Energie electrostatique : un raisonnement que je ne comprends pas

[erff]

Bonjour à tous !

Je manipule depuis un certain temps les équations de Maxwell dans tous les sens, et j'ai traité pas mal de pb d'électromag au cours de mes études... Mais j'ai un pb qui me taraude l'esprit depuis assez longtemps auquel je n'ai jamais trouvé de solution :

- On peut calculer l'énergie potentielle d'un système de charges en faisant l'expérience imaginaire suivante : on place une première charge à la position x1 (ce qui nous coûte rien en terme d'énergie), puis on amène la 2e charge depuis l'infini vers la position x2 qui sera soumise au champ électrique de la 1ère charge donc on devra fournir un travail W = 1/(4*pi*epsilon)*q2*q1/|x1-x2|, puis on amène la 3e charge en x3 qui sera soumise au champ élec des 2 premières charges etc...
Bref, en sommant tous les travaux nécessaires à la constitution de notre système, on montre que (c'est dans les livres)

...que l'on écrit souvent avec des doublons : pour s'affranchri des restrictions sur l'indice j.

Le passage aux distribution de charges continues se fait sans douleur :

On reconnait l'expression d'un produit charge*potentiel électrostatique, puis en remplaçant le rho restant par -epsilon*delta(V) (équation de Poisson) on aboutit à la célèbre formule :

(on intègre sur tout l'espace)

...Sauf que là l'énergie ne peut plus être négative, alors qu'initialement avec le système de charge, l'énergie pouvait être négative (prendre 2 charges avec q1=-q2 par exemple)...
On me dit que c'est parce qu'on tient compte des "self-énergies".... alors que le point de départ du calcul n'en tenait pas compte justement : pourquoi d'un coup il faudrait en tenir compte alors que ce n'est pas dans l'hypothèse de calcul initial ?... j'aimerais bien comprendre cette subtilité.

Et puis même quel est le sens physique de cette "self énergie" ? Car si je prends une unique charge q, elle contient une self énergie (vu que son E n'est pas nul), pourtant ça ne me coûte aucun travail que de la balalder dans le vide (dépourvu de charges)... quel est donc l'intérêt ???

Merci à vous !
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[phys4]

Bref, en sommant tous les travaux nécessaires à la constitution de notre système, on montre que (c'est dans les livres)

...que l'on écrit souvent avec des doublons : pour s'affranchri des restrictions sur l'indice j.

Bonjour,
Les deux équations écrites ci-dessus ne sont pas égales, car la seconde contient des termes i = j qui n'existent pas dans la première, ce sont justement les termes donnant l'énergie du champ propre. Cette énergie impose une taille minimale aux charges, sinon l'énergie serait infinie.
En fait le passage aux charges continues ne se fait pas sans douleur aussi facilement si l'on garde uniquement les termes d'énergie relative.

...Sauf que là l'énergie ne peut plus être négative, alors qu'initialement avec le système de charge, l'énergie pouvait être négative (prendre 2 charges avec q1=-q2 par exemple)...
On me dit que c'est parce qu'on tient compte des "self-énergies".... alors que le point de départ du calcul n'en tenait pas compte justement : pourquoi d'un coup il faudrait en tenir compte alors que ce n'est pas dans l'hypothèse de calcul initial ?... j'aimerais bien comprendre cette subtilité.

Et puis même quel est le sens physique de cette "self énergie" ? Car si je prends une unique charge q, elle contient une self énergie (vu que son E n'est pas nul), pourtant ça ne me coûte aucun travail que de la balalder dans le vide (dépourvu de charges)... quel est donc l'intérêt ???

Merci à vous !

Les termes d'énergie propre sont toujours égaux ou supérieurs aux termes d'énergie réciproque, donc le total est toujours positif ou nul.

[erff]

Re

Pardon j'ai oublié de mettre i <> j dans les indices de sommation (sinon on aurait des divisions par 0 en effet ).
Du coup, il faut enlever les points singuliers dans l'intégrale aussi
Mouais bon, on sent bien que c'est bizarre cette histoire de vouloir intégrer lorsque 2 charges élémentaires sont arbitrairement proches...
Donc ça serait le passage du discret vers continu qui serait foireux ?


J'ai bien saisi la raison pr laquelle les énergie étaient positives, mais je ne vois pas très bien pourquoi en suivant le même raisonnement, on voit soudainement notre expression devenir non négative...alors qu'elle pouvait l'être à la base.

Et merci

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Vous êtes en train de comparer deux choses distinctes:
- l'énergie de l'espace due à l'existence d'un champ électrique.
- l'énergie pour créer une distribution de charges en les ramenant de l'infini, avec la convention (non dite) que l'énergie est nulle quand les charges sont à l'infini.

Dans le premier cas vous intégrez sur l'espace la densité d'énergie due au champ . Il es évident que cette énergie est toujours zéro ou positive.

Dans le second cas, vous fixez l'énergie potentielle à zéro quand les charges sont à l'infini puis calculez le travail pour les ramener à la configuration finale. Ce travail peut être positive ou négatif (ou nul, évidement).
L'erreur de fond vient de l'utilisation de la formule .
Cette formule n'est valable que si ont peut fixer le potentiel est nul à l'infini. Ce qui n'est pas toujours le cas. Par exemple, s'il y a des charges à l'infini (fil chargé infini, plan infini chargé, etc.).

Et l'erreur de fond est qu'on ne sait définir, calculer et mesurer que des différences de potentiel. Pas des potentiels tout court.
Donc, quand on dit "le" potentiel, c'est au moins un abus de langage. On a oublié de préciser "par rapport à tel endroit".

À part ça, évitez d'employer des abréviations ou des SMS. C'est impoli. Vos lecteurs méritent que vous fassiez l'effort d'écrire tous les mots en toutes lettres.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93279690]

Re

Pardon j'ai oublié de mettre i <> j dans les indices de sommation (sinon on aurait des divisions par 0 en effet ).
Du coup, il faut enlever les points singuliers dans l'intégrale aussi
Mouais bon, on sent bien que c'est bizarre cette histoire de vouloir intégrer lorsque 2 charges élémentaires sont arbitrairement proches...
Donc ça serait le passage du discret vers continu qui serait foireux ?


J'ai bien saisi la raison pr laquelle les énergie étaient positives, mais je ne vois pas très bien pourquoi en suivant le même raisonnement, on voit soudainement notre expression devenir non négative...alors qu'elle pouvait l'être à la base.

Et merci

Salut,

Tu as raison dans l'absolu l'intégrale définie positive ne peut pas être égale à une intégrale qui peut a priori avoir n'importe quel signe. Comme tu l'as dit la difference est la self energie de la distribution de charge. Maintenant une énergie potentielle jusqu'à preuve du contraire peut avoir une origine où l'on veut et donc ces deux écritures pour l'énergie electrostatique sont équivalentes (à une constante près) i.e. au sens de la physique.

Remarque également qu'il faut utiliser le théorème de Green pour trouver la dernière expression définie positive et que des termes de bords peuvent a priori apparaitre en fonction du problème considéré.

[erff]

Remarque également qu'il faut utiliser le théorème de Green pour trouver la dernière expression définie positive et que des termes de bords peuvent a priori apparaitre en fonction du problème considéré.

Je crois que j'ai compris grâce à vos remarques : je fais les frais de ma mauvaise maîtrise des formules d'analyse vectorielle. Il semble que mon bouquin a tout bonnement postulé que V*delta(V) = (grad V)^2 en ignorant la contribution du terme div(V*grad(V))... L'erreur se trouverait donc dans l'étape consistant à passer de :

à

et non dans le passage du discret vers le continu, comme je le croyais initialement ?
Du coup, pourrait-on conclure que ce terme integrale( div(V*grad(V)) ) vaut l'opposé de la somme des self-energies du système (à *epsilon_0 près) ?

Grand merci en tous cas !

[invite93279690]

Je crois que j'ai compris grâce à vos remarques : je fais les frais de ma mauvaise maîtrise des formules d'analyse vectorielle. Il semble que mon bouquin a tout bonnement postulé que V*delta(V) = (grad V)^2 en ignorant la contribution du terme div(V*grad(V))... L'erreur se trouverait donc dans l'étape consistant à passer de :

à

et non dans le passage du discret vers le continu, comme je le croyais initialement ?
Du coup, pourrait-on conclure que ce terme integrale( div(V*grad(V)) ) vaut l'opposé de la somme des self-energies du système (à *epsilon_0 près) ?

Grand merci en tous cas !

Peut être qu'on peut le reformuler comme cela en effet. Voici ce que j'en pense :
En fait quand on fait le passage au continu en faisant intervenir les densités de charge il peut déjà y avoir un problème si on y va brute de décofrage. Mais en principe, il n'y a pas de problème si on fait les choses correctement en utilisant la valeur principale de Cauchy associée à la fonction 1/r dans la double intégrale.

Le problème continue lorsqu'on remplace une des intégrales par le potentiel généré par la distribution de charge. Là les divergences ne sont plus claires et il est difficile de définir correctement la valeur principale (i.e. non divergente à cause de l'évitement de pôles).

Admettons que malgré tout, il soit possible d'y parvenir, l'application du théorème de Green-Ostrogradski n'est pas claire en générale dans ce contexte étant donné qu'il faut faire attention au domaine d'intégration. On peut éventuellement imaginer une partition spécifique de l'espace de laquelle certaines parties sont interdites, à ce moment là des termes de bords au voisinage des pôles doivent apparaitre et devraient contrebalancer les divergences dues aux charges ponctuelles.

En pratique cela dit, les deux résultats sont équivalents d'un point de vue physique à une constante (infinie) près.

[albanxiii]

Bonjour,

Du coup, pourrait-on conclure que ce terme integrale( div(V*grad(V)) ) vaut l'opposé de la somme des self-energies du système (à *epsilon_0 près) ?

On peut écrire . Pour le potentiel et le champ créés par une charge ponctuelle on a et . Quand vous prenez l'intégrale sur une surface sphérique de rayon vous avez un terme en qui tend donc vers zéro lorsque le rayon de la sphère devient infini. C'est le raisonnement classique (typique) qui est fait dans les livres de prépa.

Bonne soirée.