Matrice d'inertie d'une portion de cylindre

[invite79706153]

Bonsoir,

Pourvu qu'il ne soit pas trop tard...

je cherche la matrice d'Inertie d'une portion de cylindre homogène représenter ci-dessous :

Image (67)rogner.jpg

J'ai au préalable calculer la masse de cette portion, et j'ai trouvé

Ensuite, on relève deux plan de symétrie. L'un de normale et l'autre de normale . Donc tout les produits d'inertie sont nulles et la matrice d'inertie est diagonale. Les coefficients diagonaux sont les moments d'inertie selont les axes .





C'est là que je coince. Je n'arrive pas à calculer les moments d'inerties. A commencer par le premier . La masse élémentaire , il faut le remplace par quoi ? J'ai vu sur un exemple avec un cylindre plein qu'on remplaçais par le volume élémentaire . Ainsi on obtient :



Pour chaque terme j'intègre sur y et z mais je me perds... je suis confus...


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[invite686ac3e5]

Bon bah il est un tard... tu ne dois séparé ton z²+y², mais tu dois le remplacer par r², et intégrer en passant en coordonnée sphérique.
par raison de symétrie tu dois trouver A=B.

[invite79706153]

J'y ai pensé mais il me manque l'ange entre l'axe z du repère et (M un point de quelconque de la portion de cylindre).

[invite79706153]

Comment faire sans l'angle

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Que fait le '180' au dénominateur de votre masse ? Travaillez-vous en degrés ? !!!

Ce qui est emm...nuyeux dans une intégrale générale de r²dm, ce sont les limites de l'intégrale.

Calculez le moment d'inertie pour une baguette fine (diamètre/épaisseur petits devant sa longueur), par rapport à un axe situé à une distance 'd' du centre de masses de la baguette, dans deux cas: axe parallèle à la baguette et axe perpendiculaire à la baguette.

Pour el moment autour de 'Z', divisez votre solide en baguettes de longueur H de largeur r.dβ et d'épaisseur 'dr'. Faites l'intégrale des moments d'inertie des baguettes (parallèles à l'axe) que vous avez trouvé sur 'r' et β, avec les limites adéquats (β entre + et - thêta).

Pour le moment autour de 'X', cette fois les baguettes sont perpendiculaires à l'axe. Et leur distance sera 'r.cos(β)'.

Pour le moment autour de 'Y', même chose mais la distance à l'axe sera 'r.sin(β)'.

Au revoir.

[invite79706153]

En radiant la masse est donnée par la formule : . Plus simple...



Pour la méthode, je n'ai pas tout saisis. β représente qu'elle angle exactement ?

Il n'y aurais pas une autre approche en faisant le lien entre le moment d'inertie du tube entier et la portion étudiée ?

[invite686ac3e5]

Comment faire sans l'angle

Phi est directement intégrable de zero a 2 PI et l'integrale vaut 2 PI.
UTILISES LES PROPRIÉTÉS DE SYMÉTRIE
cordialement,

[invite79706153]

Finalement j'ai opté pour les coordonnées cylindriques et j'aboutis à un résultat (un peu lourd d'ailleurs...) . Par contre je trouve des moments d'inertie A et B différents, à un signe près.

Et d'ailleurs A=B dans le cas d'un solide de révolution, un cylindre entier. Ce n'est pas le cas ici. Il y a truc qui m'échappe... il y deux plans de symétrie, l'un de normale et l'autre de normale mais je ne vois pas comment ils contribuent à l'égalité entre A et B.

[invite686ac3e5]

Finalement j'ai opté pour les coordonnées cylindriques et j'aboutis à un résultat (un peu lourd d'ailleurs...) . Par contre je trouve des moments d'inertie A et B différents, à un signe près.

Et d'ailleurs A=B dans le cas d'un solide de révolution, un cylindre entier. Ce n'est pas le cas ici. Il y a truc qui m'échappe... il y deux plans de symétrie, l'un de normale et l'autre de normale mais je ne vois pas comment ils contribuent à l'égalité entre A et B.

Aie désolé je suis allé un peu vite en besogne, je croyais qu'il s'agissait d'un cylindre complet ! oublie ce que je t'ai dit.

[invite79706153]

Ouf, ça me rassure... merci pour l'aide quand même.