relativité générale:question sur les variétés

[maatty]

Bonjours à tous,
Je travaille actuellement sur la relativité générale (juste à titre personnel) j'aurais une question un peu technique sur les variétés (je bosse la RG):Comment ,à partir d'un élément de longueur de l'espace bidimensionnel,montre-t-on que sa géométrie peut être plongée dans un espace euclidien tridimensionnel?Je ne comprends pas bien pourquoi,à priori, ce n'est pas toujours le cas( ne peut on pas toujours considérer qu'un espace 2D est contenu dans un espace 3D euclidien?) .Il semble que ce soit un point important des variétés mais j'ai un peu de mal à l'appréhender(existence en soit par delà l'existence d'un espace de dimension supérieure).
De plus comment, a partir de la métrique(de l'élément de longueur) retrouver les équations décrivant la 2-surface correspondante?Je suis conscient que c'est peut être plus une question mathématique que physique mais je vous serez extrêmement reconnaissant pour tout éclaircissement.
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[Amanuensis]

Je travaille actuellement sur la relativité générale (juste à titre personnel) j'aurais une question un peu technique sur les variétés (je bosse la RG):Comment ,à partir d'un élément de longueur de l'espace bidimensionnel,montre-t-on que sa géométrie peut être plongée dans un espace euclidien tridimensionnel?Je ne comprends pas bien pourquoi,à priori, ce n'est pas toujours le cas( ne peut on pas toujours considérer qu'un espace 2D est contenu dans un espace 3D

Il faut distinguer "être contenu dans", qui est une simple relation ensembliste, et "plongement". Dans le second cas, la variété plongée est munie de la topologie induite par celle de l'espace dans lequel elle est plongée, ce qui limite les possibilités.

Par exemple, on ne peut pas plonger la bouteille de Klein ou le plan projectif dans R^3.

En plus, pour compliquer un peu les choses, en RG on travaille avec des variétés différentielles, et on demande donc un difféomorphisme et pas seulement un homéomorphisme. (Par exemple la ligne x=0 est un plongement difféomorphe de la ligne réelle dans R^2, mais la courbe y=|x|, non.) Dans le cas différentiel, il y a une notion intermédiaire, l'immersion. (On peut en faire une immersion de la bouteille de Klein dans R^3, le dessin usuel, avec auto-intersection de la surface, ce qui est possible pour une immersion mais pas pour un plongement. )

euclidien?) .

En précisant "euclidien", vous parlez, peut-être encore d'autre chose. Faut distinguer (par exemple) la variété R^4 de l'espace euclidien R^4. Le premier est muni d'une métrique, pas le second. Un plongement isométrique est une contrainte encore plus forte : on veut que la métrique induite corresponde à une isométrie.

Les contre-exemples sont plus simples dans ce cas : on ne peut pas plonger isométriquement un tore (muni de la métrique homogène) dans R^3 euclidien. (Mais on peut dans R^4.)

De plus comment, a partir de la métrique(de l'élément de longueur) retrouver les équations décrivant la 2-surface correspondante?

Je ne comprends pas la question. Le tore et le plan euclidien ont localement la même métrique, mais sont des surfaces distinctes.

[invite93279690]

Bonjours à tous,
Je travaille actuellement sur la relativité générale (juste à titre personnel) j'aurais une question un peu technique sur les variétés (je bosse la RG):Comment ,à partir d'un élément de longueur de l'espace bidimensionnel,montre-t-on que sa géométrie peut être plongée dans un espace euclidien tridimensionnel?Je ne comprends pas bien pourquoi,à priori, ce n'est pas toujours le cas( ne peut on pas toujours considérer qu'un espace 2D est contenu dans un espace 3D euclidien?) .Il semble que ce soit un point important des variétés mais j'ai un peu de mal à l'appréhender(existence en soit par delà l'existence d'un espace de dimension supérieure).
De plus comment, a partir de la métrique(de l'élément de longueur) retrouver les équations décrivant la 2-surface correspondante?Je suis conscient que c'est peut être plus une question mathématique que physique mais je vous serez extrêmement reconnaissant pour tout éclaircissement.

Salut,

Il me semble que toute variété réelle de dimension quelle qu'elle soit peut être plongée dans une variété de dimension (en particulier dans ) et ce indépendament de sa métrique.

Maintenant si une métrique (euclidienne par exemple) est utilisée dans alors elle induit nécessairement une métrique particulière sur la n-variété étudiée.

Par exemple, le cercle de rayon unité peut naturellement être plongé dans . Si on affuble d'une métrique euclidienne telle que l'élement de longueur élementaire est , on peut en déduire la métrique induite sur le cercle de rayon unité sachant que l'on a en général et . On a donc .
En utilisant le fait que et sur le cercle unité, on obtient .

[Amanuensis]

Il me semble que toute variété réelle de dimension quelle qu'elle soit peut être plongée dans une variété de dimension

Ennuyeux pour moi, cela contredit mon message !

Quelle équation proposeriez-vous pour un plongement de la bouteille de Klein dans R^3 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[maatty]

D'accord,je n'avais pas réfléchi au fait qu'il ne s'agit pas simplement d'une inclusion au sens ensembliste mais d'une sous variété dont la métrique est induite.
ma question est alors la suivante :Mon espace bidimensionnel est muni de la métrique suivante: ds^2=dr^2/(1-2u/r) +r^2dphi^2
je dois montrer qu'on sa géométrie peut être plongee ds l'espace euclidien R3 et trouver les equations decrivant la 2-surface en question.
Pourriez vous me donner des pistes de reflexion et de résolution.
Je vous remercie.
Ps:il s'agit en fait d'un exercice tiré du livre RG(Hobson,efstathiou,Lasenby)

[Amanuensis]

Une carte sera une fonction x(r, phi), y(r, phi), z(r, phi) telle que ds² = dx²+dy²+dz², c'est à dire dr^2/(1-2u/r) +r^2dphi^2 = dx²+dy²+dz², avec , et similaire pour les autres.

Cela donne 3 équations aux dérivées partielles (les termes resp. en dr², dphi² et drdphi).

Evidemment, on est ici guidé par les notations à tester r²=x²+y², x=rcos(phi), y=rsin(phi), et chercher z, qu'on peut s'attendre, à vue, à ce qu'elle soit seulement fonction de r...

Ensuite, selon ce qu'on trouve comme cartes, on essaye de les combiner pour obtenir un atlas maximal.

(Cela permet de trouver une solution. Mais c'est nécessairement à une isométrie près, ce qui laisse 6 degrés de liberté... )

[invite93279690]

Ennuyeux pour moi, cela contredit mon message !

Quelle équation proposeriez-vous pour un plongement de la bouteille de Klein dans R^3 ?

Au temps pour moi ! Je ne connaissais pas ces cas particuliers. Maintenant je le saurai.

[invitefc7d7ed3]

Pour la question des dimensions pour un plongement, il me semble (à vérifier) que le résultat général est qu'on peut plonger une variété de dimension n en dimension 2n.

[azizovsky]

Salut , il y'a aussi La lemniscate n'est pas une sous-variété du plan, car elle a un point double. On peut la voir comme l'image d'un cercle par une immersion, mais pas un plongement, http://fr.wikipedia.org/wiki/Lemniscate_de_Bernoulli

[Amanuensis]

Pour la question des dimensions pour un plongement, il me semble (à vérifier) que le résultat général est qu'on peut plonger une variété de dimension n en dimension 2n.

Théorème de Whitney : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...ent_de_Whitney (vaut mieux aller voir la version anglophone, qui donne plus rigoureusement les contraintes, par exemple je ne pense pas que la longue ligne soit plongeable dans R²...)

[azizovsky]

Théorème de Whitney : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...ent_de_Whitney (vaut mieux aller voir la version anglophone, qui donne plus rigoureusement les contraintes, par exemple je ne pense pas que la longue ligne soit plongeable dans R²...)

il y'a aussi e façon générale, un plongement permet d'inclure une variété dans une autre en respectant la structure différentielle. Une application p d'une variété X dans M est appelée plongement quand p est une immersion et un homéomorphisme sur son image Y=p(X). Dans ce cas, Y est une sous-variété de M. Le théorème de plongement de Whitney montre que toute variété différentielle peut être plongée dans un espace ℝp pour un p suffisamment grand, c'est-à-dire que toute variété peut être vue comme sous-variété d'un tel espace vectoriel.wikipédia

[invite76543456789]

Bonjour,

par exemple je ne pense pas que la longue ligne soit plongeable dans R²...)

Indeed, elle n'est pas métrisable (car non para-compact), cela dit pour defendre le wiki franco phone, la majorité des auteurs considèrent qu'une variété est paracompacte.