Mécanique

[invitef2cae579]

Bonjour,
je me suis posé une question vraiment élémentaire de mécanique, mais déjà trop difficile pour moi visiblement
J'enroule, sur la partie supérieure d'une poulie de masse négligeable tournant librement autour de son axe fixé à un support, un fil inextensible, à un bout duquel j'attache une masse m, et à l'autre bout, une masse 2m. La masse m subit une force d'attraction terrestre F dirigie vers le bas, et la masse 2m une force 2F. Par ailleurs, la masse m subit vers le haut une force 2F due à la traction sur le fil de l'autre masse, et la masse 2m, une force F dirigée vers le haut due à la traction sur le fil de la masse m. En orientant positivement vers le bas les composantes, et en notant a l'accélération de la masse 2m, on a les relations :

F = 2ma
-F = m(-a)

d'où a = 0, ce qui est visiblement absurde.
Merci pour vos lumières.
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[Amanuensis]

C'est 2ma = -F + 2mg et -ma= -F + mg, d'où 3ma = mg et a = g/3

(J'ai orienté vers le bas, g>0, désolé...)

[invitef2cae579]

Merci Amanuensis, tu dis donc que le fil exerce la même traction F (à priori inconnue) vers le haut sur les deux masses. Pourquoi la même et en quoi consiste cette force ? Intuitivement, il me semblait que la masse m tirant le fil vers le bas d'une valeur mg, cette force se "propageait" le long du fil et tirait la masse 2m vers le haut de cette même valeur mg. Pourquoi cette intuition est-elle fausse ?

[Amanuensis]

Merci Amanuensis, tu dis donc que le fil exerce la même traction F (à priori inconnue) vers le haut sur les deux masses. Pourquoi la même

Cela vient des hypothèses, deux que vous avez explicitées (fil inextensible, poulie de masse négligeable), une autre implicite (masse négligeable du fil).

et en quoi consiste cette force ?

Les interactions entre molécules, en gros de même nature que ce qui fait qu'un solide est solide ! Un fil idéal est inextensible mais parfaitement déformable, les forces de liaison sont uniquement dans la direction tangente au fil.

Intuitivement, il me semblait que la masse m tirant le fil vers le bas d'une valeur mg, cette force se "propageait" le long du fil et tirait la masse 2m vers le haut de cette même valeur mg. Pourquoi cette intuition est-elle fausse ?

Je ne saurais répondre à la question sous cette forme. Disons que ce qu'on appelle "fil" n'a pas cette propriété, et que cela vient des lois de base de la mécanique.

On peut déjà remarquer qu'il y a un problème de symétrie. Si les deux poids étaient transmis comme vous l'indiquez, les deux forces s'exerçant sur un point du fil ne seraient pas opposées (une serait de module mg, l'autre de module 2mg), et le point, étant de masse nulle, aurait une accélération infinie.

Ce qu'on appelle la tension d'un fil n'a pas de direction. Si on prend un point d'un fil, il est de masse nulle, et par conséquence les deux forces s'exerçant dessus sont exactement opposées ; la tension en ce point est le module commun de ces forces. Les hypothèses impliquent une tension constante. Si on la note T, la force F exercée par le bout du fil sur ce à quoi il est attaché est T fois le vecteur unitaire de la direction du fil (à la condition qu'il y ait tension, évidemment).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef2cae579]

Merci pour tes explications (si tu permets qu'on se tutoye !). Je comprends un peu mieux, mais pas complètement. Puis-je voir les choses ainsi : de façon idéale, je considère le fil comme une chaîne linéaire de molécules de masse négligeable liées les unes aux autres par des forces de liaison atomiques. La molécule i est attirée par la précédente avec une force F_i et attire la suivante avec une force G_i. On a F_i+1 = - G_i par la loi d'action-réaction de Newton, et F_i = - G_i parce qu'il ne peut pas en être autrement (sinon, la molécule i de masse négligeable aurait une accélération "infinie"). D'où F₁ = - G_n. Est-ce une explication raisonnable ?

[invitef2cae579]

pardon, je voulais dire "et est attirée par la suivante avec une force G_i"

[Amanuensis]

...

Oui (avec l'hypothèse des distances constantes, par inextensibilité par exemple ; en dehors du contact avec la poulie ; ...).

[invitef2cae579]

ok, merci. Je reviendrai avec d'autres questions tout aussi basiques !

[invitef2cae579]

J'ai une balance avec un fléau rigide de masse négligeable. Deux masses m et M sur les plateaux. Puis-je calculer les forces qu'elles subissent uniquement avec les lois de Newton et des arguments élémentaires comme ceux du fil (au sens propre et au sens internet ) ?

[Amanuensis]

J'ai une balance avec un fléau rigide de masse négligeable. Deux masses m et M sur les plateaux. Puis-je calculer les forces qu'elles subissent uniquement avec les lois de Newton et des arguments élémentaires comme ceux du fil (au sens propre et au sens internet ) ?

A priori oui. (Les deux cas sont assez similaires, en fait.)

[invitef2cae579]

Bin, j'ai honte, je n'y arrive pas

[Amanuensis]

je n'y arrive pas

Plus précisément ?

[invitef2cae579]

si comme dans l'exemple du fil, j'imagine le fléau comme une chaîne linéaire rigide de molécules de masse négligeable, la masse m est soumise à son poids mg et à une une force F dirigée horizontalement vers l'axe. De même la masse M est soumise à son poids Mg et à -F. Pour m, la résultante est un vecteur oblique vers le bas et vers l'axe. Déjà ça, ça me semble un peu absurde.

[Amanuensis]

si comme dans l'exemple du fil, j'imagine le fléau comme une chaîne linéaire rigide de molécules de masse négligeable, la masse m est soumise à son poids mg et à une une force F dirigée horizontalement vers l'axe.

Ce n'est pas un fil, mais un solide. Les forces de liaison internes sont dans tous les sens. Pour déterminer la force que subit le fléau, faut étudier la liaison avec la masse pesante. Typiquement pour ces balances la liaison il s'agit d'une arête horizontale, et on va traiter la liaison comme ponctuelle dans le plan vertical. Le fléau subit donc trois forces ponctuelles, deux vers le bas égales aux masses pesantes et une, vers le haut, au point d'appui central. C'est similaire au cas des masses sur poulie, le point central ayant pour analogue ce qui tient la poulie.

Suffit ensuite d'appliquer les principes de base, et on va se retrouver, du moins lors de la position initiale supposée fléau à l'horizontale, avec une accélération verticale de g/3. Après la géométrie du système va changer avec la rotation (il va y avoir des composantes horizontales dans les accélérations) et les calculs sont un peu plus complexe si on veut prendre cela en compte.

Mais on ne pourra pas faire un raisonnement simple sur les forces intermoléculaires à l'intérieur du fléau. On modélise directement le fléau comme totalement rigide et avec des forces ponctuelles. Si on veut rendre compte des forces à l'intérieur du solide faut travailler au minimum en 2D (dans le plan vertical), et c'est plus compliqué qu'une simple tension comme dans le cas d'un fil (pas une chaîne linéaire mais une sorte de "tissu", avec des tensions dans certaines directions, des pressions dans d'autres, et éventuellement ce qu'on appelle des cisaillements, , le tout se gérant par un "tenseur de contraintes" dépendant de la position, le pendant 2D de la tension en 1D).

[invitef2cae579]

ah, ah, .. merci. Je vais étudier ta réponse.

[invitef2cae579]

première question : Ne peut-on imaginer une micro-balance avec un fléau fait d'une seule couche de molécules très légères, qui fléchirait un peu, avec à chaque bout une molécule très lourde ? Quelles seraient alors les forces ? Ou bien ça n'a aucun sens à cause de la réalité quantique ?

[Amanuensis]

première question : Ne peut-on imaginer une micro-balance avec un fléau fait d'une seule couche de molécules très légères, qui fléchirait un peu, avec à chaque bout une molécule très lourde ?

La couche étant placée verticalement ?

[invitef2cae579]

non, horizontalement.

[Amanuensis]

Même si un matériau était capable de résister sans trop fléchir ou se rompre avec une épaisseur mono-moléculaire, seule la physique quantique permettrait de le calculer et montrer comme c'est possible.

Mais a priori c'est juste impossible, les forces demandées sont trop grandes.

[invitef2cae579]

En fait, mes interrogations viennent de ce que j'ai remarqué que la plupart des bouquins de physique/mécanique que j'ai eu entre les mains introduisent brutalement le concept de moment d'une force par rapport à un point O comme produit vectoriel de la force par le vecteur reliant O au point d'appui de la force, accompagné d'une vague explication intuitive du style "le moment d'une force, c'est sa capacité à faire tourner un corps autour d'un point", et assènent les conditions nécessaires pour l'équilibre d'un corps solide (somme des forces extérieures nulle et somme des moments par rapport à tout point nulle) sans vraiment justifier grand-chose. Ne comprenant (au mieux) que les maths, je me suis demandé à partir de quels principes on pourrait le démontrer. Mais mes connaissances en physique sont quasi-nulles ! Je me rends compte avec tes interventions que ce n'est pas si simple !

[Amanuensis]

Des notions comme "inextensible", "rigidité parfaite", "solide indéformable", etc., sont des idéalisations, des propriétés impossibles, mais qu'on prend par hypothèse d'une part parce que cela simplifie (litote...) les calculs, et d'autre part simplement parce qu'on les applique dans des cas où on sait, par expérience, que l'erreur commise n'entache pas l'intérêt des résultats obtenus.

On ne peut pas "démontrer" ces idéalisations à partir d'un quelconque principe de physique, puisqu'elles sont fausses!

Maintenant, on peut prouver les méthodes de calcul appliqués à ces idéalisations en restant sur le plan mathématique. Par exemple, les calculs sur les moments dérivent de considération sur les champs de vitesse dit "équiprojectifs", ce qui correspond à l'idéalisation d'un solide indéformable.

Par ailleurs, on peut étudier à l'échelle microscopique (physique des matériaux) qu'est-ce qui fait qu'un solide est difficile à déformer, alors que d'autre matériaux se déforment d'eux-mêmes plus ou moins vite (viscosité), etc.

[invitef2cae579]

J'avais déjà écrit mon message avant d'avoir vu le tien, je l'envoie quand même :

Prenons le cas d'un levier, une masse 2m à une distance d du point d'appui, une masse m à une distance 2d. Le levier est en équilibre. Pour le montrer, Archimède ne demande qu'un axiome : un même poids à une même distance est en équilibre. Justification : raison de symétrie, si ça se mettait à pencher du côté gauche, ça devrait aussi pencher à gauche en regardant depuis derrière ! Puis il remplace le poids de 2m par un point d'appui et deux masses m à distance d. Une des masses appuie sur le pivot central, et l'autre est à distance 2d, équilibre avec la troisième masse m. Bien.

un bouquin moderne dit : 2m.d + (-m).2d = 0, donc équilibre. Qu'est-ce qui se cache derrière ça ?

J'aimerais montrer qu'il y a équilibre parce l'accélération des masses est nulle, autrement dit la masse 2m subit de la part de l'attache au bras une force 2mg vers le haut, et la masse m une force mg. Pourquoi ?

[invitef2cae579]

pardon, 2mgd + (-mg)2d = 0

[Amanuensis]

J'aimerais montrer qu'il y a équilibre parce l'accélération des masses est nulle, autrement dit la masse 2m subit de la part de l'attache au bras une force 2mg vers le haut, et la masse m une force mg. Pourquoi ?

C'est en gros derrière ce que j'expliquais, même si pas visible. Si on fait l'hypothèse que le levier est un solide indéformable, cela va imposer des relations très fortes entre les positions de tous ses points, et donc de leurs vitesses et de leurs accélérations. Ce sont ces relations qui vont se traduire par une relation forte entre les accélérations des points d'attache (et de la entre les forces qui s'y appliquent), les relations qu'on apprend à l'école.

L'hypothèse de solide indéformable est le point clé.

Et comme j'ai essayé d'expliquer, cette hypothèse n'est pas démontrable, car en fait elle est fausse. Et c'est ensuite du ressort de la physique des matériaux (qui idéalement étudie jusqu'au relations entre atomes et molécules) que d'expliquer pourquoi des matériaux comme les métaux sont "suffisamment peu déformables" pour que l'idéalisation de l'indéformabilité reste acceptable pour tirer des conclusions utiles de calculs basés sur cette hypothèse.

[invitef2cae579]

D'accord, je vois ce qu'il me reste (plus probablement, resterait) à faire ! Merci beaucoup pour ta disponibilité.