Période améliorée d'un ressort

[invite2c5e8170]

Bonsoir à tous,

Je suis nouveau sur le Forum alors je vais essayer de bien expliquer mon problème sur lequel je bloque.

Dans un travail pratique de Physique pour mon cours, je dois démontrer que sur un système masse-ressort suspendu verticalement à un support, la période d'oscillation améliorée vaut:



où M est la masse de 100g, m_r la masse du ressort et k la constante de raideur de celui-ci.

La manipulation est décrite dans la figure ci-dessous:


J'ai trouvé un PDF expliquant un peu la démarche mais je ne comprends pas vraiment tout.
Voici le PDF: http://ressources.univ-lemans.fr/Acc...ca/ressort.pdf
Tout d'abord au deuxième point, j'ai du mal à démontrer que la masse du ressort doit être divisée par 2 (j'ai pu trouver une petite explication sur ce lien mais là encore c'est pas vraiment clair pour moi).

Ensuite, là où je ne comprends pas, c'est à partir de l'étude d'énergie cinétique à l'endroit où l'on découpe le ressort en tranches. Je n'ai pas suivi sur quel 'y' on doit mettre la dérivée. Et puis pour l'énergie potentielle de pesanteur, j'aimerais plus de précision.


Au final, c'est simplement pour savoir pourquoi l'on doit ajouter 1 tiers de la masse du ressort à la masse suspendue.
Est-ce possible de bénéficier d'un petit peu d'aide de votre part ?

Merci énormément et bonne soirée !
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[LPFR]

Bonjour et bienvenu au forum.
Les forces du ressort doivent accélérer (et freiner) la masse à l'extrémité et le ressort lui même. Donc, il y a moins de forces pour la masse que si le ressort avait une masse négligeable.
Pour calculer ça, on admet que la vitesse des différentes portions du ressort sont proportionnelles à leur position. Si l'extrémité du ressort se déplace à vitesse V, le milieu du ressort se déplace à vitesse 0,5V, la position à ¾ du point fixe se déplace à 0,75V. Donc, si la longueur du ressort est L un point situé à 'x' du point fixe, se déplace à une vitesse (x/L)V.
Si le ressort n'avait pas de masse, l'énergie cinétique serait ½MV² mais comme le ressort a une masse, l'énergie cinétique de l'ensemble sera ½(M + A.m)V², avec 'A' le coefficient à déterminer.
Pour cela il faut calculer l'énergie cinétique du ressort. On divise le ressort en petites longueurs 'dx', on calcule la masse 'dm" de ce petit bout, sa vitesse 'v' et on fait la somme de toutes ces énergie cinétiques (en intégrant).
Je vous laisse faire le calcul.
Au revoir.

[invite2c5e8170]

Bonjour et merci de votre réponse.

Imaginons que mon ressort ait une longueur L de 1m, une masse m0 de 80g et une vitesse V, je le découpe en 10 morceaux de 10 cm donc dx=10 cm, dm=m0*(dx/L)=(1/10)*m0=8 g et V'=(x/L)*V mais la vitesse V vaut (dx/dt) donc l'énergie cinétique d'un petit bout vaut:





Ensuite pour moi, la masse dm reste fixe donc on a:


Là je vois qu'il me reste un terme un peu spécial, donc je me demande si en faisant l'intégrale de 0 à L si je dois pas transformer la masse dm en:



Mais là encore je n'arrive pas à obtenir la masse m0.

Puis-je solliciter un peu de votre aide ?

Merci encore !

[LPFR]

Re.
Votre première équation est une hérésie. Au moyen âge on brûlait des gens pour moins que ça.
Vous ne pouvez pas avoir une valeur finie égale à un différentiel:
Votre équation:
NOOOOOOOOOOOOOOON!
est en réalité:

Et il ne vous reste qu'à intégrer sur 'x'.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2c5e8170]

Ah oui, merci de m'avoir rectifié assez vite. Je pense avoir trouvé:

















Cependant je ne sais pas comment intégrer sur la partie de gauche pour obtenir:



Merci pour votre aide !

[LPFR]

Re.
À gauche vous fautes la somme de tous le dEc sur toute la longueur du ressort. Cette intégrale est l'énergie cinétique que vous cherchez. Il n'y a pas de calcul à faire:

A+

[invite2c5e8170]

Merci beaucoup pour toutes ces bonnes explications LPFR.

Mon problème est donc résolu.

Bonne journée