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Trouver une fonction propre en physique quantique



  1. #1
    DarK MaLaK

    Trouver une fonction propre en physique quantique

    Bonjour,

    Je n'arrive pas à démarrer mon calcul pour trouver la fonction propre (et la valeur propre) de l'opérateur suivant :



    (q et p sont les opérateurs de position et moment linéaire)

    Est-ce que quelqu'un peut m'aider à me débloquer ?

    Merci d'avance.

    -----


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  3. #2
    FlyingDeutschmann

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    Si tu travailles à une dimension, tu obtiens une équation différentielle linéaire d'ordre 1 en explicitant p dans la base des positions. Tu dois probablement savoir résoudre ça.

  4. #3
    kalish

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    Il faut surement utiliser les relations de commutation entre q et p, ensuite, il faut voir que la somme de plusieurs scalaires est un scalaire, et que la somme de valeurs propres est une valeur propre.
    j'aspire à l'intimité.

  5. #4
    kalish

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    Normalement une fonction proportionnelle à devrait convenir si je me suis pas gouré.
    j'aspire à l'intimité.

  6. #5
    DarK MaLaK

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    Merci à vous deux. Je n'ai pas encore repris le calcul, mais j'avais déjà pensé aux relations de commutation entre q et p, sauf que je ne trouve pas que ça m'aide beaucoup. Tu utilises : [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    FlyingDeutschmann

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    Je crois qu'il te manque un facteur 1/x^(3/2)...

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  10. #7
    kalish

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    Non mais plutôt les relations entre q et p, [q,p]=ih d'un côté, et ensuite je suis passé en représentation x puis j'ai repris ma première équation sans ih en représentation x, ça me fait donc deux équation, je fais l'une moins l'autre et ça soustrait le terme qui m'énervait en d/dx(x^3 phi(x)). Je ne suis pas sûr de ce que j'ai fait. mais ensuite j'ai une équation diff et je la résoud.
    Dernière modification par kalish ; 21/09/2012 à 01h30.
    j'aspire à l'intimité.

  11. #8
    DarK MaLaK

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    Je pense arriver à la solution avec la méthode de FlyingDeutschmann (je n'ai pas encore trouvé la valeur propre) mais je ne comprends pas trop ce que tu fais, kalish. Si tu as un moment pour écrire tes premiers calculs, je suis preneur.

  12. #9
    kalish

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    ben je l'ai écrit je résoud une équation différentielle. Tu ne connais pas les relations de commutation entre q et p? Quelle est l'équation que tu as trouvé? et quelle est la solution?
    j'aspire à l'intimité.

  13. #10
    kalish

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    Effectivement comme l'a dit flying deutchman il me manque quelque chose.

    je tombe donc sur une solution du type



    Dis donc ils sont sympas tes exercices de MQ j'aurais bien aimé avoir les mêmes!!

    Pour faire vite:
    Les relations de commutations donnent

    On passe ensuite en représentation position


    on soustrait l'un à l'autre et ensuite on peut résoudre une équation différentielle.
    Dernière modification par kalish ; 21/09/2012 à 15h07.
    j'aspire à l'intimité.

  14. #11
    kalish

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    pardon on passe en représentation position après avoir soustrait.
    j'aspire à l'intimité.

  15. #12
    DarK MaLaK

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    Ok merci, kalish, j'ai compris ! J'avais bien trouvé cette relation de commutation avec la formule que j'ai citée plus haut mais sans aller au bout du raisonnement... Je t'écris mon calcul car je ne trouve pas le même résultat que toi.



    Donc :



    On peut donc soustraire l'équation suivante à celle qui vient d'être trouvée :



    On obtient :



    Maintenant, je projette sur le bra <q| :



    Voilà, il me reste à réfléchir pour trouver la valeur propre. Mais j'ai juste une question avant, sur la projection : j'ai le droit d'applique l'opérateur sur le bra <q| et ensuite de sortir d/dq comme je le fais ? Et "malheureusement", ce n'est qu'une petite application d'une des premières pages du cours, mais il me fallait bien ça pour me rafraîchir la mémoire sur le fonctionnement des opérateurs !

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  17. #13
    kalish

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    oups désolé j'ai parlé trop vite

    je sais pas ce que j'ai fait, je suis arrivé à avoir du q^2/3 à un moment, une grosse bourde. c'est bon c'est ça.
    Dernière modification par kalish ; 21/09/2012 à 18h59.
    j'aspire à l'intimité.

  18. #14
    DarK MaLaK

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    Tu veux dire que ma solution est correcte ? Mais par rapport à ma question sur la projection, tu as une réponse ? Aucune condition pour faire ce que j'ai fait ? Et j'aurais une question de plus due encore à ma mémoire qui flanche ! Quelle est la différence entre un opérateur hermitien et un opérateur auto-adjoint ?

  19. #15
    kalish

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    Il n'y a pas de différence, par contre je suis nul en MQ.
    Tu peux peut-être voir que l'opérateur X appliqué à d phi/ dx donne aussi x c'est l'opérateur qui donne la position, donc que ce soit phi ou d phi/dx ça ne doit pas poser de pb. De toutes façon la valeur propre de cette opérateur ne peut être que réel. Que signifie pour toi la projection? il s'agit d'adopter la représentation position, mais je comprends que ça ne soit pas clair.
    j'aspire à l'intimité.

  20. #16
    DarK MaLaK

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    Si, il y a une différence, cet exemple est introduit dans mon cours juste pour dire que cet opérateur est hermitien mais avec une valeur propre imaginaire pure. Mais apparemment il n'est pas auto-adjoint. Et c'est ce qui n'est pas clair pour moi, au-delà du calcul. Sinon, pour moi, la projection, c'est pareil que la représentation dans ce cas. J'aurais projeté sur <p| si j'avais voulu avoir la fonction d'onde en fonction de p au lieu de q.

  21. #17
    kalish

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    et bien tu me diras la différence alors car je ne la connais pas, on m'a toujours dit que c'était équivalent:
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Endomorphisme_autoadjoint
    les valeurs propres d'un opérateur hermitien sont réelles.
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Hermiti...teur_hermitien
    j'aspire à l'intimité.

  22. #18
    DarK MaLaK

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    Justement, je cherche la différence. Wikipédia ne m'a pas trop aidé non plus ! Je vais peut-être regarder dans un livre... En tout cas, cette différence semble exister ; il est dit dans mon cours que les observables sont des opérateurs auto-adjoints (sous-entendu : pas forcément des opérateurs hermitiens...). Merci de ton aide pour le calcul en tout cas !

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  24. #19
    kalish

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    ? Où est-ce que tu le vois ton sous entendu? A partir de quoi cette phrase te permet de dire "sous entendu"...

    il est dit dans mon cours que les observables sont des opérateurs auto-adjoints (sous-entendu : pas forcément des opérateurs hermitiens...)
    moi je dirais plutôt sous entendu hermitiens:
    Citation Envoyé par wikipedia
    Dans une base orthonormale, la matrice d'un tel opérateur est égale à la transposée de sa conjuguée, on dit que la matrice est hermitienne (ou auto-adjointe). Notons : . Alors si , A est la matrice d'un opérateur hermitien.
    j'aspire à l'intimité.

  25. #20
    DarK MaLaK

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    Je n'ai pas recopié mon cours tel quel. Je vais t'écrire la partie en question et tu me diras ce que tu en penses :

    "An observable O is said to be bounded if is well-defined for all states , i.e. the eigenvalues of O cannot be arbitrary large. If this is not the case, O is said to be unbounded. When considering unbounded observables, like q and p above, one may encounter mathematical subtleties. As an illustration we may again consider the free particle on the real line. The operator

    is hermitian but, nevertheless, it has a square integrable eigenfunction with a purely imaginary eigenvalue. Strictly speaking the observables in quantum mechanics are supposed to be self-adjoint operators. For bounded operators an hermitian operator is self-adjoint. For unbounded operators this is, as we have seen in the example above, not true in general."

    Voilà.

  26. #21
    kalish

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    ben du coup tu as la réponse, c'est la traduction qui pose problème? Tu remarqueras que la base des positions est infinie tout comme la base des moments, du coup tu vas avoir bien du mal à écrire la matrice qui représente l'opérateur, et donc bien du mal à prouver qu'elle est ou non auto adjointe, mais c'est sur qu'avec une valeur propre imaginaire, elle ne l'est pas.

    En terme de matrices, auto adjoint, ça veut dire transposée conjuguée, si tu as une infinité de valeurs propres comment tu fait pour écrire ta matrice et la transposer, il faut déjà connaitre sa taille.
    Dernière modification par kalish ; 21/09/2012 à 22h22.
    j'aspire à l'intimité.

  27. #22
    DarK MaLaK

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    Je ne crois pas que la traduction me pose problème. Donc il faudrait définir les concepts comme ceci ?

    Un opérateur est hermitien si (u,Ov)=(Ou,v) pour tous les vecteurs u, v dans le domaine de A.
    Un opérateur est auto-adjoint si A*=A.

    Et dire que les définitions ne sont équivalentes que si les bases ne sont pas infinies ? J'ai aussi lu sur google que la différence viendrait du fait que pour les opérateurs "non liés" les domaines de A et A* ne coïncident pas.

  28. #23
    kalish

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    Bonjour, plutôt si les valeurs propres sont infinies/non bornées comme c'est dit dans le livre. Dans le cas que tu cites les valeurs de q et de p ne sont pas bornées ET ça résulte de la taille "infinie" de l'espaces et donc du nombre infini de vecteurs propres, du moins si j'ai bien compris.
    j'aspire à l'intimité.

  29. #24
    invite76543456789
    Invité

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    Bonjour,
    Citation Envoyé par DarK MaLaK Voir le message
    Je n'ai pas recopié mon cours tel quel. Je vais t'écrire la partie en question et tu me diras ce que tu en penses :

    "An observable O is said to be bounded if is well-defined for all states , i.e. the eigenvalues of O cannot be arbitrary large.
    Au passage, ceci est malhereusement faux, il existe des operateurs non bornés dont le spectre est borné, et la phrase en elle meme est etranges ce qu'il y a apres le i.e n'est pas une reformulation de ce qu'il y a avant.

    Pour répondre a ta question, effectivement il existe des opérateurs symétriques (ou hermitien) qui ne soient pas auto adjoint, tout depend du domaine de définition de tels operateurs. En dimension fini le probleme ne se pose pas, tous les operateurs sont bornés.
    Dernière modification par invite76543456789 ; 22/09/2012 à 10h37.

  30. Publicité
  31. #25
    DarK MaLaK

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    Salut, MissPacMan, merci pour ta réponse mais ça reste un peu flou pour moi. Tu aurais un exemple d'opérateur non borné dont le spectre est borné ?

  32. #26
    invite76543456789
    Invité

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    Un contre exemple classique est donné par l'operateur de dérivation sur l'espace des fonctions lisses sur [0,1] à valeur dans C qui s'annulent en 0, muni de la norme sup.
    C'est un opérateur non borné (regarder la suite des x^n), et son spectre est vide (pour tout a T(f)-a est inversible).

  33. #27
    DarK MaLaK

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    Merci pour l'exemple. Est-ce qu'il est possible que tu me donnes ta définition d'un opérateur auto-adjoint ? J'ai parlé avec quelqu'un qui m'a dit que l'opérateur dont je parle dans cette discussion ne peut pas être auto-adjoint en raison des ensembles de départ et d'arrivée...

  34. #28
    kalish

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    je m'immisce tranquillement, je trouve que la définition d'adjoint par wikipedia est des plus touffue:
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Op%C3%A9rateur_adjoint
    ensuite auto adjoint... c'est qu'il est son propre adjoint. ça se définit à partir du produit scalaire, donc je suppose que dans une base infinie il est assez dure de faire un produit scalaire (donc borné a priori)

    la définition de wikipedia pour l'adjoint:

    donc probablement que autoadjoint c'est:
    Dernière modification par kalish ; 26/09/2012 à 22h22.
    j'aspire à l'intimité.

  35. #29
    invite76543456789
    Invité

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    Effectivement le noeud du probleme vient du domaine de définition de ton adjoint.
    Quand T est un opérateur (non borné, et en general fermé) d'un espace de Hilbert, disons H, densément définir sur un domaine D, alors tu définit d'abord le domaine d'adjonction. C'est l'ensemble des a dans H, tel que <T(.),a> soit une forme linéaire continue sur H tout entier (il est besoin du theroeme de Hahn banach ici, pour prolonger ta forme linéaire a l'espace tout entier sachant qu'elle est a priori seulement définie sur le domaine de T).
    Dans ce cas là, par le theoreme de Riesz il existe un b tel que ce truc la vaille <.,b>. Tu pose T^*(a)=b pour tous les a dans le domaine d'adjonction
    Tu as donc defini ainsi l'adjoint de T.
    T est dit auto adjoint ssi T=T* (c'est a dire que les domaines coincident et les operateur aussi).

    Kalish -> Il n'y a pas de difficulté supplementaire a faire un produit scalaire dans des espaces de dimensions infinis, la definition de l'adjonction est avant tout geométrique, vouloir le définir en tant que matrice est a mon avis une (double) erreur (je dis ca par rapport a tes mesages precedents).

    Bien sur dans la physique pratique dans 99% des cas, les operateurs sont borné sur des espaces de dimension finie et il n'y alors aucune difficulté, mais pour les resultats generaux en meca quantique (qui se passent dans L² donc, on est obligé de passer par ces theories d'operarteurs non bornés et toutes les subtilités que cela implique). D'ailleurs tu vois bien que le simple operateur impulsion n'est pas defini sur toutes les fonctions d'ondes, seulement sur celles qui sont infiniement differentiables.

  36. #30
    kalish

    Re : Trouver une fonction propre en physique quantique

    oui c'est vrai, c'était une betise, j'ai hésité à la mettre, j'aurais du hésiter plus.

    D'ailleurs tu vois bien que le simple operateur impulsion n'est pas defini sur toutes les fonctions d'ondes, seulement sur celles qui sont infiniement differentiables
    la fonction ne doit pas être différentiable en 0 non? pourtant on peut lui appliquer l'opérateur impulsion. Ne serait-ce pas seulement sur celles qui ont des domaines infiniment différentiables? Et sur le infiniment également, ne peut on pas envisager de ne pouvoir l'appliquer qu'une fois?
    j'aspire à l'intimité.

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