Bonjour,
Une petite question concernant l'étude des vibrations de réseau. Il est dit que le nombre de modes de vibration longitudinaux doit être égal au nombre d'atomes du solide étudié, ce qui amène à définir la pulsation maximale de Debye, ainsi que la température du même nom qui y est associée.
Quelqu'un pourrait-il me dire concrètement pourquoi?
D'avance, merci beaucoup!
Quand tu as une chaine d'oscillateurs couplés (comme les atomes dans un cristal), les différents modes d'oscillations correspondent chacun à une vibration relative d'un atome par rapport à l'ensemble. Pour une chaine de deux atomes, ils peuvent vibrer en phase ou en opposition de phase (2 modes). Pour 3 atomes, tu introduis une possibilité en plus pour vibrer et tu trouverais trois modes propres, c'est-à-dire trois manières différentes de vibrer. Pour N atomes tu aurais N modes.
De façon plus formelle, on peut diagonaliser les équations du mouvement de N oscillateurs couplés en introduisant des modes propres. La matrice décrivant le mouvement est NxN, et il y a donc N modes propres.
Merci beaucoup, ça répond dans une large mesure à ma question. Cependant, pourquoi les fréquences "utilisées" sont-elles les basses fréq., à partir de 0; pourquoi ne pourrait-il pas y avoir des modes de fréq. plus élevées, mais toujours avec N modes différents?
Avant la réponse de deep_turtle, j'avais préparé un complément à ma question. Il ne sert plus à grand chose, mais vu qu'il est tapé, je le poste quand même.
Encore merci.
Envoyé par lignux
Bon, je vois qu'on ne se bouscule pas pour répondre à ma question. Il est vrai que j'ai pas été très clair. Comme ce problème m'embète réellement et que j'ai pas trouvé la réponse ailleurs, je vais donc la reformuler avant que mon message soit parti aux oubliettes.
Le cadre: science des matériaux, physique de l'état solide
Le "chapitre": Ondes élastiques dans les solides
Prenons un cube de côté L, et étudions les vibrations longitudinales.
Les solutions de l'équation d'onde sont de la forme:
En imposant les traditionnelles conditions limites périodiques de Born-von Karman, les valeurs possible du nombre d'onde q sont de type, avec n entier.
De là, on tire la densité de modes longitudinaux en fonction de la fréquence qui est:
Ensuite, et ç'est là qu'arrive mon problème, "on" explique que, chaque atome ayant 3N degrés de liberté de position, on va avoir N ondes longitudinales, et 2N transversales (N dans chaque direction transverse). POURQUOI?
Ceci mène à un nombre d'onde maximal
Celle-ci se calcule facilement, en intégrant la densité de modes à partir de la fréquence nulle, jusqu'à
Ensuite, sachant que
Tout ceci donc, pour rappeler le contexte et peut-être situer quelqu'un susceptible de me répondre. Ma question est donc bien: chaque atome ayant 3N degrés de liberté de position, on va avoir N ondes longitudinales, et 2N transversales (N dans chaque direction transverse). POURQUOI?
Un grand merci d'avance!
Je ne comprend pas. Il y a N modes, dont certains sont à basse fréquence, d'autres à haute fréquence.pourquoi ne pourrait-il pas y avoir des modes de fréq. plus élevées, mais toujours avec N modes différents?
Oui mais pour trouver la pulsation maximale de Debye, on intègre la densité de modes à partir de 0:
Ah OK j'ai compris ton problème. Les modes de basse fréquence sont aussi ceux de basse énergie, et c'est eux qui sont occupés de façon préférentielle. On commence à compter à partir des modes de plus basse énergie, et on remonte vers les hautes énergies, qui se peuplent au fur et à mesure qu'on apporte de l'énergie.
Oui ok, c'est logique.
Finalement c'est comme en méca quantique, pour l'occupation des bandes d'énergie par les électrons... sauf que je m'étais jamais posé la question du "pourquoi"...
Merci.
Il y a quand même une différence avec les électrons : les phonons sont des bosons et n'obéissent pas au principe d'exclusion de Pauli.
PS : je vais m'absenter quelques jours, ne sois pas surpris si je ne réponds pas plus...
