Delta de dirac

[invite1c09b16e]

Salut
SVP quelqu'un peut me donner un probleme sur laquelle on utilise Delta de dirac.elle nous facilitons quoi?
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[invite7f8439b1]

Bonjour,
Je vais me faire lyncher mais pour grossièrement résumer la fonction de Dirac vaut l'infini en 0 et 0 ailleurs.
Son intégrale sur R vaut 1. Si tu multiplies une fonction par la fonction de Dirac tu obtiens la valeur de cette fonction en 0.
Elle est par exemple très utile en optique ondulatoire pour décrire des masques d'amplitudes.
Admettons que tu as un réseau composé de trous sur les intersections d'une grille de carrés de côté a.
Le masque d'amplitude est alors: .
La lumière passe (et est diffracté) quand le produit des deux deltas est non nul et elle ne passe pas sinon.
A noter que ces sommes sur les deltas sont des fonctions Shah (ou peigne de Dirac).

[Deedee81]

Salut,

Bienvenue sur Futura Sokarlou.

Je connais surtout son usage en mécanique quantique pour la normalisation de la fonction d'onde (soit dans une boite avec conditions aux limites périodiques, soit avec Delta de Dirac). C'est très pratique pour la normalisation et les calculs sont souvent assez simples.

[velosiraptor]

Elle est plus proche des phénomènes physiques "ponctuels" que ne le serait une fonction.
Par exemple, si on place une charge électrique +e en 0. Une fonction dirait : la charge est nulle partout sauf au point 0. Et son intégrale (Riemann ou Lebesgue) serait nulle d'ailleurs.
Ce qui n'a aucune réalité physique, puisqu'un détecteur de charge ne réagirait pas qu'en 0, mais sur une plage autour de 0 (selon la sensibilité du détecteur). La distribution de Dirac permet de modéliser de façon plus physique la mesure de la charge placée en 0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[pesdecoa]

La fonction de Dirac est paradoxale, dans le sens d'un paradoxe logique. En effet, elle contient à la fois le "gène" infini et le "gène" fini.
Et ces deux qualités confèrent à la fonction de Dirac des propriétés tout à fait remarquables!
La fonction de Dirac est aussi un outil technique très pratique pour faire de l'analyse de fourier.

[Amanuensis]

Ce n'est pas une fonction. Le plus propre est de la voir seulement comme un opérateur qu'on écrit sous forme d'intégration, qui est , autrement dit l'opérateur qui à une fonction f de R vers R et un réel x associe la valeur de f en x.

Vu comme cela, une application évidente est la formalisation de la notion d'échantillonnage, les cas où une fonction n'est connue que par ses valeurs sur un ensemble discret de points. Par exemple un peigne de Dirac correspond à un échantillonnage périodique.

[pesdecoa]

Ce n'est pas une fonction. Le plus propre est de la voir seulement comme un opérateur qu'on écrit sous forme d'intégration, qui est , autrement dit l'opérateur qui à une fonction f de R vers R et un réel x associe la valeur de f en x.

Vu comme cela, une application évidente est la formalisation de la notion d'échantillonnage, les cas où une fonction n'est connue que par ses valeurs sur un ensemble discret de points. Par exemple un peigne de Dirac correspond à un échantillonnage périodique.

Ce que vous dites est très bien formalisé, mais il est dommage de perdre "au passage" le sens de cette fonction, distribution ou opérateur. En se focalisant sur le sens des mots, l'aspect physique ou "mondain" (c'est à dire à ce qui rattache au monde) se perd.

D'autre part, votre propos sur l'échantillonage est vrai mais incomplet. Une fonction continue "profite" tout autant des propriétes de la "fonction" de Dirac.
Pour exemple, elle permet de retrouver facilement le théorème de Parseval qui traite du continu temporel et du continu spectral.

[Deedee81]

Ce que vous dites est très bien formalisé, mais il est dommage de perdre "au passage" le sens de cette fonction, distribution ou opérateur. En se focalisant sur le sens des mots, l'aspect physique ou "mondain" (c'est à dire à ce qui rattache au monde) se perd.

Ce n'est pas si grave. On peut être rigoureux tout en agissant "comme si" c'était une fonction et en sachant très bien le lien avec les aspects physiques. Le mathématicien va s'attacher surtout à l'aspect rigoureux. Mais le physicien a l'habitude lui de jongler (quitte à vérifier/justifier après coup. Un bon exemple : les intégrales de chemin dont la construction mathématique rigoureuse est venue après ses premiers usages par Feynman. Mais une fois que la rigueur existe, on peut très bien marier les deux : rigueur et physique. C'est un mariage heureux qui fait beaucoup d'enfants ).

Concernant l'usage de fonctions continues ou de distribution de Dirac (je rebondit sur la remarque sur l’échantillonnage), le choix repose souvent sur les avantages/facilités mathématiques qui en découle. C'est exactement comme pour la normalisation que j'ai cité plus haut : on choisit la normalisation en boite ou par Dirac selon les cas d'usages.

[Amanuensis]

L'aspect opérateur permet aussi de "voir" certaines évidences. Comme par exemple que si on perçoit une fonction comme un objet en soi, alors parler de f(x) utilise sans le dire la distribution de Dirac ! Penser la donnée des valeurs de f comme les composantes dans une base devient "évident" (e.g., notion de base position en PhyQ) ; un dirac est alors un opérateur de projection, donnant une des composantes.

[pesdecoa]

Ce n'est pas si grave. On peut être rigoureux tout en agissant "comme si" c'était une fonction et en sachant très bien le lien avec les aspects physiques. Le mathématicien va s'attacher surtout à l'aspect rigoureux. Mais le physicien a l'habitude lui de jongler (quitte à vérifier/justifier après coup. Un bon exemple : les intégrales de chemin dont la construction mathématique rigoureuse est venue après ses premiers usages par Feynman. Mais une fois que la rigueur existe, on peut très bien marier les deux : rigueur et physique. C'est un mariage heureux qui fait beaucoup d'enfants ).

Alors oui, il y a toujours en arrière fond la querelle (stérile ?) entre Physiciens (avec les mains dans le cambouis) et Mathématiciens (dans la noblesse du raisonnement pur). La formule donnée par Amanuensis semble tomber de nulle part, telle un axiome. Or et si l'on veut avancer un peu, j'ai pour habitude de penser la fonction de Dirac comme une densité de probabilité. Une densité de probabilité assez particulière car elle nous dit que l'on ne sait rien à peu près partout sauf en 1 point.

[pesdecoa]

L'aspect opérateur permet aussi de "voir" certaines évidences. Comme par exemple que si on perçoit une fonction comme un objet en soi, alors parler de f(x) utilise sans le dire la distribution de Dirac ! Penser la donnée des valeurs de f comme les composantes dans une base devient "évident" (e.g., notion de base position en PhyQ) ; un dirac est alors un opérateur de projection, donnant une des composantes.

Intéressant! Un opérateur peut être aussi vu comme une matrice (vous confirmez non ?). Mais l'opérateur de Dirac aurait quelle allure dans une représentation matricielle? Une matrice quasiment vide (sparse) avec un 1 seul terme non-nul, voire infini sur la diagonale? L'opérateur de Dirac serait une sorte de matrice infinie avec une seule valeur propre infinie?

Le 1, le 0 et l'infini sont les trois "chiffres" qui sont indissociables de la "fonction" de Dirac!

[albanxiii]

Bonjour,

La formule donnée par Amanuensis semble tomber de nulle part, telle un axiome.

Si ovus ouvrez un cours sur les distributions (ou même surement la page wikipedia), vous verrez que c'est une définition qui apparaît naturellement quand on veut définir une distribution (forme linéaire sur un certain espace de fonctions) à partir d'une fonction régulière (et localement intégrable en particulier).

Bonne journée.

ps : on dirait bien que lionelod is back.

[Amanuensis]

Intéressant! Un opérateur peut être aussi vu comme une matrice (vous confirmez non ?).

En dimension infinie, pas très facile...

Mais l'opérateur de Dirac aurait quelle allure dans une représentation matricielle? Une matrice quasiment vide (sparse) avec un 1 seul terme non-nul, voire infini sur la diagonale? L'opérateur de Dirac serait une sorte de matrice infinie avec une seule valeur propre infinie?

On peut le voir comme cela...

Le 1, le 0 et l'infini sont les trois "chiffres" qui sont indissociables de la "fonction" de Dirac!

Pas beaucoup de choses en maths qui sont indissociables de cela. C'est le cas des entiers naturels !!

[azizovsky]

Bonjour , on peut dire que la fonction delta de Dirac reconcilier le continu et le discontinu : pour une distribution volumique (a) de charges on a Q(total)=(((a.dv avec le signe ( comme integral ,mais comment écrire la charge ponctuél avec les outils du 'continu' , c'est la fonction delta (((delta.dv=1(une charge) au point r(0) (comme si on supposé que la charge à un certain volume dv), ou nulle à l'éxtérieure .

[invite76543456789]

Salut!!

Salut
SVP quelqu'un peut me donner un probleme sur laquelle on utilise Delta de dirac.elle nous facilitons quoi?

L'enorme avantage du delta de dirac et qui est la raison principale de son introduction, c'est que c'est l'unité pour la convolution.
Et par conséquent resoudre une equation au derivées partielles dans le cas general revient tres souvent a resoudre la meme equation en remplacant le second membre par un dirac.
Prenons par exemple l'operateur de la chaleur L, resoudre L(T)=S, est facile une fois que l'ona resolu L(T)=delta. Si tu trouves un T_0 qui soit solution alors L(T_0)*S=S et par transformée de Fourier (spatiale) l'opérateur L se transforme une opérateur tres sympathique (essentiellement la mutliplication par x²+y²+z², comme la transformée de Fourier transforme convolution en produit, l'equation est alors facile a resoudre, et on retrouve nos petits par transformée de fourier inverse.
Cette stratégie marchera pour tout un tas d'opérateur differentiels (voir la theorie des noyaux), du moment que l'opérateur L se comporte bien par transformée de fourier et convolution.
On peut donc esperer apprendre beaucoup en resolvant D(T)=delta sur l'equation D (et physiquement ca corresond a comprendre ce qui se passe dans le cas d'une impulsion pontcuelle, de chaleur pour le cas L, de charge pour le laplacien par exemple)
Ca marche pour beaucoup d'equations (lapalce, poisson, ondes, shrodinger)

[pesdecoa]

L'enorme avantage du delta de dirac et qui est la raison principale de son introduction, c'est que c'est l'unité pour la convolution.
Et par conséquent resoudre une equation au derivées partielles dans le cas general revient tres souvent a resoudre la meme equation en remplacant le second membre par un dirac.

Tu ne vas pas au bout de ton raisonnement en disant en quoi consiste l'avantage. Je précise donc. L'avantage consiste en la transformation d'un problème défini par une équation différentielle en une équation intégrale (c'est à dire algébrique). Mais le prix à payer pour cela est de connaitre la fonction de Green associée au problème.

[invite76543456789]

Heu, non c'est pas vraiment ce que je voulais dire.
Quand on connait la solution elementaire (fonction de green) on sait (dans de nombreux cas) resoudre completement l'equation. Il n'y a pas d'equation integrale, juste une convolee a calculer. (n'oubliez pas que la convolee commute a la derivation)

[pesdecoa]

Heu, non c'est pas vraiment ce que je voulais dire.
Quand on connait la solution elementaire (fonction de green) on sait (dans de nombreux cas) resoudre completement l'equation. Il n'y a pas d'equation integrale, juste une convolee a calculer. (n'oubliez pas que la convolee commute a la derivation)

Salut MissPacman,
T'es sur un smartphone ou quoi ?

Oui tu as raison, la formulation intégrale n'est qu'une des deux approches. La fonction de Green peut aussi être développée sur la base des vecteurs propres de l'opérateur.

Quelle que soit la méthode utilisée, la détermination de la fonction de Green n'est en général pas simple du tout! (en dehors de formes simples où une solution analytique existe)

[stefjm]

Ce n'est pas une fonction. Le plus propre est de la voir seulement comme un opérateur qu'on écrit sous forme d'intégration, qui est , autrement dit l'opérateur qui à une fonction f de R vers R et un réel x associe la valeur de f en x.

Vu comme cela, une application évidente est la formalisation de la notion d'échantillonnage, les cas où une fonction n'est connue que par ses valeurs sur un ensemble discret de points. Par exemple un peigne de Dirac correspond à un échantillonnage périodique.

L'aspect opérateur permet aussi de "voir" certaines évidences. Comme par exemple que si on perçoit une fonction comme un objet en soi, alors parler de f(x) utilise sans le dire la distribution de Dirac ! Penser la donnée des valeurs de f comme les composantes dans une base devient "évident" (e.g., notion de base position en PhyQ) ; un dirac est alors un opérateur de projection, donnant une des composantes.

En complément, cela me rappelle que le dirac peut être utiliser pour tenir compte des conditions initiales non nulles pour les équations différentielle.

Exemple :
La solution est de la forme

C'est aussi la solution de l'équation différentielle

On tient alors compte de la condition initiale en utilisant le second membre de l'équation différentielle.
C'est aussi la réponse impulsionnelle du système.

[pesdecoa]

En complément, cela me rappelle que le dirac peut être utiliser pour tenir compte des conditions initiales non nulles pour les équations différentielle.

Exemple :
La solution est de la forme

C'est aussi la solution de l'équation différentielle

On tient alors compte de la condition initiale en utilisant le second membre de l'équation différentielle.
C'est aussi la réponse impulsionnelle du système.

Bonjour stefjm,
Ton exemple est très pédagogue. Il fait apparaitre une fonction de Green (l'exponentielle décroissante). Mais ( car il y toujours un mais ...) ton exemple ne prend pas en compte des conditions limites. Ou plutôt si, mais ce sont des conditions de Sommerfeld qui disent qu'à l'infini, ta quantité x est nulle.

Si maintenant tu te places dans un espace confiné, alors tu dois tenir compte des conditions limites. Et la prise en compte de ces C.L. entraine l'apparition d'une formulation intégrale.

Ceci peut se comprendre de plusieurs manières mais le plus intuitif est surement l'approche par sources images. Supposons que tu es en plus dans ton modèle, un plan réfléchissant en x=10. Tu peux "supprimer" ce plan en "additionnant" un deuxième point source en x=20 (source image).

Dans cette approche, la fonction de Green est générée dynamiquement en "remplaçant" chaque morceau de la frontière du domaine par une source "virtuelle" image.

Mathématiquement, la formulation intégrale se retrouve facilement en appliquant la formule de Green...

[stefjm]

En complément, cela me rappelle que le dirac peut être utiliser pour tenir compte des conditions initiales non nulles pour les équations différentielle.

Exemple :
La solution est de la forme

C'est aussi la solution de l'équation différentielle

On tient alors compte de la condition initiale en utilisant le second membre de l'équation différentielle.
C'est aussi la réponse impulsionnelle du système.

Rectification d'une coquille :

C'est aussi la solution de l'équation différentielle