Sur la continuité du mouvement... encore

[inviteb786d994]

Bonjour/Bonsoir,

si on assimile un objet physique donné à un point ( je n'affirme pas qu'on peut le faire, c'est une hypothèse ) , on dira que son mouvement est continu sur un axe [O,x) si son abscisse prend toutes les valeurs d'un intervalle donné de R+ ( ensemble des réels positifs ). Par exemple , si un point part de 0 et arrive en 1, son mouvement aura été continu si il est passé par toutes les abscisses entre 0 et 1 , c'est à dire qu'on peut affirmer qu'il y a eu un moment où l'objet se trouvait en 0.158, en 0.743251 etc... et ceci pour toutes les valeurs comprises entre 0 et 1. Mais alors, si un tel objet se déplace de telle manière que son abscisse passe de façon continue de 0 à 4 , celle-ci va prendre la valeur pi ( 3.14... ), par exemple. Mais pi étant irrationnel, la suite des décimales ne s'arrête jamais ; donc , pour atteindre le point d'abscisse 4, le point mobile devrait d'abord passer par une infinité d'autres points, tous situés avant 3.2 , autrement dit le point n'aurait jamais fini de se situer en des abscisses bien distantes de 4, et finalement il n'atteindra jamais le point d'abscisse 4. ( pour atteindre 4 il doit d'abord atteindre 3.14, ensuite 3.141, ensuite 3.1415 etc... et ceci à l'infini, donc le point mobile restera pour toujours en des positions situées avant 3.2 car il ne pourra jamais avoir fini de "parcourir les décimales de pi" ).
( j'ai pris un exemple avec pi, mais l'ensemble des irrationnels étant dense dans R, on aura toujours un irrationnel situé aussi près qu'on voudra de zéro, et en fait le point mobile ne pourra pas s'éloigner de zéro ).

Je serais assez tenté d'en conclure qu'on ne peut pas à la fois avoir un objet assimilé à un point et un mouvement continu.
Votre avis svp ?
-----

[Amanuensis]

Voir l'immense littérature sur le paradoxe de Zénon, dont votre démonstration n'est qu'une variante.

[inviteb786d994]

je trouve votre commentaire un peu rapide...

[Tryss]

La résolution classique vient du fait que le temps mis pour parcourir à vitesse constante les positions entre deux points est proportionnelle à la distance qui les sépare.

Donc tu fais une somme infinie de temps infiniment petits, et ça donne un temps fini

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

je trouve votre commentaire un peu rapide...

Manifestement convaincre quelqu'un de la résolution de ce paradoxe est souvent suffisamment difficile pour que des auteurs y aient consacré des pages et des pages. Ce n'est pas le propos d'un forum de recopier de tels textes !

Le pointeur "paradoxe de Zénon" vous permet de trouvez les dizaines de discussions sur ce forum dont c'est le sujet, et donc de trouver des explications en quelques lignes, comme celle donnée par Tryss ; et aussi d'aller chercher dans la littérature les explications en plusieurs pages, si les explications courtes ne vous suffisent pas.

[LPFR]

Bonjour.
Le paradoxe de Zénon prend en compte des événements immatériels: une grandeur qui prend une certaine valeur au passage.
Mais il y un cas plus amusant: une balle qui rebondit.
Imaginez une balle qui rebondit avec un choc partiellement élastique (comme toutes les balles réelles) et dont le rebond la fait monter à la moitie de la hauteur d'où elle a chutée.
Donc, si on la laisse tomber d'une hauteur h, elle rebondira à h/2, puis, aux suivants: h/4, h/8, h/16, etc.
C'est à dire qu'elle effectuera un nombre infini de rebonds (tic...tic,.tic,tic,tictictictic...). Si on calcule le temps de chaque rebond, on constate que les temps constituent une série géométrique, avec une somme finie. Au bout d'un temps donné, la balle cessera de rebondir et elle aura effectué un nombre infini de rebonds.
À la différence d'Achille et la tortue, ici on entend chaque événement séparément.
C'est bien ce que l'on constate avec une balle quelconque (ping-pong, par exemple).

On peut donc montrer le sophisme du paradoxe de Zénon, basé sur la supposition tacite qu'il ne peut pas se produire un nombre infini d'événement immatériels dans un temps fini. Ici on a un nombre infini d'événements matériels qui se produisent dans un temps fini.

Pour être juste, la balle s'arrêtera avant d'avoir effectué un nombre infini de rebonds. Quand la période entre deux rebonds correspond à un des modes d'oscillation de la balle, toute l'énergie sera transmise à ce mode d'oscillation et la balle ne décollera plus et se limitera à osciller appuyée sur le support.

Au revoir

[inviteb786d994]

merci de me répondre, mais bon, ce n 'est pas vraiment ce que j'attendais... j'aurais bien aimé qu'on réponde précisément à ce que j'ai dit et non pas qu'on se reporte sur ce qu'a dit Zénon ou autre chose.
j'ai déjà lu pas mal de choses sur les paradoxes de Zenon mais je n'y ai pas trouvé exactement ce que j'ai dit ; en particulier je ne parle pas du tout du temps que met le mobile à "parcourir les décimales de pi" , je dis juste qu'il ne peut pas arriver au bout car c'est une liste infinie : l'abscisse du point mobile va être "condamnée" à parcourir les décimales de pi, et ne va donc jamais dépasser 3.2 : on n'atteindra jamais 4.
Je crois vraiment que vous n'avez pas fait un petit effort pour comprendre exactement où je voulais en venir, et que vous m'avez casé un peu vite dans la catégorie Zénon-like si je puis dire, au sens où ce que j'ai dit aurait déjà été tout à fait vu dans ce qu'a écrit Zénon : je ne suis pas d'accord!

Pour ce qui est de la notion de convergence pour montrer que Zénon avait tort, ça ne marche pas!
Si la balle rebondit dans un espace continu, h/n ne sera jamais nul et donc la balle n'arrête jamais de rebondir, or on sait très bien que la balle va s'arrêter. Tout simplement parce que si ses déplacements ne se font pas de façon continue mais plutôt par "petits sauts" ( multiple de la Longueur de Planck ) , à un moment h/n va être tellement petit que sa valeur va passer en dessous de la longueur de Planck et la balle ne pourra plus rebondir car il y a une impossibilité physique à faire un déplacement plus petit que la Longueur de Planck ( ou une autre valeur , d'ailleurs ; peut-être que la bonne valeur n'est pas la Longueur de Planck ).
Une infinité de rebonds , ça veut dire que la balle n'arrête jamais de rebondir, je suis donc très étonné de vous voir écrire que la balle effectue une infinité de rebonds dans un temps fini... Il y a une contradiction flagrante : la balle est censée rebondir pour toujours et pourtant on sait qu'elle s'arrête ; c'est parce qu'on imagine qu'on peut toujours diviser par 2, c'est à dire passer de h/2 à h/4 etc... mais si l'espace n'est pas continu, à un moment h/n passe en dessous de la valeur minimale autorisée et ça ne marche plus, on n'a plus le droit de diviser par 2. Je suis persuadé que les objets ne se déplacent pas de manière continue au sens que j'ai déjà expliqué, mais leurs déplacements sont multiples d'une valeur minimale en dessous de laquelle aucun mouvement n'est possible ( peut-être la Longueur de Planck ).

Mais j'aimerais bien qu'on arrête de parler de Zénon et qu'on me parle précisément de ce que j'ai dit, à savoir : si l'abscisse d'un point mobile doit parcourir toutes les décimales de pi avant d'aller plus loin, est-ce que le point arrivera un jour en 4 ? moi je dis que non.

[coussin]

moi je dis que non.

Comment cela se confronte-t-il aux observations de la vie de tous les jours ?
Et puis la valeur pi dont tu parles. Ce sont des mètres, des millimètres, des kilomètres, des années-lumière ?

[c_icla]

Moi, j'aime bien le coup de la mouette

Deux bateaux (A et B) distants de 500 km se rapprochent l'un de l'autre à 25 km/h. Une mouette posée sur A vole vers B à 50 km/h. Arrivée à B, elle retourne vers A à la même vitesse. En A, elle retourne vers B... Bref, elle fait la navette entre les deux bateaux.

Quelle distance aura parcouru la mouette quand les bateaux se croiseront ?

Il suffit de calculer la distance Dn parcourue par la mouette à chaque aller ou retour. La distance totale est alors la somme infinie des Dn. Comme il y a une infinité de Dn, mettra-t-elle un temps infini ?

[mach3]

merci de me répondre, mais bon, ce n 'est pas vraiment ce que j'attendais... j'aurais bien aimé qu'on réponde précisément à ce que j'ai dit et non pas qu'on se reporte sur ce qu'a dit Zénon ou autre chose.
j'ai déjà lu pas mal de choses sur les paradoxes de Zenon mais je n'y ai pas trouvé exactement ce que j'ai dit ; en particulier je ne parle pas du tout du temps que met le mobile à "parcourir les décimales de pi" , je dis juste qu'il ne peut pas arriver au bout car c'est une liste infinie : l'abscisse du point mobile va être "condamnée" à parcourir les décimales de pi, et ne va donc jamais dépasser 3.2 : on n'atteindra jamais 4.
Je crois vraiment que vous n'avez pas fait un petit effort pour comprendre exactement où je voulais en venir, et que vous m'avez casé un peu vite dans la catégorie Zénon-like si je puis dire, au sens où ce que j'ai dit aurait déjà été tout à fait vu dans ce qu'a écrit Zénon : je ne suis pas d'accord!

ça reste tout de même assez proche de Zénon.

Si la balle rebondit dans un espace continu, h/n ne sera jamais nul et donc la balle n'arrête jamais de rebondir, or on sait très bien que la balle va s'arrêter. Tout simplement parce que si ses déplacements ne se font pas de façon continue mais plutôt par "petits sauts" ( multiple de la Longueur de Planck ) , à un moment h/n va être tellement petit que sa valeur va passer en dessous de la longueur de Planck et la balle ne pourra plus rebondir car il y a une impossibilité physique à faire un déplacement plus petit que la Longueur de Planck ( ou une autre valeur , d'ailleurs ; peut-être que la bonne valeur n'est pas la Longueur de Planck ).
Une infinité de rebonds , ça veut dire que la balle n'arrête jamais de rebondir, je suis donc très étonné de vous voir écrire que la balle effectue une infinité de rebonds dans un temps fini... Il y a une contradiction flagrante : la balle est censée rebondir pour toujours et pourtant on sait qu'elle s'arrête ; c'est parce qu'on imagine qu'on peut toujours diviser par 2, c'est à dire passer de h/2 à h/4 etc... mais si l'espace n'est pas continu, à un moment h/n passe en dessous de la valeur minimale autorisée et ça ne marche plus, on n'a plus le droit de diviser par 2. Je suis persuadé que les objets ne se déplacent pas de manière continue au sens que j'ai déjà expliqué, mais leurs déplacements sont multiples d'une valeur minimale en dessous de laquelle aucun mouvement n'est possible ( peut-être la Longueur de Planck ).

Relisez ce qu'a écrit LPFR. Il parle d'un nombre infini de rebonds en un temps fini, c'est à dire que h/n tend vers 0 pour un temps fini (c'est la même chose pour la mouette au passage). Evidemment c'est une modélisation au 1er ordre, car comme le fait remarquer LPFR, à partir d'une certaine fréquence, l'énergie sera absorbée par un mode de l'objet qui rebondi et le rebondissement cessera. Inutile de faire intervenir la longueur de Planck la-dedans à part rendre votre discours bien oiseux...

La longueur de Planck n'est pas ce que vous semblez croire. Elle n'est pas la plus petite longueur concevable, ni la plus petite longueur mesurable ou autre et l'espace n'est pas discrétisé : les distances ne sont pas n fois la distance de Planck (réfléchissez-y un peu plus que 2 secondes, vous verrez que dans un espace de genre on arrive quand même à construire des distances qui sont des multiples irrationnels de la longueur de Planck...). La distance de Planch c'est juste l'ordre de grandeur des longueurs en dessous desquelles on est obligé de faire à la fois de la mécanique quantique et de la relativité générale en même temps pour faire de la physique valable.
Certaines spéculations, non vérifiées (et pour l'instant malheureusement non vérifiables), tendent cependant à montrer que l'espace serait quantifié, ce qui ne veut pas dire discontinu attention... voir à ce sujet ce post par exemple :

http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post4111063

m@ch3

[LPFR]

...
Une infinité de rebonds , ça veut dire que la balle n'arrête jamais de rebondir, je suis donc très étonné de vous voir écrire que la balle effectue une infinité de rebonds dans un temps fini... Il y a une contradiction flagrante ...

Re.
Au lieu de vous étonner, ou de dire qu'il y a des contradictions, faites le calcul vous même.
Si vous êtes au niveau de pouvoir parler de la quantification de l'espace, vous êtes surement capable de faire un calcul de rebond d'une balle, qui est un calcul pour des débutants en physique.
A+

[albanxiii]

Bonjour,

Quelle distance aura parcouru la mouette quand les bateaux se croiseront ?

Je connaissait cette "énigme" sous la forme de la mouche et des trains, mais c'est juste une transposition.... Et on dit que quand on a posé la question à John von Neumann, et qu'il a donné la bonne réponse, il a ensuite confirmé qu'il avait fait la somme de la série de tête What else ?

Voir ici, par exemple : http://www.apprendre-en-ligne.net/bl...es-deux-trains

Bonne soirée.

[c_icla]

Et on dit que quand on a posé la question à John von Neumann, et qu'il a donné la bonne réponse, il a ensuite confirmé qu'il avait fait la somme de la série de tête

Génial !

Je savais qu'un Grand avait calculé la série au grand dam de son malicieux questionneur, mais je ne savais pas qui c'était... Merci.

[mach3]

Je connaissait cette "énigme" sous la forme de la mouche et des trains, mais c'est juste une transposition.... Et on dit que quand on a posé la question à John von Neumann, et qu'il a donné la bonne réponse, il a ensuite confirmé qu'il avait fait la somme de la série de tête What else ?

c'est pas un peu shaddock comme résolution ça??

m@ch3

[c_icla]

c'est pas un peu shaddock comme résolution ça??

m@ch3

Non,

c'est toute la différence entre les matheux et les physiciens.
C'est pour ça que j'adore cette histoire.

[Makalu]

Bonjour

merci de me répondre, mais bon, ce n 'est pas vraiment ce que j'attendais... j'aurais bien aimé qu'on réponde précisément à ce que j'ai dit et non pas qu'on se reporte sur ce qu'a dit Zénon ou autre chose. j'ai déjà lu pas mal de choses sur les paradoxes de Zenon mais je n'y ai pas trouvé exactement ce que j'ai dit ; en particulier je ne parle pas du tout du temps que met le mobile à "parcourir les décimales de pi" , je dis juste qu'il ne peut pas arriver au bout car c'est une liste infinie : l'abscisse du point mobile va être "condamnée" à parcourir les décimales de pi, et ne va donc jamais dépasser 3.2 : on n'atteindra jamais 4.

Ce qu'illustre le paradoxe de Zénon, c'est que l'infini (par exemple les décimales de pi) peut se cacher dans un ensemble fini (la distance à parcourir).