Champ magnétique Rail-Gun

[invite7f8439b1]

Bonsoir,

Dans le cadre d'un projet de fin d'année en 3eme année de Licence de Physique je construis un mini rail-gun propulsant des billes en acier.
J'ai deux plaques conductrices traversées par un courant de même intensité reliées par une bille en métal (qui fait contact entre les deux plaques).
On fait traverser le système par un courant d'intensité I, le courant est donc de sens contraire suivant qu'on soit dans une ou l'autre des plaques.
Sous l'action du champ magnétique généré par le courant passant dans les plaques, la force de Laplace agit sur l'élément de courant traversant la bille, et donc la bille accélère.
Je fais l'hypothèse que le courant se réparti uniformément dans les plaques et donc la densité de courant est j = (+/-)I/S suivant la plaque, ou S est la section de la plaque.

Schéma:
La bille est donc dans la gouttière et fait contact par son poids.

Je commence par vouloir calculer le champ magnétique généré par la plaque de droite.
Je veux seulement le champ au bout des éléments de courant en z = L. (La longueur des éléments de courant est bien entendu déterminés par la position de la bille puisque c'est cette dernière qui fait contact)
J'utilise Biot et Savart:
Je considère un point M à l'extérieur des plaques de coordonnées x,y,z et un "point de courant" P dans la plaque de coordonnées (a,b,c).
Mon champ magnétique infinitésimal généré par un élément dc de courant est donc:



Pour calculer le champ généré par toute une longueur de courant j'intègre c de 0 à L. Et pour avoir le champ généré par toute la plaque j'intègre en plus sur a et b. Ma faculté m'a fourni une licence mathematica cependant le logiciel ne parvient pas à calculer les intégrales sur a et b, après 3H à pédaler dans la semoule j'ai arrêté le programme. J'ai cependant vu que c'était des fonctions complexes avec de nombreux logarithme, un truc imbuvable (en calculant une primitive sur le site de Wolfram Alpha).
Mon problème est donc: Comment calculer ce champ magnétique ?

Sachant qu'après je vais calculer le champ créé par la seconde plaque, puis la force de Laplace exercée sur la bille pour intégrer tout ça dans un algorithme de Beeman en C afin d'avoir la vitesse en sortie de railgun.

Bien cordialement à vous et en vous remerciant d'avance,
Helyseria
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Avant d'essayer de faire des calculs très précis, je vous conseille de calculer déjà avec une approximation (très) simplificatrice: remplacez vos plaques et votre bille par des fils. Le champ magnétique ainsi calculé ne sera pas trop loin de la réalité.
Cela vous donnera une idée des courants qu'il faut faire passer et de la vitesse que votre bille pourrait atteindre.
Et j'utilise le conditionnel. Car vous avez une inconnue difficile à évaluer qui est la résistance du contact entre la bille et les plaques. De plus, quand la bille avance le contact est mobile. Cette incertitude fait que faire des calculs "très précis" sur le champ n'améliore pas beaucoup la précision de vos prédictions.
Au revoir.

[invite7f8439b1]

Bonjour,
J'ai déjà fait une approximation avec des fils et le railgun est déjà construit (même si je rencontre quelques difficultés techniques).
La difficulté avec l'approximation avec des fils c'est de trouver le diamètre des fils qui pourrait correspondre à une plaque de tel section.
Cependant je voulais ajuster de la manière la plus réaliste possible mon champ magnétique. J'ai supposé que le contact entre la bille et les plaques était ponctuel (ce sont des billes en acier inox de haute précision), de plus leur résistance est quasiment la même. Je ne voulais pas spécialement des calculs précis, puisque comme vous le dites il y a déjà pas mal d'approximations, mais c'était histoire de faire un calcul propre.

[invite7f8439b1]

Bonjour,
J'ai réussi à calculer une primitive de mon champ (il y en a 4 du même genre).
Elle est imbuvable et l'afficher ici déformerai la page. C'est une fonction de la forme: f(x,y,z) + i*ln[f(a,b,c)] avec x,y,z réels et a,b,c complexes.
Est-ce que la partie réelle de cela est f(x,y,z) ? A ce moment là mon champ magnétique peut-il être décrit simplement par sa partie réelle ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Je ne vois pas comment l'intégrale d'une fonction réelle peut donner une partie imaginaire.
Il doit avoir une erreur quelque part.

La seule composante de la force de Laplace qui vous intéresse est celle dirigée dans le sens du mouvement. Car la bille a un seul degré de liberté.
Quand vous calculez la force de Laplace, est-ce que vous supposez le courant orienté uniformément et perpendiculairement aux plaques ?
Si c'est le cas, la seule composante de B qui vous intéresse est la composante verticale. Les deux plaques donnent la même composante verticale. Alors je trouve inutile de calculer B vectoriellement.

Le différentiel de B du premier post est donc un différentiel de troisième ordre et il manque un dS (différentiel de surface) qui multiplie 'j' (pour avoir un courant).
Au revoir.

[invite7f8439b1]

Bonjour,
Je ne vois pas non plus comment une partie imaginaire peut apparaitre.
Là, pour le moment, je ne calcule que le champ, et bien entendu seulement sa composante verticale (celle en sur mon schéma).
Autant pour moi, j'ai oublié le dS =da.db qu'il faut rajouter en plus du dc.
J'ai d'abord intégré par rapport à a puis ensuite à b, j'ai alors le champ généré par une section de longueur infinitésimale de plaque.
Arrivé là si j'intègre par rapport à c pour avoir le champ généré par toute la plaque les complexes apparaissent.
Et encore, j'ai fait la partie simple du calcul sur la portion de plaque rectangulaire (j'ai séparé les intégrales de y0 à y1 et de y1 à y2) où b varie de y1 à y2 et a de 0 à x0.

Merci pour vos réponses.