géometrie : tétraédre trirectangle regulier

[soldius87]

bonjour a tous.
voila je dois résoudre le problème suivant :
j'ai un tétraèdre trirectangle dans l'espace ,je connais les coordonnée de 3 sommet dans un repère indépendant du tétraèdre.
je voudrai retrouver les coordonnée du 4 eme sommet (le sommet formée par les 3 angle droit). mais je c'est pas comment faire.
merci a vous de m'aidai, c'est très urgent.
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[mach3]

il y a une section mathématique dans le forum, peut-être y recevras-tu plus de réponses...

m@ch3

[LPFR]

Bonjour.
De n'importe quelle façon que vous tourniez le problème, c'est toujours l'intersection de trois sphères.
Au revoir.

[LPFR]

Re.
Dans ce site:
http://mathforum.org/library/drmath/view/63138.html

J'ai trouvé:
You can subtract equation 1 from eq 2, finding a linear relation in
x,y, and z. Do the same for eq 1 and eq 3. Solve the linear system of
two equations for x and y in terms of z. Substitute these results in
any of the equations of the spheres. This will give an equation in
terms of z alone. It will be quadratic. Solve it for z. Generate the
corresponding x and y by going back to the linear system.

For x1 = y1 = z1 = 0; r1 = 3; x2 = 1; y2 = 1; z2 = 1; r2 = 2;
x3 = -1; y3 = 1; z3 = 2; r3 = 2

I found the linear system to be

-8 + 2 x + 2 y + 2 z = 0

-11 - 2 x + 2 y + 4 z = 0

and solving this for x and y,

x = (1/4)*(-3 + 2*z), y = (1/4)*(19 - 6*z)

Substituting into the first sphere equation, I found

z = (1/14)*(30 - Sqrt[109]), z = (1/14)*(30 + Sqrt[109])

- Doctor Jerry, The Math Forum
http://mathforum.org/dr.math/

A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Re.
Et dans ce site:
http://www.mathworks.com/matlabcentr..._thread/239659
on trouve:
Let p1, p2, and p3 be three-element vectors giving the x,y,z coordinates of the spheres' three centers, and r1, r2, and r3 their respective radii. Then do this:

p21 = p2-p1;
p31 = p3-p1;
c = cross(p21,p31);
c2 = sum(c.^2);
u1 = cross(((sum(p21.^2)+r1^2-r2^2)*p31 - ...
(sum(p31.^2)+r1^2-r3^2)*p21)/2,c)/c2;
v = sqrt(r1^2-sum(u1.^2))*c/sqrt(c2);
i1 = p1+u1+v;
i2 = p1+u1-v;

The i1 and i2 will be vectors for the two points of intersection. If there is any possibility of having radii such that no solution is possible (which can happen very easily) you should test that the first square root used in the calculation of v is real. An impossible problem will make it imaginary.

A+

[Amanuensis]

Par symétrie le point est assez facile à trouver :

- les trois points définissent un plan ;
- le point recherché se trouve sur la droite perpendiculaire au plan et passant par le barycentre des trois points ;
- la distance du point recherché au plan est rac(1/6) [sf erreur] fois la distance entre deux des trois points donnés.

Avec cette recette un calcul assez simple donne les coordonnées du 4ème point en fonction des coordonnées des trois, avec juste des calculs au 1er degré. (Le seul calcul au second degré est celui permettant de trouver rac(1/6), et se fait indépendamment des coordonnées des trois points.)

[mach3]

Par symétrie le point est assez facile à trouver :

- les trois points définissent un plan ;
- le point recherché se trouve sur la droite perpendiculaire au plan et passant par le barycentre des trois points ;

j'intuite plutot que cette droite est sur l'orthocentre du triangle, pas son barycentre. Le point est aux intersections (il y en a 2) des 3 sphères qui ont pour diamètres les 3 cotés du triangle. Vu dans le plan du triangle (appelons le ABC), de ces 3 sphères résultent 3 cercles. En regardant par exemple le cercle de diamètre BC, il coupe AB et AC en des points particuliers, H et K : en effet les triangles HBC et KBC sont inscrits dans le demi-cercle de diamètre BC, ils sont donc rectangles et H et K sont les points d'intersection des cotés AB et AC avec les hauteurs issues de C et B.
Les 3 plans qui contiennent les 3 intersections des 3 sphères 2 à 2 ont donc pour intersection avec le plan du triangle ABC les hauteurs du triangle ABC, qui se croisent à l'orthocentre du triangle...

m@ch3

[Amanuensis]

j'intuite plutot que cette droite est sur l'orthocentre du triangle, pas son barycentre.

Je me suis trompé sur la lecture de l'énoncé. Mon message est à oublier.