opération matrice, tenseur... besoin d'une vue physique

[invite9c7554e3]

Bonjour tous,

je vous écris car en mécanique on manipule souvent des produit de matrices, tenseurs ... mais je ne suis pas certain de toujours bien comprendre les notions qui se cache derrière.

j'écris sur le forum physique car j'aimerai avoir l'avis un physicien (un peu matheux quand même) pour avoir une idée un peu concrete...
(quand j'écris entre crochet ça signifie matrice, le reste c'est des vecteurs)

1°) multiplication matrice/vecteur (où produit contracté)
-----------------------------------------------------------
si je multiplie une matrice par un vecteur je vais avoir un vecteur "image" b qui va se trouver dans une autre base.
=> On peut donc voir A comme une matrice de changement de base (un peu comme en meca avec les matrice de rotation)

2°) multiplication matrice/matrice et generalité
-----------------------------------------------------------
alors ceci j'ai du mal à voir ce que ça donne "avec les mains". Je suis bien concient que l'on en recontre souvant mais par contre je ne sais pas trop
comment me représenter ceci (peut etre qu'il n'y a rien d'ailleurs à ce représenter...?)
=> le seul truc que je vois est que si je fais : le vecteur "b" aura suffit deux changement de base successif... ?
=> plus généralement, peut on voir un produit contracté (produit matriciel) comme une transformation géométrique "rotation+translation" ?

3°) norme dans une autre base ?
-----------------------------------------------------------
maintenant je voudrais avoir votre avis sur cette opération : si je prends un vecteur "x" et que je j'effectue cette opération que représente "b" ?
=> intuitivement j'aurais tendance à dire que "b" est le carré de la norme du vecteur "x" mais dans l'espace d'arrivé.... ?

néanmoins ça me parait faux car la norme (Euclidienne) d'un vecteur en générale c'est plutôt ceci :
et ici si veut avoir la norme de l'image de x il faudrait plutot faire : ???

dans le même contexte, j'ai parfois rencontré des expressions dans ce genre : mais je ne vois pas trop ce que cela représente ???

4°) produit doublement contracté => produit scalaire
-----------------------------------------------------------
maintenant, l'autre soucis que j'ai avec les matrice est lorsqu'on fait un produit doublement contracté :
à partir de deux matrice on obtient un scalaire, j'aurais tendance à voir ici une sorte de produit scalaire mais d'ordre 2.... ?
=> en fait je ne vois pas trop ce que ça donne, le carré d'une norme de matrice ? pourtant d'après mes souvenirs une norme de matrice ne ressemble pas à ceci mais plutôt à la racine du raton spectrale de A...?
=> dans le cas où je fais : je fais en quelque sorte un produit scalaire de matrice... mais quel interprétation avoir....

5°) produit tensorielle
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Mon dernier soucis est le produit tensoriel . A partir de cette opération on va construire une matrice à partir de deux vecteur.
=> par contre, que représente cette matrice ? c'est l'application linéaire qui permet de passer de "x" à "y" ?

dans le cas où l'on fait : que représente A ???

en fait le produit tensorielle ça m'intéresse bien car j'en ai entendu parlé souvant mais sans vraiment comprendre....
par exemple dans un cube on définissait deux directions "x" et "y" et à partir de ceci on pouvait obtenir une matrice d'orientation valable pour n'importe quelle autre vecteur...
le soucis est que je n'ai pas vraiment compris ces notions et qu'es ce que l'on peut faire avec cette matrice...


Bref,
vous voyez que j'ai pas mal de problèmes... en fait j'ai déjà fait de l'algèbre linéaire (il y a longtemps) mais jamais de l'algèbre bilinéaire.... néanmoins en mécanique
mes prof considéré ces choses comme connue et donc je n'ai jamais vraiment compris vraiment ce que représente ces opérations...

j'espère que vous pourrez m'aider (que ce soit avec les mains ou mathématiquement)

merci beaucoup
-----

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Je vais peut-être me faire écorcher par les matheux, mais comme j'ai eu la "joie" dans mes études de faire beaucoup de déterminants et presque rien sur les matrices, je vous dis comment je "vois" ça. Ou plutôt comment je "voyais" ça, car avec le temps j'ai oublié presque tout.
Pour moi n'est qu'une façon abrégée (et élégante) d'écrire un système d'équations.
Quand vous multipliez côte gauche et droit de cette équation par une autre matrice, cela correspond aux opérations de remplacement de chaque équation du système par une combinaison linéaire des équations du système d'origine.

Je crois que j'ai déjà trop dit sans la présence de mon avocat.
Au revoir.

[invite9c7554e3]

merci LPFR pour cette première réponse.
=> je comprends ce que tu veux dire et ça me semble bon (cf. avocat). C'est une explication bien algébrique de l'équation et je pense que d'un point
de vue purement géométrique il doit y avoir "une image" de ceci.
Genre : le vecteur obtenu est un vecteur déformé par rapport au vecteur de base et la matrice représente la déformation (gonflement, distorsions..) ?
la resolution du système revient donc à trouver le vecteur "b" déformée par le changement d'EV -> "x"

[invite829bf453]

Petite remarque au passage:

si je multiplie une matrice par un vecteur je vais avoir un vecteur "image" b qui va se trouver dans une autre base.
=> On peut donc voir A comme une matrice de changement de base (un peu comme en meca avec les matrice de rotation)

Dans le cas général, non.

b est l'image de x après transformation par A, or A ne représente pas forcément un changement de base (pas sur de moi sur ce coup, mais pour que A soit un changement de base, il faut qu'elle soit inversible et que , à confirmer/infirmer )

[A voir en vidéo sur Futura]

[obi76]

Salut,

d'un autre côté, si elle n'est pas inversible, le système d'équation a une infinité de solutions...

[mach3]

Petite remarque au passage:
pas sur de moi sur ce coup, mais pour que A soit un changement de base, il faut qu'elle soit inversible et que , à confirmer/infirmer )

non, il me semble que l'inverse n'a besoin d'être égale à la transposée que dans le cas où le changement de base se fait d'une base normé à une autre (vecteurs de base unitaires). Il faut juste que ce soit inversible pour que ce soit un changement de base en général (ça par contre j'en suis sûr).

à membrecomplexe : j'ai l'impression qu'il y a une forte confusion dans ce que tu dis entre les tenseurs (vecteurs y compris), les représentations de ces tenseurs suivant une base qui sont des matrices, et les changements de base qui sont une (ou des) multiplication(s) par une matrice

Je n'ai pas le temps ce matin de parler de cela plus longuement, à plus tard donc, à moins que toutes les explications ne soient données avant mon retour...

m@ch3

[invite60be3959]

Bonjour tous,

je vous écris car en mécanique on manipule souvent des produit de matrices, tenseurs ... mais je ne suis pas certain de toujours bien comprendre les notions qui se cache derrière.

j'écris sur le forum physique car j'aimerai avoir l'avis un physicien (un peu matheux quand même) pour avoir une idée un peu concrete...
(quand j'écris entre crochet ça signifie matrice, le reste c'est des vecteurs)

1°) multiplication matrice/vecteur (où produit contracté)
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si je multiplie une matrice par un vecteur je vais avoir un vecteur "image" b qui va se trouver dans une autre base.
=> On peut donc voir A comme une matrice de changement de base (un peu comme en meca avec les matrice de rotation)

Bonjour,
L'image ne se trouve pas forcément dans une autre base, surtout pas en physique. Bien souvent on a affaire à des endomorphismes linéaires en dimension finie, dont la représentation matricielle est une matrice carré(qu'il est possible de réduire, de diagonaliser, etc...). Une matrice de rotation par exemple fait juste tourner un vecteur de R3 dans R3.

2°) multiplication matrice/matrice et generalité
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alors ceci j'ai du mal à voir ce que ça donne "avec les mains". Je suis bien concient que l'on en recontre souvant mais par contre je ne sais pas trop
comment me représenter ceci (peut etre qu'il n'y a rien d'ailleurs à ce représenter...?)
=> le seul truc que je vois est que si je fais : le vecteur "b" aura suffit deux changement de base successif... ?
=> plus généralement, peut on voir un produit contracté (produit matriciel) comme une transformation géométrique "rotation+translation" ?

"souvent", et "subit" !

De façon générale une ou des application(s) de matrice(s) à un vecteur, représente la modification d'un état physique "à travers" un ou plusieurs système(s) physique(s). On en utilise beaucoup en optique, en mécanique classique et quantique et d'ailleurs à peu près partout. La représentation matricielle, n'est qu'une façon parmis d'autres de faire des calculs et donc de résoudre un problème. C'est juste un outil comme un autre.

3°) norme dans une autre base ?
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maintenant je voudrais avoir votre avis sur cette opération : si je prends un vecteur "x" et que je j'effectue cette opération que représente "b" ?
=> intuitivement j'aurais tendance à dire que "b" est le carré de la norme du vecteur "x" mais dans l'espace d'arrivé.... ?

néanmoins ça me parait faux car la norme (Euclidienne) d'un vecteur en générale c'est plutôt ceci :
et ici si veut avoir la norme de l'image de x il faudrait plutot faire : ???

dans le même contexte, j'ai parfois rencontré des expressions dans ce genre : mais je ne vois pas trop ce que cela représente ???

C'est un produit scalaire, et un produit scalaire est la projection d'un vecteur sur un autre. Tu appliques d'abord [A] à x, ce qui nous dis comment l'état x est modifié après être passé dans le système [A], puis tu projettes cet état sur l'état initial. Cela donne donc, en quelque sorte, une idée de ce qu'il reste de l'état initial par rapport à l'état final(du moins c'est comme ça que je me représente les choses). Concernant la norme, en effet dans un espace euclidien on écrit la norme comme car la métrique de cet espace est G = diag(1,...,1) (dans la base canonique). En toute rigueur on devrait écrire . Pour la norme de l'image c'est bien ce que tu as écrit. Pour la dernière expression, on peut le voir comme un produit scalaire encore une fois, où la métrique est la représentation du système physique lui-même. Cela te donne le lien entre l'état modifié [A]x et l'état y.

4°) produit doublement contracté => produit scalaire
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maintenant, l'autre soucis que j'ai avec les matrice est lorsqu'on fait un produit doublement contracté :
à partir de deux matrice on obtient un scalaire, j'aurais tendance à voir ici une sorte de produit scalaire mais d'ordre 2.... ?
=> en fait je ne vois pas trop ce que ça donne, le carré d'une norme de matrice ? pourtant d'après mes souvenirs une norme de matrice ne ressemble pas à ceci mais plutôt à la racine du rayon spectrale de A...?
=> dans le cas où je fais : je fais en quelque sorte un produit scalaire de matrice... mais quel interprétation avoir....

je n'ai trop de représentation physique de ça. Ce que je sais, c'est que la trace est une forme linéaire sur le groupe des matrices en question. Notamment pour les endomorphismes, la trace est un invariant, et en physique on aime bien les invariants !

5°) produit tensorielle
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Mon dernier soucis est le produit tensoriel . A partir de cette opération on va construire une matrice à partir de deux vecteur.
=> par contre, que représente cette matrice ? c'est l'application linéaire qui permet de passer de "x" à "y" ?

dans le cas où l'on fait : que représente A ???

en fait le produit tensorielle ça m'intéresse bien car j'en ai entendu parlé souvent mais sans vraiment comprendre....
par exemple dans un cube on définissait deux directions "x" et "y" et à partir de ceci on pouvait obtenir une matrice d'orientation valable pour n'importe quelle autre vecteur...
le soucis est que je n'ai pas vraiment compris ces notions et qu'es ce que l'on peut faire avec cette matrice...

On pourrait dire beaucoup de choses sur le produit tensoriel, et sur l'algèbre tensorielle en général. Rapidement (et simplement), un tenseur est une généralisation de la notion de vecteur et de matrice, mais ça va bien au-delà. On peut tout de même dire qu'avec les tenseurs on rentre dans l'algèbre multilinéaire, qui est une généralisation de l'algèbre linéaire, et bilinéaire, mais en pratique on se limite très souvent à l'utilisation des tenseurs dans un cadre bilinéaire, comme dans ton exemple.

[invite9c7554e3]

Bonjour,

salut Vaincent et merci beaucoup pour tes réponses très intéressantes.

L'image ne se trouve pas forcément dans une autre base, surtout pas en physique. Bien souvent on a affaire à des endomorphismes
linéaires en dimension finie, dont la représentation matricielle est une matrice carré(qu'il est possible de réduire, de diagonaliser, etc...).
Une matrice de rotation par exemple fait juste tourner un vecteur de R3 dans R3.
De façon générale une ou des application(s) de matrice(s) à un vecteur, représente la modification d'un état physique "à travers"
un ou plusieurs système(s) physique(s). On en utilise beaucoup en optique, en mécanique classique et quantique et d'ailleurs à peu
près partout. La représentation matricielle, n'est qu'une façon parmis d'autres de faire des calculs et donc de résoudre un problème.
C'est juste un outil comme un autre.

d'accord, je vois ce que tu veux dire

C'est un produit scalaire, et un produit scalaire est la projection d'un vecteur sur un autre. Tu appliques d'abord [A] à x, ce qui
nous dis comment l'état x est modifié après être passé dans le système [A], puis tu projettes cet état sur l'état initial. Cela donne
donc, en quelque sorte, une idée de ce qu'il reste de l'état initial par rapport à l'état final(du moins c'est comme ça que je me représente
les choses).

ouahou!!!! super explication ça !!!!

Concernant la norme, en effet dans un espace euclidien on écrit la norme comme car la métrique de cet
espace est G = diag(1,...,1) (dans la base canonique). En toute rigueur on devrait écrire . Pour la norme de l'image
c'est bien ce que tu as écrit. Pour la dernière expression, on peut le voir comme un produit scalaire encore une fois, où la métrique est la
représentation du système physique lui-même. Cela te donne le lien entre l'état modifié [A]x et l'état y.

là je n'ai pas saisi...
en fait d'après mes souvenirs la norme d'une matrice s'écrit : avec la plus grande
valeur propre de .
=> le soucis est que je ne vois pas le lien entre cette définition de la norme2 et ou .
connait tu la demonstration qui permet de passer de l'un à l'autre ? et pourquoi dans un cas pour définir la norme X intervient et pas dans l'autre cas ?

je n'ai trop de représentation physique de ça. Ce que je sais, c'est que la trace est une forme linéaire sur le groupe des matrices en question.
Notamment pour les endomorphismes, la trace est un invariant, et en physique on aime bien les invariants !

en fait je viens de saisir, il s'agit d'un produit scalaire de matrice. Je pense que l'on peut donc dire que c'est une projection d'une matrice sur une autre.

On pourrait dire beaucoup de choses sur le produit tensoriel, et sur l'algèbre tensorielle en général. Rapidement (et simplement),
un tenseur est une généralisation de la notion de vecteur et de matrice, mais ça va bien au-delà. On peut tout de même dire qu'avec
les tenseurs on rentre dans l'algèbre multilinéaire, qui est une généralisation de l'algèbre linéaire, et bilinéaire, mais en pratique
on se limite très souvent à l'utilisation des tenseurs dans un cadre bilinéaire, comme dans ton exemple.

merci pour cette explication. En fait j'aurais besoin d'une petite explication pratique là dessus :
=> quand je faisais de la méca il m'est arrivé d'entendre parlé de tenseur de localisation, ça resemblait à ceci

mais par contre je n'ai pas trop compris pourquoi, comment ...Etc

=> en fait j'ai un soucis avec le produit tensoriel je ne comprends pas quand doit on l'utiliser en pratique.
Par exemple, lorsque je fais de la projection j'utilise un produit scalaire, lorsque je veux faire des rapport de grandeurs je fais des divisions mais quel est le but rechercher avec
un produit tensoriel ? (construire une matrice qui va permettre de mesurer des distances par projection sur différents axes???)

=> le souvenir que j'ai d'un tenseur c'est que si on l'applique à un vecteur "U" ça va permettre de faire des projections de "U" successivement... le soucis est que je ne suis plus très certains de tout ceci...

[invite60be3959]

Le mieux pour le produit tensoriel serait de voir sur un exemple précis que tu as vu récemment. Concernant le lien entre la norme d'une matrice et la norme d'un vecteur, il me semble que (le rayon spectral d'un nombre est ce nombre)

[invite9c7554e3]

je n'ai pas trop compris ce que tu voulais me dire. En fait ce que je ne comprendre pas c'est que moi j'ai une definition de norme sans vecteur X juste avec notre matrice A et toi tu as une definition qui fait intervenir un vecteur.

Sinon, pour l'exemple, j'ai trouvé sur le net un truc qui illustre tout à fait ce que j'essai de comprendre :


en fait je ne comprends pas trop pourquoi on construit cette matrice de cette façon et exactement ce qu'elle permet de faire.
son utilisation ressemble à une sorte de projection inversée...