Energie cinétique d'une boule en rotation

[Cajanec]

Bonjour,

J’ai une difficulté à exprimer l’énergie cinétique d’un solide en rotation
Pourriez-vous m’éclairer svp ?

Je considère 3 cas :

1) Une boule homogène de masse M a son centre de gravité qui effectue un mouvement parfaitement circulaire, de rayon R.
Dans le même temps, cette boule tourne sur elle-même autour d’un axe passant par son centre avec une fréquence N plus rapide que le mouvement révolution.
(Cela ressemble à ce qui se passe avec la terre, sauf qu’ici le mouvement de G est circulaire)
Voir image1
Image1.jpg
2) Une boule homogène de masse M a son centre de gravité qui effectue un mouvement parfaitement circulaire, de rayon R.
Dans le même temps, cette boule tourne sur elle-même autour d’un axe passant par son centre avec la même période que le mouvement de révolution.
(Cela ressemble à ce qui se passe avec la lune, sauf qu’ici le mouvement de G est circulaire)
Voir image2
Image2.jpg
3) Une boule homogène de masse M a son centre de gravité qui effectue un mouvement parfaitement circulaire, de rayon R.
La boule effectue un mouvement de translation circulaire.
Voir image3
Image3.jpg
Est-ce que, pour l’un des cas ci-dessus, l’énergie cinétique de la boule vaut Ec=1/2.M.R².w²=1/2.M.V_G² ? Avec w la vitesse angulaire en rad/s et V_G la vitesse linéaire du centre de gravité.
Si oui, pour quel cas ? Personnellement je dirais que c’est pour le cas 3.

Ensuite mon hypothèse est que pour les cas 1 et 2, l’énergie cinétique de la boule vaut :
Ec=1/2.M.V_G² + 1/2.J.w² avec J=2/5.M.R² et w=2.π.N
N, la fréquence, étant finalement la seule différence entre les cas 1 et 2.

Est-ce correct ? Est-ce que l'Ec totale dépend de l'orientation de l'axe autour duquel la boule tourne sur elle-même ?
Merci par avance.
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[LPFR]

Bonjour.
Dans les trois cas, l'énergie cinétique est la somme de celle de la rotation de la boule sur elle-même plus celle de la rotation de la boule autour du centre "de l'orbite".
Et si on veut être correct, l'énergie de rotation de la boule autour du centre de l'orbite n'est pas exactement ½ M Vg², car la boule n'est pas ponctuelle. Il faudrait utiliser le moment d'inertie de la boule autour du centre de l'orbite et la vitesse angulaire de ce mouvement.

Dans le cas 2 les deux mouvements ont la même vitesse angulaire et dans le cas 3 une des vitesses angulaires est nulle.
Au revoir.

[Cajanec]

Bonjour LPFR,

Merci pour votre réponse.
J’ai quelques questions complémentaires, si vous le voulez bien.

Quand vous écrivez « L’énergie de rotation de la boule autour du centre de l’orbite n’est pas exactement ½.M.VG2, car la boule n’est pas ponctuelle. Il faudrait utiliser le moment d’inertie de la boule autour du centre de l’orbite et la vitesse angulaire de ce mouvement. »
Est-ce valable également pour le cas 3 ? Car pour le cas 3, il ne s’agit pas d’une rotation mais bien d’une translation. Ça me fait bizarre d’utiliser un moment d’inertie pour une translation.

Ensuite ce qui me perturbe, et ce n’est pas simple à exprimer clairement, c’est que pour le cas 1 :
- nous avons une énergie cinétique A due au mouvement de révolution de la boule
- nous avons une énergie cinétique B due au mouvement de rotation de la boule sur elle-même
Mais cela me semble potentiellement faux d’additionner les énergies cinétiques A et B pour obtenir l’énergie cinétique totale de la boule.
Ne peut-on pas s’imaginer avoir une énergie cinétique B qui « va à l’encontre » de l’énergie cinétique A ; il faudrait alors les soustraire…
Cela ne dépend-il pas du sens de la rotation et du sens de la révolution ?
Cela ne dépend-il pas également de l’inclinaison de l’axe de la rotation par rapport à l’axe de la révolution ?

Pardonnez mon manque de maîtrise de ce sujet.

Je vous remercie par avance pour votre aide.

[LPFR]

Bonjour.
Effectivement, vous avez raison. J'ai raconté des c...

L'énergie cinétique est bien

Le ½MR² est le moment d'inertie avec la masse de la boule localisée au centre de masses.
Dans le cas de la translation c'est la vitesse de rotation de la boule wb qui est nulle.
Dans les autres cas, que la boule tourne à vitesse w_g ou -w_g ne change rien.

Il n'y a pas d'énergie qui va à l'encontre d'une autre.
Et si l'axe de rotation de la boule sur elle même est quelconque (dans le plan, par exemple), c'est la même chose
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Cajanec]

Merci LPFR, et bonne journée