[THERMODYNAMIQUE] Mélange de 2 gaz parfaits.

[procato]

Bonjour, je bloque sur l'exercice suivant en thermodynamique.

Deux récipients A et B de même volume V₀, contiennent un même gaz parfait à la température T₀, l'un à la pression P₀(1+y), l'autre à P₀(1-y). On ouvre un robinet R entre les 2, de sorte que l’écoulement des gaz est très lent. L'opération est monotherme.
1) Quel est l'état final
2) Calculer la variation d'entropie du gaz

1) J'utilise la conservation de la quantité de matière pour dire n_tot=n_a+n_b
Avec n_a+n_b= (P₀(1+y)+p₀(1-y)).V₀ / RT
Soit P₁ la pression finale, n_tot=P₁2V/Rt₀
D'où on tire P₁=P₀

2) Déjà je me demande si on peut calculer la variation d’entropie en considérant une transformation isotherme (puisque c'est une fonction d’état).
On utilise l'identité thermodynamique sur les deux sous-systèmes homogènes A et B =0 (car du=cdT)

Donc₀, et par extensivité dS_tot=dS_a+dS_b
Avec

Finalement dS=R.na.(dVa/Va)+nb.R(dVb/Vb)
En integrant on trouve la variation de S : Rln(2) ( na+nb)

Qu'en pensez vous ?
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[phys4]

Finalement dS=R.na.(dVa/Va)+nb.R(dVb/Vb)
En integrant on trouve la variation de S : Rln(2) ( na+nb)

Qu'en pensez vous ?

Bonjour, dans la mesure ou la différence de pression y est très faible, le système peut être considéré comme isolé bien qu'isotherme car le refroidissement du gaz qui se détend sera compensé par l'échauffement du gaz qui est comprimé : au premier ordre la quantité de chaleur totale échangée avec l'extérieur est nulle.
Evidemment l'entropie augmente puisque des pressions différentes s'égalisent, par contre la formule finale est surement fausse car le terme y doit apparaitre au premier ordre dans cette expression : si y est nul, il n'y a pas de variation d'entropie !!!

[procato]

Merci beaucoup de m'avoir répondu.
Je concois qu'il y a un problème puisque si y=0 on doit avoir S=0.
Mais je n'arrive pas à voir mon erreur...
Pourriez-vous m'aider ?
Merci

[albanxiii]

Bonjour,

Finalement dS=R.na.(dVa/Va)+nb.R(dVb/Vb)
En integrant on trouve la variation de S : Rln(2) ( na+nb)

Pour vous aider... comment passez-vous de la première ligne à la seconde ?
Que représentent et ? Je croyais que le volume de chaque compartiment était fixe...

Bonne soirée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[procato]

Je definis deux systèmes A et B qui correspondent respectivement au gaz initialement dans le volume Va et dans le volume Vb
Ces deux systemes vont subir une détente donc on va avoir effectivement une variation du volume ( en effet je n'avais pas préciser les systèmes)
En utilisant l'extensivité de l'entropie je la calcul separement sur A et B grâce au fait que dS=PdV/T=nRdV/V
Qu'est ce qui ne va pas ?

[procato]

J'ai beau cherché je ne vois pas l'erreur !
Je viens de passer encore une heure à chercher
De l'aide svp

[Sethy]

De mémoire, je me souviens qu'il y a une formule qui lie S à P, Delta S = n.R. ln (P2 / P1).

Je pense que cette formule (à vérifier) devrait pouvoir t'aider.

[albanxiii]

Bonjour,

procato, je suis désolé, mais en relisant votre premier post et votre réponse à ma question sur les volumes, je n'y comprend rien. Relisez vous aussi, et vous verrez qu'au départ on a des volumes égaux (à V0), puis vous dites ensuite que ça varie.... Du coup, je ne comprend pas sur quel système vous travaillez... et je crois que vous non plus vu que vous trouvez vos résultats étranges.

Si vous pouviez faire un petit dessin, avec état initial, état final et éventuellement un état intermédiaire, je crois que ça nous aiderait bien.

Bonne journée.

[albanxiii]

Re,

Sinon, en prenant votre système tel que décrit dans le premier post, il ne faut pas aller plus loin que à volume constant. Puis comme , on arrive à qui s'intègre facilement. Avec la loi des gaz parfaits, vous pouvez déterminer les températures initiales et finales, et c'est terminé. D'ailleurs, le rasonnement est facilité par le fait que les deux compartiments sont à la même température initialement... je me demande si c'est pas fait exprès, parce que sinon, il faut prendre un peu plus de précautions.

Bonne journée.

[procato]

Oui tu as raison je ne suis pas clair. Je vais poster ci-joint un fichier qui résume le problème.

Merci encore.

Ps: Si le résultat que tu me proposais au dernier poste était bon, on aurait une variation d'entropie nulle puisque l’opération est momootherme ...

[procato]

Dsl l'image n'est pas droite...

[gatsu]

Salut,

Si j'ai bien compris l'énoncé, il y a une histoire de robinet. Le gaz ne peut pas se "détendre" dans les deux compartiments ; il y a focément un compartiment qui donne des particules à l'autres.
Il y a sans doute un truc qui m'échappe mais pour moi la difficulté vient du fait que chaque sous système pris séparément est un système ouvert et que ce
type de système est plus délicat à traiter en général qu'un système fermé.

La seule façon simple que je vois est d'utiliser la formule de l'entropie pour un gaz parfait i.e. S(N,U,V) = k_B ln C V^N U^(alpha N)
où l'exposant alpha est relié au rapport Cp/Cv et C est une constante sans importance pour cette transformation.
Il suffit ensuite de calculer la difference d'entropie pour l'état final et initial de l'ensemble du système et le tour est joué.

[Makalu]

Bonjour,

La variation du nombre de particules dans chacun des récipients induit également une variation de l'énergie interne. L'identité thermodynamique pour chacun des récipients s'écrit dans ce cas :



étant le potentiel chimique, qui pour un gaz parfait, est de la forme



En supposant que l'énergie interne totale est conservée, on trouve que la variation d'entropie totale est donnée par

avec

On peut facilement vérifier que et que dans la limite , l'entropie reste constante.

[procato]

Bonjour Makalu et gatsu et merci de vos réponses.
Malaku je ne comprends pas quel système tu considères pour faire tes calculs.
Tu dis qu'il y a une variation du nombre de particules dans chaque récipient et je suis d'accord, dans ce cas là tu considères, comme disais gatsu plus haut, le systèmes {gaz contenu dans le récipient A} qui est ouvert n'est-ce pas ?
Ensuite j'ai refais les calculs et je trouve quelque chose d'étrange :
Si je prends le gaz initialement dans A, alors nR=PV/T=cste
Donc à l’état initial et à l’état final Po(1+y)Vo/To = PoVf/To
Ce qui donne Vf=Vo(1+y)
Donc le gaz n'occupe pas tout le volume disponible 2Vo... Est-ce normal ?

[gatsu]

Bonjour Makalu et gatsu et merci de vos réponses.
Malaku je ne comprends pas quel système tu considères pour faire tes calculs.
Tu dis qu'il y a une variation du nombre de particules dans chaque récipient et je suis d'accord, dans ce cas là tu considères, comme disais gatsu plus haut, le systèmes {gaz contenu dans le récipient A} qui est ouvert n'est-ce pas ?
Ensuite j'ai refais les calculs et je trouve quelque chose d'étrange :
Si je prends le gaz initialement dans A, alors nR=PV/T=cste
Donc à l’état initial et à l’état final Po(1+y)Vo/To = PoVf/To
Ce qui donne Vf=Vo(1+y)
Donc le gaz n'occupe pas tout le volume disponible 2Vo... Est-ce normal ?

Les calculs de pression et donc de nombre de particules que tu as exposé dan ton premier message sont bons.
La subtilité de l'exercice vient juste de l'utilisation de la formule que j'ai donnée :

Il faut se rendre compte que S_{initial} = S(nA,V0,T0) + S(nB,V0,T0) car les systèmes ne communiquent pas entre eux
et que S_{final} = S(nA+nB,2V0,T0) car les systèmes communiquent entre eux et ne peuvent plus être considérés comme séparés.

rque : par contre la formule que j'ai donnée n'est pas exactement adaptée à ton exercice car les deux gaz sont les mêmes et donc il faut tenir compte du fait que les molécules sont indiscernables une fois mélangées : cela revient à dire que la constante C = C(N) = K/N! dans ma formule...ce n'est pas très important de connaitre exactement la valeur de la constante K pour cet exemple. Normalement, tu dois trouver Delta S en fonction de y et noter, comme l'indique Makalu, que pour y = 0, la variation d'entropie est nulle (dans le cas contraire tu auras fait une erreur similaire à celle du paradoxe de Gibbs).

[Makalu]

Bonjour,

Bonjour Makalu et gatsu et merci de vos réponses.
Malaku je ne comprends pas quel système tu considères pour faire tes calculs.
Tu dis qu'il y a une variation du nombre de particules dans chaque récipient et je suis d'accord, dans ce cas là tu considères, comme disais gatsu plus haut, le systèmes {gaz contenu dans le récipient A} qui est ouvert n'est-ce pas ?

Je considère séparément chacun des récipients comme deux sous-systèmes ouverts puisqu'ils échangent des particules.

Ensuite j'ai refais les calculs et je trouve quelque chose d'étrange :
Si je prends le gaz initialement dans A, alors nR=PV/T=cste

Je ne comprends pas comment est-ce que tu parviens à cette conclusion. Ce n'est que le nombre total de particules dans les deux récipients qui demeure constant. Mais le nombre de particules dans chacun des récipients varie.

[procato]

De nouveau, merci.

Par contre la formule que j'ai donnée n'est pas exactement adaptée à ton exercice car les deux gaz sont les mêmes et donc il faut tenir compte du fait que les molécules sont indiscernables une fois mélangées : cela revient à dire que la constante C = C(N) = K/N

Gatsu, tu met le doigt sur un point que je n'ai pas compris.
Dans le cours, il est écrit qu'il existe 3 formules pour l'entropie S, à une constante près.

S=nC_v ln(PV^y)
S=nC_v ln(TV^y-1)
S=nC_v ln(P^1-y T^y)

"Toutes les constantes additives ajoutées par intégration sont nécessairement proportionnelles à n, ces fonctions étant extensives.
S=nC_v ln(P^1-y T^y) convient, mais les deux premières doivent être écrites S=nC_v ln(P(V/n)^y) et S=nC_v ln(T(V/n)^y-1). La constante additive est alors indépendante de n"
Je pense que mon problème vient du fait que je ne comprends pas cette phrase...

S_{initial} = S(nA,V0,T0) + S(nB,V0,T0) car les systèmes ne communiquent pas entre eux
et que S_{final} = S(nA+nB,2V0,T0)

Tout à fait d'accord. Mais dans ce cas, c'est bien les formules que j'ai donné en second qu'il faut utiliser, sinon on trouverait une variation d'entropie nulle. Je ne vois pas pourquoi les 3 premières formules ne marchent pas ?

Je ne comprends pas comment est-ce que tu parviens à cette conclusion. Ce n'est que le nombre total de particules dans les deux récipients qui demeure constant. Mais le nombre de particules dans chacun des récipients varie

En fait je ne considère pas comme système le système ouvert {gaz dans le récipient A pendant la transformation}. Mais le système fermé des n atomes de gaz initialement présentes dans le récipient A et qui vont évoluer dans le volume total. Pour ce système, par définition on a n=cste. J'espère être clair...

[Makalu]

En fait je ne considère pas comme système le système ouvert {gaz dans le récipient A pendant la transformation}. Mais le système fermé des n atomes de gaz initialement présentes dans le récipient A et qui vont évoluer dans le volume total. Pour ce système, par définition on a n=cste. J'espère être clair...

Le problème est que la pression n'est initialement pas homogène dans le système total.

[gatsu]

De nouveau, merci.



Gatsu, tu met le doigt sur un point que je n'ai pas compris.

je t'invites à regarder le lien sur le paradoxe de gibbs que j'ai mis en lien dans le message auquel tu te réfères. Normalement si tu utilises les formules de ton cours, tu tombes sur un résultat faux pour le mélange de deux gaz identiques.

[Makalu]

Je ne vois pas pourquoi les 3 premières formules ne marchent pas ?

Il me semble que ces formules ne sont valables que pour un système fermé, ce qui n'est pas le cas des sous-systèmes formés par les deux récipients.