La physique et les représentations irréductible

[sailx]

Salut à tous,

J'ai lu un truc sur comment déterminer les représentations irréductibles du groupes de Lorentz homogène et orthochrone (que de gros mots ...)
Bon, j'adore le côté algèbre, et tout. Mais une question se pose à moi : à quoi ça sert ?
Je n'arrive pas à voir quelles sont les informations utiles en physique qu'on va tirer de ces informations.

Pour prendre un exemple plus simple, si on regarde le groupe des rotations SO(3) ? Comment utilise t on les infos sur ce groupes de rotation en MQ et même dans les autres domaines.
Je vois bien qu'il y a un lien, avec les dimensions etc..., mais il y a quelque chose qui m'échappe, un lien profond (?) que je ne vois pas. Et peut être qu'en discuter me fera comprendre

Merci d'avance pour vos éclairages
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[doul11]

Bonsoir,

Pour prendre un exemple plus simple, si on regarde le groupe des rotations SO(3) ?

Pour un exemple simple et pour une entrée en matière U(1) me semble plus adapté. Sous-jacent a ceci il y la notion de jauge -> http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_jauge

[sailx]

Merci de votre réponse.
Pour U(1), il s'agit d'un groupe compact. Comme il est abélien, les représentations irréductibles de dimensions finie sont nécessairement de dimension 1.
Après, j'ai un peu triché car je n'ai pas encore complètement assimilé ces histoire de groupes de lie et d'algèbre associé. Mais j'ai vu que les représentations associé sont les :
avec p un entier relatif.

Bon, j'ai Z représentations irréductibles de dimensions infini. OK, mathématiquement, c'est plutôt jolie. Mais physiquement, comment j'introduit toute cette artillerie dans la physique ?
j'ai lu que p serait alors la charge électrique. d'accord, mais comment ? Est ce que on on dispose d'un "outil" physique (champs magnétique / électrique) qui appliqué à notre particule prend tel ou tel représentation ? (ça me semble terriblement biscornu et pas clair ... :/ )



merci

[doul11]

Je ne suis pas sur de comprendre ton questionnement, mais j'ai peur que tu aborde ce problème avec un angle trop mathématique, il n'y a pas d'outils pour rendre les équations physique, c'est physique ou ça ne l'est pas, une théorie de jauge U(1) est physique, U(2) ne l'est pas et ce n'est pas un problème mathématique.

Ensuite tu peut regarder le premier théorème de Noether, ça permet de faire le lien entre jauge, charge et donc courant. A noter aussi que l'on parle ici seulement des particules d'interactions (les bosons), les champs de jauges, sous entendu que la symétrie est rendue locale.

Tout ça a confirmer, et bien sur attendre d'autres avis !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6754323456711]

Bonjour,

Une vulgarisation


Patrick

[sailx]

Merci à tous les deux.
j'ai regardé le liens avec la vulgarisation. C'est plutôt bien fait, mais j'ai toujours une question qui reste :
J'ai mes représentations du groupe U(1). Comment je les relies au quantité conservée ? je suppose que c'est grâce au théorème de Noether, mais je ne vois pas comment ...

Par exemple, dans le lien, il est dit que l’électromagnétisme est invariant selon l'action du groupe U(1). Déjà, j'ai du mal à voir le rapport avec l'invariance si on change de potentiel, mais admettons. Ma question, est comment avec les représentations irréductibles de U(1) est-ce qu'on détermines que la charge électrique est conservé et vaut un entier relatif ?

[doul11]

Par exemple, dans le lien, il est dit que l’électromagnétisme est invariant selon l'action du groupe U(1). Déjà, j'ai du mal à voir le rapport avec l'invariance si on change de potentiel

Tu ne peut pas aller plus loin si tu ne voit pas l'invariance, on a un champ qui dévire d'un champ potentiel, ajouter quelque chose au potentiel ne change pas le résultat.

Je pense qu'avant de passer au jauges quantiques (et donc au représentions irréductibles de groupe de symétrie) il faut comprendre le principe de jauge classique, voir par exemple -> http://en.wikipedia.org/wiki/Mathema...field_approach

Après tu peut passer a la théorie quantique des champs -> http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum...#Gauge_freedom

[sailx]

Tu ne peut pas aller plus loin si tu ne voit pas l'invariance, on a un champ qui dévire d'un champ potentiel, ajouter quelque chose au potentiel ne change pas le résultat.

Si, je vois très bien l'invariance de jauge, et je suis familier avec le fait que l'addition d'une fonction scalaire dans le potentiel ne change pas les lois de l'électromagnétisme. Ce que je ne comprend pas, c'est comment on relie cette invariance au groupe U(1) ?

Et j'ai l'impression que vous ne voyez pas ma question ... Je ne m’intéresse pas spécialement au cas quantique. ce que j'aimerai savoir, c'est une fois qu'on à trouver l'invariance qu'est-ce qu'on fait ? Et surtout, que viennent faire les représentations irréductibles dans la réflexion physique?

[invite6754323456711]

Par exemple, dans le lien, il est dit que l’électromagnétisme est invariant selon l'action du groupe U(1).

Plus précisément je lis plutôt :

La théorie de l’électromagnétisme a introduit un nouveau concept : les champs. Les champs sont des objets dotés de propriétés géométriques (Même si j'aurais plutôt écrit nous les dotons de propriétés géométriques).

Principe de Curie

Lorsque les causes d'un phénomène possèdent des éléments de symétrie, ces éléments de symétrie se retrouvent dans les effets. Introduction de l’idée d’invariance des lois physique associée à une symétrie. Le champ électrique engendré par des charges électriques en possède la symétrie.

Théorème de Noether : Invariance d’un phénomène après une symétrie ==> conservation de certaines grandeurs physiques (aussi appelées les intégrales premières en mécanique).

Symétries en physique

- Définition forte–Symétrie = transformation géométrique qui ne modifie pas les lois physiques.

Propriété d’invariance : Invariance des lois de l’électromagnétisme par changement global du potentiel
Grandeur conservée : Charge électrique.

Déjà, j'ai du mal à voir le rapport avec l'invariance si on change de potentiel, mais admettons.

J'ai aussi du mal à concevoir l’énergie potentielle caractérisée par un seul “point matériel” car elle fait intervenir au moins deux "objets". Ce qui implique la détermination du quadrivecteur potentiel à un gradient prés.

Acquérir le sens physique à partir d'un discours mathématique m'est aussi difficile (je ne perçois que le sens mathématique), si cela peut te rassurer, mais je ne suis ni physicien, ni mathématicien

Patrick

[doul11]

Si, je vois très bien l'invariance de jauge, et je suis familier avec le fait que l'addition d'une fonction scalaire dans le potentiel ne change pas les lois de l'électromagnétisme. Ce que je ne comprend pas, c'est comment on relie cette invariance au groupe U(1) ?

D'autres seront bien plus compétant que moi pour expliquer ceci, pour cela il faudrait que j'ai moi même bien compris ces notions, ce qui n'est pas le cas. Pour bien voir les symétries il faut passer par une formulation analytique (lagrangienne) : http://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_theory

Et j'ai l'impression que vous ne voyez pas ma question ... Je ne m’intéresse pas spécialement au cas quantique.

En fait si : s'est uniquement en physique quantique que les particules élémentaire sont des représentions irréductibles des groupes de symétrie des théorie de jauges.

[chaverondier]

Une vulgarisation. Patrick

Pas mal.

J'ai regardé le lien avec la vulgarisation. C'est plutôt bien fait, mais j'ai toujours une question qui reste : j'ai mes représentations du groupe U(1). Comment je les relie aux quantités conservées ? je suppose que c'est grâce au théorème de Noether, mais je ne vois pas comment ...

Par exemple, dans le lien, il est dit que l’électromagnétisme est invariant selon l'action du groupe U(1). Déjà, j'ai du mal à voir le rapport avec l'invariance si on change de potentiel, mais admettons. Ma question est la suivante : comment, avec les représentations irréductibles de U(1), détermine-t-on le fait que la charge électrique soit conservée et vale un entier relatif ?

Ce document 2. Symétrie et transformation de jauge répond à votre question. Introduction aux théories de jauge les plus courantes complète et généralise ces considérations aux théories de jauge non abéliennes.

Le post de Michel Talon 2. Théories de jauge (l'un des très rares ex-participants à un forum français non modéré de physique qui y disait des choses correctes et intéressantes) est utile aussi et reste très synthétique. La lecture de son post exige toutefois, en prérequis, des notions relatives au formalisme des fibrés et des connexions Espaces Fibrés.

Que viennent faire les représentations irréductibles dans la réflexion physique ?

Elles servent notamment à définir la notion de particule élémentaire.

Groupe de Poincaré et théorie relativiste des champs

Définition d'une particule
Que peut-on attendre d'une particule ? Il paraît raisonnable de demander à une particule de posséder certaines grandeurs caractéristiques intrinsèques comme la masse, le spin, ... Ces grandeurs intrinsèques peuvent justement être obtenues à partir des opérateurs d'entrelacement, ou, plus précisement, des opérateurs de Casimir. Ceux-ci ne peuvent fournir de grandeur intrinsèque que si la representation du groupe de symétries G dans l'espace des états H est irréductible. Etant donné un groupe G, ce qui précède nous amène à donner la définition d'une particule élémentaire.
Définition I.3.1 (Particule élémentaire)
Soit G un groupe. Une particule éleméntaire est une représentation irréductible unitaire du groupe G, qui est alors par définition le groupe de symétries de la particule.

[gatsu]

Si, je vois très bien l'invariance de jauge, et je suis familier avec le fait que l'addition d'une fonction scalaire dans le potentiel ne change pas les lois de l'électromagnétisme. Ce que je ne comprend pas, c'est comment on relie cette invariance au groupe U(1) ?

Salut,

On définit des particules qui sont les quantas d'un champ dont le lagrangien est invariant sous U(1) global. Physiquement parlant il existe donc une charge de Noether associée à cette symétrie globale que l'on définit comme étant la charge électrique. On se demande ensuite ce qu'il faut faire si on souhaite que le lagrangien soit invariant sous U(1) local. On remarque que ce n'est pas possible avec un champ libre uniquement mais qu'il faut ajouter un champ en plus dans la lagrangien dont la variation compensera le caractère local de U(1). Le champ additionnel en question pour U(1) est le champ électromagnétique et dispose d'un lagrangien invariant de jauge.

Au final, si l'on souhaite assurer une conservation locale de la charge électrique, il est nécessaire de faire interagir les particules chargées avec un champ électromagnétique qui sera donc le champ de jauge vecteur de l'interaction entre particules chargées.

[invite6754323456711]

Elles servent notamment à définir la notion de particule élémentaire.

Pas mal aussi, cela permet de voir plus clair avec la notion "système" en physique, la ou on cherche une définition d'ensemble, muni d'une certaine structure afin de voir apparaître la notion de groupe comme ensembles d'automorphismes de la structure. Car bien souvent dans le langage de la physique, ils apparaissent comme  symétries  des systèmes (sans bien définir ce que recouvre cette notion de système).

Patrick

[invite6754323456711]

Pas mal aussi,

Autre point remarquable :

Définition I.3.1 (Particule élémentaire)
Soit G un groupe. Une particule éleméntaire est une représentation irréductible unitaire du groupe G, qui est alors par définition le groupe de symétries de la particule.

Les symétries liées à la notion mathématique de groupe sont utilisées non plus de manière descriptive mais de manière constructive pour bâtir une théories de particules en interaction.

Patrick

[sailx]

Merci beaucoup pour toutes ces réponses ! C'est assez riche et je pense que tout digérer va me demander un peu de temps.

Mais, en gros, le liens entre physique et Théorie des représentations, c'est :
on observe une symétrie/invariance.
Ces symétries forment un groupes, et c'est ce groupe que l'on étudie.
Les représentations irréductibles nous donnent alors les différentes particules envisageables.

Mais alors pourquoi est-ce qu'on étudie les symétries du groupe de Lorentz ? (et de Poincaré ?) elles amènes des particules ?
Et dans le cas de l'éléctromagnétisme, les charges possibles sont les entiers relatifs ? Et comment sait on à quelle particule correspond quelle charge ?

merci

[chaverondier]

Les symétries liées à la notion mathématique de groupe sont utilisées non plus de manière descriptive mais de manière constructive pour bâtir une théories de particules en interaction. Patrick

C'est aussi ce qu'on fait dans la formulation lagrangienne des lois de la physique, quand on cherche à les modéliser en recherchant un Lagrangien invariant sous l'action d'un groupe qu'on suppose être groupe d'invariance des lois de la physique. Quand on envisage l'hypothèse d'une violation de symétrie, on perd une exigence très contraignante et du même coup un guide fort dans le choix des possibilités de réponse à telle ou telle question. C'est précisément la raison pour laquelle, on n'abandonne pas facilement une hypothèse de symétrie qui s'est avérée particulièrement fructueuse.

Cela dit, je continue à m'interroger au sujet d'une symétrie : l'invariance de Lorentz. Plus précisément je m'interroge sur :

• la validité de l'hypothèse d'universalité du principe de relativité du mouvement et de l'invariance de Lorentz qui en découle (au passage, je verrais plutôt le principe de relativité du mouvement comme une conséquence de l'invariance de Lorentz). Je ne vois pas bien comment cette hypothèse d'universalité peut être envisagée à toutes les échelles alors qu'elle perd toute pertinence à l'échelle de Planck. Le fait que ce conflit ne puisse être (très) directement observé à notre échelle est-il suffisant pour dire qu'il n'y a pas de problème ? (pas vu pas pris selon l'adage positiviste bien connu ?)
• le mécanisme à l'origine de l'irréversibilité (et de l'indéterminisme) de la mesure quantique.

Comment admettre que cette irréversibilité, et de ce fait les notions de passé et de futur, dépende de façon forte de notre échelle d'observation (je veux dire par là d'une fuite d'information irréversible seulement à l'échelle macroscopique, donc "peu objective") ? N'est-il pas raisonnable d'envisager (comme le recherche Gerard 't Hoft) que cette fuite d'information puisse s'effectuer à l'échelle de Planck, donnant ainsi à l'écoulement irréversible du temps un caractère plus objectif et à l'invariance de Lorentz un caractère d'émergence thermodynamique statistique selon un mécanisme de fuite "objective" d'information à l'échelle de Planck (restant à modéliser puis vérifier d'une façon ou d'une autre) ?

En fait, je ne vois pas bien comment faire autrement pour réconcilier logiquement deux évolutions mathématiquement incompatibles cohabitant dans une même théorie, la théorie quantique. Je veux évoquer (cf par exemple Comprenons nous vraiment la mécanique quantique ? de Franck Laloë ) :

• la dynamique d'évolution normale (déterministe, réversible c'est à dire isentropique, locale, unitaire) de la fonction d'onde
• l'évolution brutale (indéterministe, irréversible, non locale en violation de l'unitarité) incompatible avec cette dynamique obtenue à l'issue d'une mesure quantique

2 Des difficultés, des paradoxes
Dans la plupart des cas, la fonction d'onde évolue de façon parfaitement régulière et prédictible selon l'équation de Schrödinger; cependant, dès que l'on effectue une mesure, elle effectue des sauts imprévisibles, selon le postulat de réduction du paquet d'onde. Evidemment, avoir deux postulats distincts pour l'évolution d'un système physique reste à l'heure actuelle source de sérieuses difficultés conceptuelles et logiques. Pourquoi donc deux postulats distincts ? Où exactement s'arrête le domaine d'application du premier, où commence celui du second ? Parmi toutes les interactions-et perturbations- lesquelles doivent être considérées comme ordinaires, lesquelles relèvent de la mesure ?

La réponse à cette question met en cause (à mon avis, très minoritaire car ayant pour conséquence une interprétation réaliste du vecteur d'état) la fameuse "coexistence pacifique" entre la relativité et la non localité quantique. Dans le cas inverse, il faut admettre que la notion d'information est plus fondamentale que la notion de temps. Les informations ne s'acquièrent pas au fil du temps, c'est le temps qui se déroule au fil des enregistrements et échanges d'information (un peu comme l'espace "s'étend" dans le contenu énergie-matière de l'univers et non l'inverse) ? C'est très difficile à avaler.

[invite6754323456711]

C'est très difficile à avaler.

S’engager dans une voie de thermodynamique c'est aussi à base de modèle probabiliste car pour interpréter les statistiques il faut faire usage de probabilité.

Patrick

[chaverondier]

S’engager dans une voie de thermodynamique c'est aussi à base de modèles probabilistes car pour interpréter les statistiques il faut faire usage de probabilités.
Patrick

C'est déjà fait et très largement développé dans le cadre de la logique et de l'information quantique. Il n'y est pas possible de dissocier information et probabilité. Toutefois, ça ne suffit pas (à mon avis) pour résoudre (en profondeur) le problème de la mesure quantique et de l'obtention d'un résultat de mesure unique sans que l'on sache dire quand et comment cela se produit en violation de la dynamique hamiltonienne des évolutions quantiques.

Ce n'est que mon avis (je devrais dire mon sentiment, ce serait plus juste). Des chercheurs tels que Michel Bitbol ou comme Christopher Fuchs par exemple estiment qu'il n'y a pas de problème. Je veux bien croire que le vecteur d'état quantique soit, dans le cadre de la théorie quantique actuelle, un outil dont les seules possibilités soient celles d'un outil de prédiction statistique

In Section 3 "Why Information?", I reiterate the cleanest argument I know of that the quantum state is solely an expression of information—the information one has about a quantum system. It has no objective reality in and of itself. In Section 5 “Whither Bayes Rule?,” the proof technique used for showing the theorem indicates an extremely strong analogy between quantum collapse and Bayes’ rule in classical probability theory: Up to an overall unitary “readjustment” of one’s knowledge (that takes into account details of the measurement interaction as well as one’s initial state of knowledge), quantum collapse is precisely Bayesian conditionalization.

Toutefois, malgré tout l'intérêt que je porte à ce qu'il écrivent (cf par exemple [URL="http://michel.bitbol.pagesperso-orange.fr/genproba.html"]LA MECANIQUE QUANTIQUE COMME THEORIE DES PROBABILITES GENERALISEE[URL] de Michel Bitbol ou encore [URL="http://arxiv.org/abs/quant-ph/0106166"]Quantum Foundations in the Light of Quantum Information[URL] de Christopher Fuchs), je ne parviens pas à me convaincre qu'un état quantique ce ne soit que ça, qu'un état quantique ne soit pas la traduction mathématique d'un champ physique s'étendant dans l'espace et que cette "conclusion" soit le fin mot de l'histoire.

Pour être plus concret quand, par exemple, je projette un doublet de particules A et B initialement dans un état quantique non séparable (l'état singulet d'un couple de particules à 2 états par exemple) dans un état séparable par une mesure en A, le point de vue positiviste affirme qu'il y a en quelque sorte deux réalités à l'issue de cette mesure.

• Une réalité perçue par celui qui réalise la mesure en A. Pour lui, de l'autre côté, la particule B est projetée dans un état corrélé à celui observé en A dès qu'il a réalisé sa mesure
• De l'autre côté, en B, tant que l'observateur ne procède à aucune mesure, il ne se passe rien (disent les positivistes). Pourquoi ? Parce qu'on ne peut pas prendre la particule B en flagrant délit de changement d'état instantané à distance sous l'action de la mesure réalisée en A. B ne sait pas que sa particule vient de changer d'état et ne peut pas accéder à cette information (en tout cas, s'il existe un moyen, il est très bien caché. On le cherche sans le trouver depuis 80 ans et on peut démontrer que ce n'est pas possible dans le cadre théorique actuellement en vigueur).

Adoptons maintenant un point de vue réaliste. Pourquoi est-ce que je n'arrive pas à prendre la particule B en flagrant délit de changement d'état ? Non pas parce que ce changement ne s'est pas produit, mais parce que les conditions permettant l'observation de ce changement d'état ne sont pas réunies. Une information sur l'état d'un système ne peut être acquise que si elle correspond au résultat d'une mesure. Celle-ci provoque la prolifération sélective d'informations enregistrées de façon fortement redondante dans l'environnement.

Après une telle action de mesure plusieurs observateurs distincts peuvent acquérir une même information sur l'état d'un système sans perturber cet état (cf [URL="http://arxiv.org/abs/quant-ph/0408125"]Environment as a witness : Selective Proliferation of Information and Emergence of Objectivity in a Quantum Universe[URL] de Harold Ollivier, David Poulin, Wojciech H. Zurek). Malheureusement, l'action de mesure modifie l'état du système (s'il n'est pas état propre de l'observable mesurée). En B, on ne peut connaître que l'état obtenu à l'issue de la mesure réalisée en B et non l'état obtenu avant cette mesure (celui créé par la mesure réalisée en A).

La méthode scientifique, basée sur la répétabilité des observations, est possible seulement grâce à ce mécanisme de prolifération d'informations redondantes enregistrées dans l'environnement lors des mesures. C'est ce mécanisme qui nous permet de nous informer sur l'univers qui nous entoure et d'en dégager une information commune partagée par des observateurs distincts (information présentant dès lors un caractère intersubjectif). Devons nous en conclure que seul le flagrant délit soit une preuve acceptable d'existence de tel ou tel phénomène ou objet ? Devons nous considérer que tout faisceau de présomptions convergentes quant à l'existence d'un phénomène donné (tel que l'action instantanée à distance sur l'état d'une particule B par mesure d'une propriété EPR corrélée d'une particule A) doive être impitoyablement écarté au profit de la présomption d'inexistence ?

C'est ce que pensent les positivistes. Ils considèrent que de telles présomptions intègrent implicitement (et systématiquement estiment-ils) un préjugé réaliste qui n'a pas lieu d'être (l'hypothèse réaliste d'Einstein, le perdant de la bagarre contre Bohr et Born, hypothèse selon laquelle le vecteur d'état nous dit quelque chose sur un objet réel). Ce n'est toutefois pas l'avis de Matthew F. Pusey, Jonathan Barrett, Terry Rudolph par exemple, cf On the reality of the quantum state

[invite6754323456711]

Adoptons maintenant un point de vue réaliste.

Cette interprétation du formalisme quantique, ou l'état est une propriété intrinsèque de la particule, conduit au free will theorem.

Patrick

[kalish]

C'est très intéressant mais un peu hors sujet non?

Merci beaucoup pour toutes ces réponses ! C'est assez riche et je pense que tout digérer va me demander un peu de temps.

Mais, en gros, le liens entre physique et Théorie des représentations, c'est :
on observe une symétrie/invariance.
Ces symétries forment un groupes, et c'est ce groupe que l'on étudie.
Les représentations irréductibles nous donnent alors les différentes particules envisageables.

Mais alors pourquoi est-ce qu'on étudie les symétries du groupe de Lorentz ? (et de Poincaré ?) elles amènes des particules ?
Et dans le cas de l'éléctromagnétisme, les charges possibles sont les entiers relatifs ? Et comment sait on à quelle particule correspond quelle charge ?

merci

Un casimir associé au groupe de Poincaré est justement la masse propre ( son carré en fait ), donc forcément ça amène à des particules, qu'est-ce qui définit une particule? Il faut bien définir des quantité invariantes, c'est la seule façon de créer un objet que l'on appellera ensuite "particule".