultant des forces en G

Mon problème est donc de trouver connaissant J, et les conditions initiales: et .
Pour simplifier, je remplace par , ce qui me permet d'aboutir à un système de 3 équations à 3 inconnues du type:

Le problème, c'est qu'il n'est pas linéaire et qu'il y admet plusieurs solutions...

Qu'est-ce que cela signifie physiquement? Le mouvement d'un solide est pourtant déterministe non? Si on lui applique une force en un point, il devrait bouger d'une manière donnée...
Comment puis-je résoudre ces équations dans le cadre d'une simulation numérique? Il me faudrait un encadrement pour chaque composante du vecteur rotation, mais je ne sais pas quelles conditions imposer, ni quelle solution choisir!

Merci d'avance pour votre aide!
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[invite8915d466]

Je ne comprends pas bien, si tu veux discrétiser ta dérivée , il faut plutot que tu l'approches par , dans cas ca devient déterministe en te donnant en fonction de (mais il n'y a pas de solution générale analytique, quoiqu'Euler a trouvé des contraintes générales sur le mouvement).

[invite6578ea8c]

Il me semble que ce que je fais reviens au même. Je pense voir d'où viens la confusion. J'aurais du préciser: , avec correspondant au début d'une boucle du programme que je cherche à réaliser. En fait, à chaque itération j'ai , dont je déduis , et ce dernier devient à l'itération suivante.

Mon problème reste que je ne sais pas trouver ...
Quelles contraintes du mouvement Euler a-t-il trouvées? Est-ce une méthode permettant de résoudre mon problème?

[invite8915d466]

ton approximation n'est pas valable parce que t-t0 n'est pas un intervalle petit. Cela revient a assimiler la vitesse instantanée a la vitesse moyenne. Tu ne peux pas utiliser la moyenne de la vitesse sur un grand intervalle de temps pour la réinjecter dans l'equation différentielle, c'est pour ça que ça donne des résultats bizarres.

Cordialement

Gilles

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6578ea8c]

Mon t-t0 correspond au temps d'execution d'une boucle du programme. Je n'ai pas encore réalisé ce programme, mais il devrait exécuter environ 25 boucles par seconde, ce qui donne . Il s'agit bien sûr d'une approximation, mais compte tenu de l'échelle de temps de l'étude (au moins 30 secondes, ce qui revient à découper le mouvement en 750 étapes), le résultat devrait être correct. Et puis si cela ne suffit pas, il suffit de réduire encore jusqu'à obtenir quelque chose de correct, non?

[invite8915d466]

D'accord, mais si tu réinitialise à t0 a chaque boucle, alors prend dans ton équation au lieu de , la ça devient déterministe (d'ailleurs pourquoi dis tu que ton système a plusieurs solutions?)

[invite6578ea8c]

Je ne comprends pas pourquoi je devrais prendre , ce que je cherche c'est l'évolution de , c'est à dire connaissant . Donc j'utilise évidemment dans mes équations.
J'ai fait un test simple avec quelques valeurs évidentes, et la calculatrice m'a donné plusieurs solutions. Mais je pense que je peux me limiter à choisir la solution la plus proche de .

Sinon mon problème doit bien avoir des solutions non? Ne s'agit-il pas d'un problème évidemment rencontré quand on cherche à simuler le mouvement d'un solide? Je n'ai toujours pas trouvé sur Internet de solutions, cela me paraît bizarre!