équilibre pression/pesanteur d'un ensemble de particules

[invite11f2a3ff]

Bonjour à tous,

Je voudrais vous soumettre un problème amusant, qui me pose une petite difficulté. J'aimerais déterminer la densité et la pesanteur d'un ensemble de particules de masse , placé à une température dans le vide. On a symétrie sphérique, isotropie, etc..., ce qui permet de chercher la densité de masse et la pesanteur (définie positivement, ) comme des fonctions de uniquement. La physique du problème est très simple. La pesanteur générée par les particules du gaz tend à le concentrer, tandis que sa température (ou sa pression si on préfère) tend à le détendre. Typiquement, deux relations permettent de normaliser le problème : l'égalité entre l'énergie typique des particules et l'énergie potentielle de pesanteur à la longueur typique , où est la pesanteur typique : Et l'équivalent de la loi de Gauss électrostatique appliqué à la pesanteur qui donne, où est la constante de pesanteur et . Ceci permet de normaliser les longueurs à , la pesanteur à , et la densité à .

Ensuite il faut faire les maths. Pas très difficile. On écrit une équation en prenant soit la loi de l'hydrostatique avec la loi des gaz parfaits , soit directement la loi de Boltzmann pour trouver que . (Où ).

On a une deuxième relation qui est la loi de Gauss de l'électrostatique appliquée aux lois de la pesanteur (on utilise donc tout simplement les deux équations qui nous ont permis de normaliser le problème) :

.

En combinant ces deux équations on obtient l'équation d'évolution de en fonction de , qui est une équation différentielle non-linéaire et du second ordre. Avec nos normalisations, elle s'écrit (en gardant les notations et par simplicité) :

. (l'apparente inhomogénéité tient à la non-linéarité du problème)

On peut la résoudre numériquement avec un runge-kutta d'ordre 4 en la transformant en 2 équa-diff du premier ordre en et. Les conditions initiales sont et . Pour l'instant est une inconnue mais elle sera déterminée a posteriori, si tout se passe bien, grâce à la conservation de la masse.

J'ai mis en pièces jointes mon programme matlab et le résultat. J'ai voulu connaître le résultat à très grande distance donc en grandeurs normalisées j'ai pris L = 1e5 avec 1 million de points. La pesanteur et la densité, définie par à première vue se comportent bien. La pesanteur augmente quasi-linéairement jusqu'à son maximum autour de , la densité de masse a un comportement proche. Mais le problème vient lorsque l'on veut estimer la densité au centre. Jusqu'ici c'était un paramètre totalement libre du problème. On peut la déterminer a posteriori en calculant la masse totale et en la ramenant à la masse totale . Ainsi on a :



ce qui détermine . On voit ainsi que doit être une fonction intégrabe, qui doit décroître en plus l'infini au moins plus vite que (en tant que fonction monotone décroissante positive, pas d'oscillations et de subtilités mathématiques ici). Or la deuxième courbe montre justement cette fonction, et a priori elle a plutôt l'air de tendre vers une constante en l'infini, ce qui évidemment pose problème, car alors ma densité au centre est nulle, et mon gaz se disperse à l'infini, quelle que soit la masse et le nombre de ses particules, quelle que soit sa température... Et en fait tout simplement mon problème est mal posé.

Donc votre mission, si vous l'acceptez, c'est de vérifier mes calculs, de trouver si possible une erreur dans l'équation différentielle ou dans sa résolution, de proposer une manière de résoudre ce paradoxe ou de m'expliquer pourquoi une telle situation ne donnerait pas un nuage de gaz bien disposé. Une manière de s'en sortir serait de contraindre non pas la densité totale mais la densité jusqu'à , ou la densité devient très petite par rapport à sa valeur centrale, mais ça m'embête un peu. Je me serais attendu intuitivement à ce que la densité soit moins dispersée aux grandes distances. Bref, qu'est-ce que vous pouvez rajouter à ça ?

Merci et bon week-end à tous
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[LPFR]

Bonjour.
Je n'ai pas envie de refaire vos calculs. Mais j'ai quelques observations à faire.
L'énergie des particules n'est pas kT mais nkT/2, avec 'n' le nombre de degrés de liberté des particules. Pour des atomes (gaz monoatomiques) ou électrons n = 3/2.
Je ne suis pas d'accord avec votre hypothèse que cette énergie soit à peu près égale à mg_oL_o. Je ne vois pas la base physique de cette hypothèse.

Il me semble qu'avec les conditions que vous avez posées, le système ne sera pas en équilibre. Vous aurez deux cas possibles: une solution avec une masse trop faible et le gaz qui part dans l'espace, et une autre solution avec le gaz qui est attiré vers le centre et qui finit par former un trou noir. Car vous n'avez pas posé de limitation à la compression des particules.

Dans le cas des étoiles, (je laisse passer le réchauffement dû à la perte d'énergie gravitationnelle), les atomes sont les uns contre les autres à des densités de solides (très comprimés), et l'augmentation de densité se fait "lentement", contre les forces de van der Waals.
Dans le cas des planètes gazeuses, la densité au noyau est limitée. Même si celui-ci est formé d'hydrogène métallique. Et la température des molécules n'a rien à voir avec la gravité.
Au revoir.

[invite11f2a3ff]

Bonjour,

Merci pour vos commentaires mais je ne suis pas d'accord avec vous. Il est vrai que l'énergie est kT/2 par degré de liberté, mais cela ne m'intéresse pas puisque je ne fais qu'un calcul d'ordre de grandeur destiné à normaliser mes équations. Comme le nombre de degré de liberté ne sera jamais très grand, ce n'est pas très important.

Mon argument est très physique au contraire. La question est : à quelle distance une particule d'énergie peut-elle être propulsée dans un champ de pesanteur d'amplitude ? La réponse est obtenue en égalisant l'énergie cinétique et l'énergie potentielle, soit .

Je ne suis pas d'accord du tout avec "la température des molécules n'a rien à voir avec la gravité". Une telle affirmation n'a aucun sens. On a bien, : a gauche la température (pour un gaz parfait), à droite la gravité !

Et encore moins d'accord lorsque vous dites que je n'ai pas mis de limite à la compression. Ben si justement, les forces de pression, qui ont à voir avec la température !!

Du reste, vos remarques sont intéressantes, mais ce modèle n'a pas la prétention d'explorer les trous noirs. L'intérêt de ce modèle est de se poser la question : à partir de quelle masse de partiules livrées à elles-même à une certaine température, la densité au centre deviendra-t-elle comparable à celle de liquides ou de solides ? (ce qui définira la limite du modèle).

Sinon, il est tout de même surprenant de voir que . Cela vient du fait que cette distance est aussi inversement proportionnelle à la pesanteur, qui est d'autre part inversement proportionnelle au carré de la longueur.

[Amanuensis]

Bonjour,

Un texte sur le sujet est http://fr.arxiv.org/abs/astro-ph/0503600, section 3.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite11f2a3ff]

nice !