Théorie de la relativité et mathématiques

[invite291889ed]

Bonjour,

Pensez-vous qu'il faille maîtriser certains domaines des mathématiques "modernes" (Poincaré, Hilbert, Minkowski...) pour comprendre la théorie de la relativité (restreinte ou générale).

Par avance merci.
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[invited9422e7e]

Salut,

pour la relativité restreinte faut avoir vu l'algèbre linéaire (L1) et un peu de calcul tensorielle (L3).

La relativité générale c'est un autre niveau avec, cette fois, beaucoup de calcul tensorielle ( et la géométrie non euclidienne).

[invite042ea98c]

Bonjour,
ça dépend comment la comprendre. Evidemment tu peux la comprendre théoriquement sans aucune connaissance mathématique, mais juste les conséquences des formules mathématiques(comme savoir que la vitesse de la lumière est infranchissable ou que l'attraction gravitationnnelle est dû au déformement de l'espace-temps).Seulement toute ces affirmations reposent sur des formules mathématiques qu'ils faut maitriser pour comprendre complètement la théorie de la relativité.
Si tu ne maitrise pas les domaines mathématique requis (avec un bac S tu devrais pouvoir comprendre les équations la relativité restreinte) je te conseille de lire de la litérature scientifique vulgarisée.
cordialement

[invite6754323456711]

Pensez-vous qu'il faille maîtriser certains domaines des mathématiques "modernes" (Poincaré, Hilbert, Minkowski...) pour comprendre la théorie de la relativité (restreinte ou générale).

Il est dit que les mathématiques constituent le langage de la physique. Une des propriété est que la possibilité de moduler le sens d’un mot par le contexte s’affaiblit dans les langages spécialisés. Dans un langage formel réussi elle est même éliminée entièrement. Maintenant auparavant il faut être clair par ce que l'on cherche par comprendre.

Patrick

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite291889ed]

OK,

Je vous remercie tous les 3 pour vos éclairages.

Donc il faut maîtriser les formules mathématiques pour bien comprendre la théorie mais on peut tout de même la rendre accessible à tous sans pour autant la maîtriser.

Disons que j'ai une formation en informatique (niveau II) donc j'ai fait un peu de maths mais je suis très très loin de connaître ou de bien comprendre tout ces concepts mathématiques nécessaires à la bonne compréhension de la théorie.

Serait-il possible par exemple de m'expliquer de façon simple (en faisant si possible abstraction de l'outil mathématiques) pourquoi la vitesse de la lumière est une limite infranchissable.

Merci

[Nicophil]

Bonsoir,

pourquoi la vitesse de la lumière est une limite infranchissable?

Ca c'est un constat expérimental. C'est sur ce socle qu'a été bâtie la théorie, qu'il a fallu bâtir la théorie.
Si on tombait un jour sur quelque chose de matériel qui dépasse la vitesse de la lumière, toute la théorie s'effondrerait.

[Nicophil]

Au départ, 2 constats expérimentaux:
- la vitesse de la lumière dans l'espace vide est la même quel que soit le référentiel inertiel.
- l'énergie nécessaire pour accélérer les particules des "rayons cathodiques" augmente exponentiellement quand elles s'approchent de cette vitesse.

En 1905, Einstein a expliqué ces 2 constats de façon relativement simple, par une nouvelle cinématique: la cinématique relativiste.

[stefjm]

Bonjour,

- l'énergie nécessaire pour accélérer les particules des "rayons cathodiques" augmente exponentiellement quand elles s'approchent de cette vitesse.

En
Je ne suis pas sûr qu'on puisse qualifier "d'exponentiellement" pour ce cas. (peut-être avec un changement de variable?)
Il y a une asymptote (comme pour 1/x), pas une branche parabolique (e^x) ou (x^2).

[invite042ea98c]

Avant de répondre à ta question je rappelle que la théorie de relativité restreinte dis qu'il y a une vitesse limite mais pas quelle est cette limite. Que la vitesse de la lumière soit cette limite a été conclu expérimentalement.

D'après les équation de la relativité restreinte, plus on va vite plus il faut d'énergie pour accelérer encore plus. Pour atteindre la vitesse de la lumière (pour un objet ayant une masse) il faudrai une énergie infinie. Comme la notion d'énergie infini est ridicule on dit que la vitesse de la lumière est infranchissable. Dans les équation l'infini se traduit par une nombre divisé par 0.

Cordialement

[Zefram Cochrane]

Bonsoir,

Ca c'est un constat expérimental. C'est sur ce socle qu'a été bâtie la théorie, qu'il a fallu bâtir la théorie.
Si on tombait un jour sur quelque chose de matériel qui dépasse la vitesse de la lumière, toute la théorie s'effondrerait.

Bonjour,
Je ne suis pas d'accord sur cette affirmation. Si effectivement on observait quelque chose allant plus vite que la lumière comme cela a failli être le cas pour les neutrinos du CERN ou si on déconvrait une masse au photon, la théorie de la relativité nécessiterait un ajustement en fonction des nouvelles données mais ne serait pas remise en cause dans son intégralité car la nouvelle théorie devrait englober les résultats expérimentaux obtenus en RR comme en RG.
Cordialement,
Zefram

[invite291889ed]

ok,

merci pour ces explications maintenant je comprends mieux ce choix.

Concernant la dilatation du temps et la contraction des longueurs à très grandes vitesses :

D'après ce que j'ai pu comprendre c'est juste une interprétation des expériences qui ont montrées que la vitesse de la lumière était la même quelque soit le référentiel...

Un exemple d'ailleurs assez clair a été donné sur ce forum concernant l'impossibilité d'addition classique des vitesses.

Maintenant j'aimerai comprendre simplement ce qu'est la dilatation du temps :

Est-ce que cela veut dire que si on se représentait une seconde par un segment sur un graphique ce segment deviendrait plus grand à des vitesses proches de la lumière ?

Si bien que 1 seconde dans des conditions classiques "équivaudrait" à moins d'une seconde à très grande vitesse ?


Merci.

[invite8915d466]

Est-ce que cela veut dire que si on se représentait une seconde par un segment sur un graphique ce segment deviendrait plus grand à des vitesses proches de la lumière ?

Si bien que 1 seconde dans des conditions classiques "équivaudrait" à moins d'une seconde à très grande vitesse ?

je ne vois pas bien ce que tu appelles "comprendre" en offrant une représentation forcément conventionnelle. Tu peux bien représenter les secondes par un segment que tu veux, y compris en changeant de convention !

la dilatation du temps correspond à un phénomène observable physiquement et descriptible par des expériences (au moins de pensée) tout à fait concrètes, et indépendamment de toute "représentation" que tu veux leur donner.

Spécifiquement, la relativité dit ceci : si tu considères 2 évènements A et B pour lequel il existe un référentiel dans lequel on les voit arriver au même endroit (ce qui n'est pas toujours possible, il faut une condition pour cela, c'est que dAB < c tAB dans au moins un référentiel (et alors ce sera vrai pour tous) pour qu'on ait le "temps" d'aller de l'un à l'autre à une vitesse v = dAB/tAB < c ), alors
* la durée séparant ces deux évènements dépend du référentiel
* elle est minimale le référentiel dans lequel ils ont lieu au même endroit, et supérieure dans tous les autres.

La "dilatation" ne porte donc que sur la comparaison des temps dans les référentiels où ils n'ont pas lieu au même endroit (temps "impropre" dans un référentiel "impropre" ) par rapport à celui dans lequel ils ont lieu au même endroit (temps "propre" ).

En revanche ça ne concerne pas la comparaison de temps impropres entre eux : si A et B n'ont pas lieu au même endroit, ni dans R1, ni dans R2, alors les temps t1 et t2 sont différents en général mais on ne peut pas dire lequel est le plus court, ou lequel est le plus long ça dépend des conditions. Il n'y a donc pas de "ralentissement général" du temps d'un référentiel par rapport à un autre : il y a ralentissement des temps "propres de R2" (qui ont lieu au même endroit dans R2) , mesurés par R1, et réciproquement, il y a ralentissement des temps propres de R1 par rapport à R2.

Ainsi les battements de coeur d'un observateur "en mouvement" (mais qui donc ont lieu "au même endroit" dans son référentiel mobile ), semblent ralentis par rapport à un observateur fixe. Mais réciproquement les battements de coeur de l'observateur fixe (qui ont cette fois lieu au même endroit dans le référentiel fixe) semblent AUSSI ralentis pour l'observateur mobile. Il y a symétrie totale, et on ne peut pas dire comme on le croit parfois que "le temps de l'observateur mobile" est ralenti par rapport au référentiel fixe : ça ne concerne que les évènements particuliers ayant lieu au même endroit dans ce référentiel (c'est l'oubli de cette condition qui cause la plupart des soi-disant "paradoxes" de la relativité).

[Nicophil]

Je ne suis pas sûr qu'on puisse qualifier "d'exponentiellement" pour ce cas. Il y a une asymptote (comme pour 1/x), pas une branche parabolique (e^x) ou (x^2).

Oui, j'ai employé "exponentiellement" pas du tout rigoureusement.

[Nicophil]

Bonjour,

Avant de répondre à ta question je rappelle que la théorie de relativité restreinte dis qu'il y a une vitesse limite mais pas quelle est cette limite. Que la vitesse de la lumière soit cette limite a été conclu expérimentalement.

J'ai vraiment du mal avec ce point de vue. Je sais bien que tu ne parles pas au plan historique mais au plan "architecture intellectuelle de la théorie" mais...

La science physique est fondée sur le socle des données expérimentales. Si on fait abstraction de la vitesse de la lumière, sur quelles données expérimentales est fondée la théorie?

[Deedee81]

Salut,

La science physique est fondée sur le socle des données expérimentales. Si on fait abstraction de la vitesse de la lumière, sur quelles données expérimentales est fondée la théorie?

Au tout départ de cette fondation si je te comprend bien ?

Sur l'électromagnétisme et le fait que cela implique que la vitesse d'une onde électromagnétique dans le vide est invariante (pas nécessairement, a priori, une vitesse limite). Et bien entendu sur le constat expérimental de ce fait.

A partir de là on en déduit la théorie.

On peut aussi se baser uniquement sur des postulats sans vitesse limite ou invariante. En particulier on ne prend que le principe de relativité (et quelques "peccadilles" : espace et temps continus, postulat de groupe pour les transformations de coordonnées,...).

Dans ce cas on montre qu'on aboutit à seulement trois types de transformations :
- Galilée
- Lorentz, avec une vitesse invariante c (numériquement quelconque).
- et une troisième non nommée et inconsistante (acausale).

On peut alors montrer plusieurs choses :
- avec Lorentz, c est aussi une vitesse limite
- plus généralement, si on mesure dans deux repères différents (vitesse V relative) le même signal avec des vitesses v et v' différentes d'un petit epsilon, alors il existe une vitesse invariante c quasi identique à v et v' (ce qui valide automatiquement Lorentz sur base des données expérimentales même si la précision n'est pas absolue)
- avec la dynamique, si un corps a une masse nulle alors sa vitesse est c (et réciproquement)

On peut alors se demander, pourquoi la lumière a une masse nulle (et plus généralement quelle est sa nature, question centrale à l'époque de la naissance de la relativité avec les questions sur l'éther luminifère, etc.). Et ça ce n'est pas du ressort de la relativité (quand on sait que ces questions ont menés à la relativité, c'est assez ironique ). C'est du ressort de l'électrodynamique quantique, etc... (en particulier, la symétrie liée à la charge électrique et au champ EM est U(1) qui n'est pas une symétrie brisée => le boson de jauge = le photon n'a pas de masse).

Les explications au début et celles sur la nature de la lumière expliquent que celle-ci a tenu une place aussi centrale dans la relativité au moins au départ. Ca et évidemment le fait que c'est un "outil" expérimental bien pratique, surtout en relativité. Mais la lumière n'est en rien un élément central de la relativité (le photon serait massif et aurait une vitesse légèrement inférieure à c, cela ne changerait pas nécessairement l'existence d'une vitesse c limite).

Voilà, j'ai fait le tour même si c'est hyper condensé

[Nicophil]

Mouais...
Donc on a: équations de Maxwell + principe de relativité comme socle. Et à partir de là, on prétend que la vitesse de lumière n'est que superflue ?!?

Mais bon sang, les équations de Maxwell ne sont rien sans le constat expérimental de la vitesse de la lumière! (de toute façon, avec des si...)

[Deedee81]

Mouais...
Donc on a: équations de Maxwell + principe de relativité comme socle. Et à partir de là, on prétend que la vitesse de lumière n'est que superflue ?!?

Pas qu'elle est superflue mais qu'on peut s'en passer pour construire la théorie (si on avait utilisé des électrons allant à très très très grande vitesse, cela aurait revenu au même, par exemple).

En outre, il faut distinguer l'élaboration historique d'une élaboration plus propre moderne (on a quand même progressé en cent and ). L'existence de la relativité justifiant après coup pourquoi Maxwell était si pratique pour construire initialement la relativité.

Mais bon sang, les équations de Maxwell ne sont rien sans le constat expérimental de la vitesse de la lumière! (de toute façon, avec des si...)

En effet, si le photon était massif on aurait les équations de Proca Quand à justifier ça après dans les théories de jauge hummmmm (mais n'étant pas expert du Higgs, suffirait peut-être d'introduire une constante d'interaction photon - Higgs ??? Mais ce serait moins joli ).

[Amanuensis]

Mais bon sang, les équations de Maxwell ne sont rien sans le constat expérimental de la vitesse de la lumière! (de toute façon, avec des si...)

Ben si...

Les différentes lois de Maxwell ont été établies expérimentalement une par une. Ces expériences permettent d'établir que et apparaissent constantes. Maxwell a fait l'hypothèse, sans preuve expérimentale à ce moment 1) qu'il y avait des ondes électromagnétiques (elles apparaissent comme solution des équations), 2) que la lumière était une onde électro-magnétique.

Le problème fut que les équations fixent la vitesse des ondes électromagnétiques à une valeur dérivant de et , qui sont des constantes dans les équations de Maxwell.

Autrement dit, les équations de Maxwell impliquent une vitesse de la lumière dans le vide ayant une valeur précise, et ce constat déclencha les expériences pour essayer de contredire les équations de Maxwell, sans succès.

Si la vitesse des ondes électro-magnétique dépendait de quelque chose, alors soit , ,soit (ou les deux) dépendait du "quelque chose" ; le constater expérimentalement aurait montrer les équations de Maxwell fausses ou incomplètes.

Maintenant, accepter les équations de Maxwell n'était pas un problème en soi : elles pouvaient s'expliquer comme l'existence d'un milieu de propagation absolu, ce qui avait l'inconvénient (mineur) de contredire le principe de relativité. L'expérience de Michelson-Morley détruisit cette possibilité, ce qui amena les réflexions qui amenèrent à la solution permettant que les équations de Maxwell respectent le principe de relativité, à rendre compatible des équations (venant de l'expérience) imposant une vitesse particulière et l'idée que les lois de la physique ne sont pas changées par un changement entre référentiels mobiles l'un par rapport à l'autre.

[invite291889ed]

Bonjour,

Je reviens sur ma question concernant la dilatation du temps.

Si je reprends la fameuse formule rendant compte de cette dilatation :

∆t' = (1 – (v/c) ² ) ^(1/2) . ∆t

Comment l'interpréter dans le cas ou v=c ?

Merci

[Nicophil]

C'est plutôt ∆t' = ∆t / [(1 – (v/c)²)^(1/2)] (enfin, ça revient au même mais...).

Nous ne cessons de répéter que v = c est impossible! c'est le point de départ, le socle de la théorie! d'ailleurs tiens, ça conduirait à diviser par zéro...

[invited9422e7e]

Bonsoir,

oui c'est impossible. On peut aussi dire que pour un photon, la notion de temps n'existe pas (ainsi que l'espace).
Pour un photon, la notion de trajectoire n'existe pas.

[azizovsky]

C'est plutôt ∆t' = ∆t / [(1 – (v/c)²)^(1/2)] (enfin, ça revient au même mais...).

Nous ne cessons de répéter que v = c est impossible! c'est le point de départ, le socle de la théorie! d'ailleurs tiens, ça conduirait à diviser par zéro...

bonsoir , pourquoi impossible , cette formulle est applicable à deux photons qui sont partis dans unne même direction séparé par un intrvalle de temps ∆t dans R , le deusiéme photon ne pourra jamais atteindre le premier ce qui est traduit par l'infini , si on remplace le premier photon par une fusée ,calculer ∆t' (entre le phpton et la fusée) ,que se passe t'il quand sa vitesse est C(de la fusée) ? .

[Amanuensis]

oui c'est impossible.

C'est surtout que cela n'a pas de sens physique.

On peut aussi dire que pour un photon, la notion de temps n'existe pas (ainsi que l'espace).

Ben non, parce que cela n'a pas de sens non plus. Dire "Du point de vue d'un photon" n'a pas de sens physique.

Pour un photon, la notion de trajectoire n'existe pas.

La notion de trajectoire d'un "photon" a, elle, un sens. Sinon on ne pourrait même pas parler de sa vitesse.

[invite042ea98c]

La notion de trajectoire d'un "photon" a, elle, un sens. Sinon on ne pourrait même pas parler de sa vitesse.

Je pense que pianno a pensé à la théorie quantique.

[Amanuensis]

Je pense que pianno a pensé à la théorie quantique.

Dans ce cas le photon (et les particules de masse nulle en général, celles allant à la vitesse limite) n'est pas une exception : la notion de trajectoire ne s'applique pas plus à l'électron (par exemple) en physique quantique.

Or le contexte est bien la vitesse limite.

[invite291889ed]

Oui marci, pour ma part j'avais interprété que pour un photon le temps ne s'écoulait pas

[invited9422e7e]

Je disais que la notion de trajectoire n'existait pas si on se "posait" sur un photon.
Mais je ne vois pas pourquoi on ne peut pas dire "du point de vue du photon, les notions de temps et d'espace n'existent pas".
Je suis d'accord qu'on ne peut pas atteindre cette vitesse limite, mais je n'ai pas compris pourquoi cela nous empêcherait de considérer un référentiel lié au photon.

Merci

[erik]

mais je n'ai pas compris pourquoi cela nous empêcherait de considérer un référentiel lié au photon.

Dans un tel référentiel quel serait la vitesse de ton photon ? Ne vois tu pas poindre un problème ?

[Amanuensis]

Une autre manière d'aborder la question est "Qu'est-ce qu'un référentiel" ?

Il se trouve juste que si on respecte la définition d'un référentiel dans les théories en vigueur, il n'y en a aucun dans lequel le photon est immobile. Or, quand on dit "du point de vue de l'observateur X", on utilise, implicitement, comme référentiel pour la description des mouvement un référentiel dans lequel X est immobile.

Inventer un référentiel dans lequel le photon est immobile consiste à imaginer une physique autre que celle en vigueur, ce qui interdit en toute logique de se référer à cette physique pour en tirer une quelconque conclusion.

[invited9422e7e]

Merci pour vos réponses. J'avais pas penser de cette manière.
Mais il y a encore un problème. J'avais dit que les notions de temps et d'espace n'existent pas dans ce référentiel par conséquent la notion de vitesse non plus n'existe pas.
Apparemment, le raisonnement par l'absurde ne marche pas car la vitesse n'est pas définie....
Où est mon erreur?

Merci