Géométrie dans l'espace - tétraèdre orthocentrique

[invitea7fcfc37]

Bonjour à tous,

J'ai un problème sur les tétraèdres orthocentriques, et on me demande diverses caractérisations d'un tétraèdre orthocentrique (c'est à dire qui a ses hauteurs concourantes).

On a démontré que :

Un tétraèdre est orthocentrique ssi il existe un couple d'arêtes iooisées formées de droites orthogonales.

Un tétraèdre est orthocentrique ssi la somme des carrés des longueurs de deux arêtes opposées est constante.

Un tétraèdre est orthocentrique ssi le projeté orthogonal d'au moins un sommet sur la face qui lui est opposée est l'orthocentre du triangle correspondant (à fortiori, les deux autres projetés le sont).

Et là on me demande :

Montrer qu'un tétraèdre est orthocentrique ssi les bimédianes sont de longueurs égales.

On rappelle qu'une bimédiane est un segment joignant les milieux de deux arêtes opposées.

Voilà si vous avez des idées n'hésitez pas je cherche de mon côté.

Merci,

A+
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[invite35452583]

Bonsoir,
joli problème
1) propriété des bimédianes
on va poser I,J,K, L, M, et N les milieux des côtés AB,AC,AD, CD,BD,BC.
Les bimédianes se coupent en leur milieu, propriété d'associativité des barycentres, par exemple I est le barycentre de A(1)B(1) L celui de C(1)D(1) donc le milieu de IL est le barycentre G de A(1)B(1)C(1)D(1) et donc le même (même argument) que celui de Jm et celui de KN.
Ca c'est la partie que je connaissais par avance.
2) Caractérisons l'égalité de longueurs entre les bimédianes
avec ce qui précède I,J, K, L, M et N sont cosphériques de centre G.
O le projeté de G sur IJK est le centre du cercle circonscrit à ce triangle (la coupe de la sphère par un plan est un cercle de centre le projeté du centre de la sphère sur ce plan)
Inversement si le projeté de G est le centre du cercle circonscrit à IJK alors I,J,K sont sur une même sphère de centre G et il en est de même de L,M et N.
3) Caractérisons le tétraèdre est orthocentrique
IJK est un triangle homothétique de BCD (homothétie de centre A). H le projeté de A sur IJK est l'orthocentre de ce triangle si et seulement si le projeté de A est l'orthocentre de BCD. Vu la dernière caractérisation donnée pour les téraèdres orthocentriques, il y a équivalence entre le tétraèdre est orthocentrique et le projeté de A sur IJK est l'orthocentre de IJK.
4) A,H, g,O et G sont coplanaires (g est le barycentre de IJK). En effet, les droites (GO) et (AH) sont parallèles car toutes deux perpendiculaires à IJK, d'une part, d'autre part g est le barycentre de IJK donc le barycentre de (A(3),B(1),C(1)D(1)) donc alignés avec l'isobarycentre de A,B,C,D et A.
Des égalités vectorielles (tu mettras les flèches ) 3gA+gB+gC+gD=0 et GA+GB+GC+GD=0, on a même GA=3Gg gA=2Gg.
Le parallèlisme de (gA) et de (GO) permet alors d'en déduire que

Et il n'y a plus qu'à conclure avec la propriété de la droite d'Euler.

Arriver à condenser en indices pas trouvé par contre

Cordialement

[invitea7fcfc37]

Salut homotopie et merci pour ta solution :]

Pour ceux que ça intéresse, il y avait une autre méthode avec le théorème de la médiane,

A+