Position d'équilibre stable

[invite1a299084]

Bonsoir à tous,

Je suis entrain de faire un exercice de mécanique sur les particules chargées.

On considère V(r) = V0 * (z² - (x²+y²)/2)

La question est: Montrer que la particule n'a pas de position d'équilibre stable.

Donc j'ai commencé par calculer l'énergie potentielle: Ep = qV = qV0*(z²-(x²+y²)/2)

Ensuite je calcule: grad (Ep)

Je trouve: grad Ep = (-qV0x,-qV0y,2qV0z)

La position d'équilibre est stable si grad Ep = 0 donc j'en déduis que x = 0, y=0, z = 0

Je ne comprends pas trop comment montrer que la particule n'a pas de position d'équilibre stable...

Merci d'avance.
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[Bruno]

Bonjour,

L'annulation du gradient est une condition nécessaire mais non suffisante pour un équilibre stable. Vous avez trouvé que (0,0,0) annulait le gradient, il reste à déterminer à quel type de point vous avez affaire, par exemple en étudiant la matrice hessienne.

[albanxiii]

Bonjour,

Autrement dit, pour parler un peu de physique, il faut regarder ce qui se passe si vous écartez légèrement un point matériel de sa position d'équilibre. S'il oscille autour de cette position, c'est une position d'équilibre stable, et s'il part à l'infini, elle est instable.

Faite un dessin à deux dimension avec un potentiel en et un autre en et faites la démarche que j'ai expliquée. Le point est un point d'équilibre dans les deux cas, mais un seul est stable.

En 3D, c'est juste une généralisation, et il faut regarder la matrice hessienne, comme vous l'a dit Bruno.

Bonne journée.