particule libre

[merou]

Bonjour,

l'équation de schrodinger pour une particule libre ( potentiel V =0) dans le cas unidimentionel a pour solution ce qui donne une densité de probabilité constante qui est , or on peut aussi prendre comme solution ce qui donne une densité de probabilité donc variable ! comment régler ce problème ?
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[invite93279690]

Bonjour,

l'équation de schrodinger pour une particule libre ( potentiel V =0) dans le cas unidimentionel a pour solution ce qui donne une densité de probabilité constante qui est , or on peut aussi prendre comme solution ce qui donne une densité de probabilité donc variable ! comment régler ce problème ?

Salut,

Si tu as une fonction sinus, je doute que la particule soit libre, elle est peut être "libre dans un boite" mais c'est tout.

[Amanuensis]

Je ne comprends pas. J'aurais pensé que les solutions pour une particule libre faisaient intervenir le temps (phase en i(kx-wt)). Mettre w=0 revient à donner une vitesse nulle, non ?

[merou]

posez V=0 dans l'équation de schrodinger STATIONNAIRE , dans ce cas vous avez les deux formes de la solution que j'ai mentionnées plus haut .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Paraboloide_Hyperbolique]

Dans l'équation de Schrödinger stationnaire à une dimension pour une particule libre, à savoir:



La solution générale n'est-elle pas: ?

Avec A et B des constantes qui dépendent des conditions frontières ?

Dans ce cas, suivant les conditions frontières on peut avoir ou .

[Amanuensis]

posez V=0 dans l'équation de schrodinger STATIONNAIRE .

J'avais bien compris cela. Mais s'applique-t-elle à une particule LIBRE ? Je ne sais pas, cela ne correspond pas à mes souvenirs de lecture, je pose la question.

[merou]

Dans l'équation de Schrödinger stationnaire à une dimension pour une particule libre, à savoir:



La solution générale n'est-elle pas: ?

Avec A et B des constantes qui dépendent des conditions frontières ?

Dans ce cas, suivant les conditions frontières on peut avoir ou .

Pouvez-vous préciser les frontières correspondantes aux deux solutions ?

[Universus]

Il y a deux éléments de précisions :

1) Une particule libre en mécanique quantique, tout comme en mécanique classique, n'a pas de vitesse définie a priori : dans l'espace deux objets avec des vitesses très différentes peuvent tous deux être en pleine liberté de mouvement. Donc l'équation de Schrödinger ne spécifie pas elle-même la vitesse d'une particule (à moins que tu ne vois le terme d'énergie E comme étant fixe, mais dans les faits rien ne privilégie une valeur sur une autre) : il y a quelque chose d'arbitraire dans la vitesse, ou la quantité de mouvement, ou l'énergie d'une particule.

2) L'équation de Schrödinger stationnaire est une équation du second ordre selon la variable et elle admet donc deux solutions. Une base possible est pour un k donné (donc pour une énergie donnée), et une autre base est . En utilisant des combinaisons linéaires quelconques des éléments des deux bases, on peut trouver pratiquement n'importe quelle densité de probabilité : par exemple, puisque , tu réussis très bien à obtenir une fonction d'onde en sinus à partir d'une décomposition selon la base donnée par les exponentielles complexes.

Bref, le 'paradoxe' provient du fait qu'il existe plus d'une solution à l'équation de Schrödinger libre, même pour une énergie donnée : il y a la particule qui se déplace avec une certaine vitesse vers la gauche (représentée par possiblement) et celle ayant la même vitesse, sauf dirigée vers la droite (). La fonction sinus représente une particule qui est en superposition de ces deux états, sans être dans l'un ou l'autre de ceux-ci. Il n'y a donc rien d'étonnant à ce que la densité de probabilité ne soit pas la même.

Question même de mieux comprendre la différence entre ces deux états, calcule l'espérance (à proportion près) de la vitesse de la particule, donnée par pour valant une fonction sinus ou une exponentielle complexe. Dans le cas du sinus, on obtient 0 tandis que pour l'exponentielle on obtient en valeur absolue k. Le sinus, bien qu'ayant la même énergie que l'exponentielle, ne correspond pas à une particule qui se déplace (ce qui est raisonnable selon l'interprétation que le sinus est une combinaison d'états se déplaçant avec la même vitesse dans des directions opposées).

Cordialement,

Universus

NB : En toute rigueur, aucune des fonctions considérées ici n'est intégrable sur tout l'axe réel (donc la densité de probabilité n'est pas réellement définie), même si les valeurs que j'aie données se justifient en passant à des domaines d'intégration symétriques et en extrapolant la valeur sur l'axe tout l'axe réel. Cela apporte encore plus à mon point, car en fait les vrais états physiques libres correspondent à des superpositions de avec différentes valeurs de k i.e. à des paquets d'onde. Ces particules physiques, dont les fonctions d'onde sont de carré intégrable, n'ont pas d'énergie, de momentum ou de vitesse fixe, bien qu'elles soient 'davantage' localisées : il s'agit essentiellement là du contenu des relations d'incertitude d'Heisenberg.

[Amanuensis]

Autre question : quelle est le sens physique des solutions telles que l'intégrale sur l'espace de la probabilité de présence est infinie ?

Il me semblait que les solutions physiques à l'équation étaient seulement celles qui étaient normalisables.

Est-ce que ne pas accepter les solutions non normalisables règle le problème ?

EDIT : Message écrit avant lecture de celui posté 3' avant.

[coussin]

Une onde plane n'est pas physique, c'est bien connu Mais c'est tellement pratique...
De telles solutions sont normalisées en énergie, condition de normalisation usuelle des fonctions qui ne sont pas L^2

[Paraboloide_Hyperbolique]

Pouvez-vous préciser les frontières correspondantes aux deux solutions ?

Par exemple:

1) Pour : et

2) Pour : et

[albanxiii]

Bonjour,

Dans l'équation de Schrödinger stationnaire à une dimension pour une particule libre, à savoir:



La solution générale n'est-elle pas: ?

Avec A et B des constantes qui dépendent des conditions frontières ?

Dans ce cas, suivant les conditions frontières on peut avoir ou .

Justement, quand on parle de particule libre, elle a l'espace infini pour elle et il n'y a pas de conditions aux frontières, puisque pas de frontière ! On a donc une exponentielle complexe. Une seule en général car on suppose que la particule a une impulsion bien définie (et sa position ne l'est donc pas). En tout cas, c'est que ce fait Landau dans son cours "mécanique quantique", puisque je l'ai eu entre les mains ce matin.

Bonne journée.

[Universus]

Les véritables solutions physiques prévues par la mécanique quantique sont celles issues de l'équation de Schrödinger 'dépendante du temps' :

(1)

La procédure menant à l'équation de Schrödinger 'indépendante du temps' est lorsqu'on se restreint à des possibles solutions séparées pour (1), soit à des solutions de la forme . Dans le cas d'une particule libre, et on peut facilement montrer que dans ce cas, les seules solutions séparées sont de la forme suivante, pour une constante réelle quelconque ** :

et satisfait l'équation différentielle (l'équation de Schrödinger stationnaire) : (2) .

Cette dernière équation a un espace (vectoriel) de solutions qui est bidimensionnel. Une base possible et utile pour cet espace (car les fonctions de cette base sont aussi des fonctions propres de l'opérateur quantité de mouvement) est, en notant , . Une autre base possible est . Aucune combinaison linéaire de ces fonctions ne représentent une meilleure solution à (2) qu'une autre, à ceci près que les exponentielles complexes sont aussi des fonctions propres de la quantité de mouvement.

Donc les solutions à (1) qui ont une énergie fixe sont toutes de la forme suivante (en développant les solutions de (2) selon la base des exponentielles, mais ce choix de base n'est pas obligatoire) : où et sont arbitraires¹!

Remarquons que pour spécifier A et B, il suffit de deux données sur la fonction : par exemple deux valeurs que prend la fonction à un temps donné en deux points spatiaux différents (conditions 'frontières', même si ce terme est trompeur, car ces deux points n'ont pas à déterminer une limite à la région où la fonction est définie) ou la valeur en un même point spatio-temporel de la fonction et de sa dérivée spatiale. Bref, que la particule soit libre ou non (considération physique) ne change rien à la spécification mathématique qui est qu'essentiellement 'connaître deux valeurs de la fonction permet de la déterminer globalement'. En ce sens, une exponentielle complexe est elle aussi soumise à des conditions frontières.

Mais il y a mieux encore : l'EDP (1) étant linéaire, pratiquement n'importe quelle combinaison linéaire de solutions à (1) est aussi une solution à (1). La beauté de la méthode de séparation de variables, et sa plus grande utilité, est de souvent nous donner des bases pour l'espace des solutions de (1) i.e. toute solution de (1) est essentiellement une combinaison linéaire de . Bref, on peut montrer que n'importe quelle solution à (1) est de la forme

(3) où pour une fonction A(k) convenablement choisie.

Si on se restreint à des solutions physiques, bref telles que , cela impose une contrainte 'physique' sur A(k), à savoir que . Ces dernières fonctions, celles de la forme (3) avec la contrainte précédente sur A(k), sont les véritables solutions physiques correspondant aux particules libres en MQ.

Cordialement,

Universus

¹ Toutes ces fonctions solutionnent (1), qu'importe les valeurs de et . Néanmoins, en MQ, on impose la condition supplémentaire que les états physiques soient de norme 1, la norme étant calculée via . Pour les fonctions mentionnées ici, cela pose problème, car elles ne s'intègrent pas sur tout l'espace. Donc les solutions séparées ne sont pas des solutions physiques selon notre interprétation de la mécanique quantique.

NB : Au passage, même pour les particules non-libres, voire même celles confinées dans une boîte, il faut toujours intégrer sur tout l'espace ; mais pour des particules confinées, les fonctions devenant nulles en-dehors d'une certaine région, une telle intégrale se réduit à une intégrale sur une région finie. Je mentionne ça juste pour distinguer une fois de plus la différence entre la physique du problème et son traitement mathématique.

** Édition : En fait, vu mon choix de hamiltonien ici, je devrais préciser que les solutions physiques vérifient E > ou = à 0. Cela n'enlève rien au fait que pour n'importe quel E, même négatif, nous obtenons une solution mathématique à l'équation différentielle, mais le problème physique impose davantage que de simplement trouver une solution à l'équation différentielle comme je l'ai répété ci-haut.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,



Justement, quand on parle de particule libre, elle a l'espace infini pour elle et il n'y a pas de conditions aux frontières, puisque pas de frontière ! On a donc une exponentielle complexe. Une seule en général car on suppose que la particule a une impulsion bien définie (et sa position ne l'est donc pas). En tout cas, c'est que ce fait Landau dans son cours "mécanique quantique", puisque je l'ai eu entre les mains ce matin.

Bonne journée.

Bonsoir albanxiii,

Dans mes cours une particule est libre sur un espace donné (pas forcément infini) si elle n'est soumise à aucun potentiel dans cet espace. Sans doute une divergence de définition...