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Élévation d'une masse le long d'un plan incliné



  1. #1
    Rieux37

    Élévation d'une masse le long d'un plan incliné


    ------

    Bonjour,

    Je travaille sur un long exercice de physique de L1, et je fais appel à vos lumières pour deux questions sur lesquelles je pense me tromper. L'énoncé est un peu long, j'espère ne pas vous décourager d'emblée !
    Le voici :

    On souhaite déplacer un objet M de masse m le long d’un plan incliné formant un angle alpha avec l’horizontale, de manière à ce qu’il atteigne une plateforme située à une distance L du bas de la pente. On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen, et on lui associe un repère orthonormé (O, vect(ux), vect(uz), vect(u)), tel que l’origine O coïncide avec le bas de la pente et le point de départ de l’objet, vect(ux) est un vecteur unitaire dans la direction horizontale, (vect uz) un vecteur unitaire dans la direction verticale, orienté vers le haut, et vect(u) est un vecteur unitaire dans la direction horizontale tel que vect(u) = vect(uz) ^ vect(uz). On définit également un axe Oy, de vecteur unitaire vect(uy) parallèle à la pente et orienté vers le haut. On note vect(g) l’accélération de la pesanteur, supposée constante dans R. À l’instant initial, on lance l’objet vers le haut avec une vitesse initiale vect(v0) = v0.vect(uy).
    Immédiatement après, une butée mobile, B, de masse M perpendiculaire à la pente, est mise en mouvement rectiligne et uniforme avec la vitesse vect(V) = V.vect(uy). On pose yB (t = 0) = 0.
    On suppose que chaque « rencontre » entre l’objet et la butée est l’équivalent d’un choc parfaitement élastique.
    On cherche à déterminer le nombre de chocs nécessaires pour que l’objet atteigne la plateforme.

    1 — L’objet M est assimilable à un objet ponctuel, l’objet glisse sans frottements sur la pente.
    a) Exprimer en fonction de v0, g et alpha l’abscisse y0 maximale atteinte le long de la pente avant que M ne retombe.
    b) Déterminer l’abscisse yB(t0) de la butée à l’instant t0 où M arrive en y0.
    c) Déterminer l’équation du mouvement lors de la descente de l’objet M le long de la pente.
    d) Déterminer ensuite l’abscisse yC1 du point de rencontre entre la butée et M.
    [...]

    2 — L’objet M est une boule pleine homogène de rayon R = 10 cm. L’objet roule sans glisser le long de la pente. On note G son centre de masse.
    a) Calculer le moment d’inertie I de la boule par rapport à un axe passant par son centre de gravité.
    b) Ecrire la condition de roulement sans glissement.

    3 — L’énergie communiquée à la boule M (sous forme d’énergie cinétique) lors de son départ du point O a la même valeur que celle de l’énergie communiquée dans le cas 1 de l’objet M ponctuel. (Le travail fourni par le lanceur est le même ; on supposera de plus qu’à l’instant initial yG = 0.)
    a) Exprimer en fonction de v0, g et alpha l’abscisse y'0 maximale atteinte par G le long de la pente avant que M ne retombe.
    b) Quelle est la vitesse initiale vG0 du centre de masse G de la boule lorsque la boule est lancée depuis O ? Comparer vG0 et v0.
    [...]


    Pour les questions du 1, je trouve :
    y0 = (v0^2)/(2gsin(alpha))
    yB(tO) = (Vv0)/(gsin(alpha))
    yC1 = [2V(v0 - V)/(gsin(alpha))]

    Le moment d'inertie de la question 2 a) :
    I = (2/5)mR^2

    Je bloque sur les questions 2 b) et 3 a).
    Pour la 2 b), j'ai appliqué le principe fondamental de la dynamique pour trouver :
    ma = Rt - mgsin(alpha)
    Puis le théorème du moment cinétique :
    I(dw/dt) = M(P) + M(Rn) + M(Rt) = Rt*R, soit :
    Rt = (2/5)ma
    D'où :
    mgsin(alpha) = (-3/5)ma, Rt = (-2/3)mgsin(alpha),
    Et enfin la condition de non glissement :
    Rt<= fRn <=> (-2/3)mgsin(alpha) <= fmgcos(alpha), avec f le coef de friction.
    Je pense qu'il y a des erreurs qui traînent...

    Pour la 3 a), en me basant sur la conservation de l'énergie mécanique de la boule, je trouve y'0 = y0, ce qui me paraît étrange...
    Voilà. J'espère que vous pourrez m'aider.

    -----

  2. #2
    LPFR

    Re : Élévation d'une masse le long d'un plan incliné

    Bonjour et bienvenu au forum.
    Pour la 2b: La boule roule sans glissement quand la vitesse tangentielle du point de contact avec le plan est zéro. Comme, par rapport au centre, la vitesse tangentielle est V = w.R, il faut que le centre se déplace à vitesse V = w.R par rapport au plan. Pensez à la roue d'un vélo qui roule.
    3a: Quand la boule sera arrivé à la hauteur maximale, sa vitesse sera zéro et sa vitesse angulaire sera aussi zéro. Donc, toute l'énergie cinétique aura été transformée en énergie potentielle. Donc, votre réponse est correcte.
    Au revoir.

  3. #3
    Rieux37

    Smile Re : Élévation d'une masse le long d'un plan incliné

    Merci beaucoup ! Je vais pouvoir continuer l'exercice.

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